Циклические векторы

Оператор $A$ на гильбертовом пространстве $\mathbf{H}$ имеет циклический вектор $f$, если векторы $f, Af, A^{2}f, \ldots$ порождают $\mathbf{H}$; эквивалентно, $f$ является циклическим вектором для $A$, если множество всех векторов вида $p(A)f$, где $p$ пробегает все многочлены, плотно в $\mathbf{H}$.

Односторонний сдвиг кратности $p$ (где $p$ — кардинальное число, $1 \leq p \leq \aleph_0$) — это прямая сумма $p$ копий простого одностороннего сдвига $U$ на $l^{2}$, т.е.оператор $\left\langle \xi_0^{(1)}, \xi_1^{(1)}, \ldots \right\rangle \oplus \left\langle \xi_0^{(2)}, \xi_1^{(2)}, \ldots \right\rangle \oplus \cdots$, действующий покоординатно простым сдвигом на каждом слагаемом.

Удобно говорить, что если оператор имеет циклический вектор, то он является циклическим оператором.

Если $\mu$ — борелевская мера с компактным носителем на комплексной плоскости, то оператор положения $A$ на $L^{2}\left(\mu \right)$ определяется равенством $(Af)(z) = zf(z)$.

Матрица $\left\langle \alpha_{ij} \right\rangle$ треугольная (точнее, верхнетреугольная), если всякий элемент ниже главной диагонали равен нулю (то есть $\alpha_{ij} = 0$ при $i > j$). Матрица треугольная $+1$, если всякий элемент, лежащий более чем на один шаг ниже главной диагонали, равен нулю (то есть $\alpha_{ij} = 0$ при $i > j+1$).

Орбитой $f$ называется множество всех векторов вида $A^{n}f$, $n = 0, 1, 2, \ldots$, без допущения скалярных кратных и сумм.