Односторонний сдвиг

Симметрией называется унитарная инволюция, т.е.оператор $Q$, такой что $Q^{*}Q = QQ^{*} = Q^{2} = 1$. Уместно напомнить, что если оператор обладает любыми двумя из свойств «унитарен», «инволютивен» и «эрмитов», то он обладает и третьим; доказательство представляет собой чисто элементарные алгебраические выкладки.

Коммутантом оператора (или множества операторов) называется множество всех операторов, коммутирующих с ним (или с каждым оператором из множества). Двусторонний сдвиг $W$ можно рассматривать как умножение на $e_1$ в $L^{2}$ единичной окружности. Здесь $e_n(z) = z^n$ ($n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$) при $\left|z\right| = 1$, а $L^2$ образовано относительно нормированной меры Лебега.

Коммутантом оператора (или множества операторов) называется множество всех операторов, коммутирующих с ним (или с каждым оператором из множества). Односторонний сдвиг есть сужение двустороннего сдвига $W$ на $\mathbf{H}^2$, где $\mathbf{H}^2$ — замкнутая линейная оболочка в $L^2$ единичной окружности функций $e_n$, $n = 0, 1, 2, \ldots$ (с $e_n(z) = z^n$), а $\mathbf{H}^{\infty }$ — множество существенно ограниченных функций в $\mathbf{H}^2$. Если двусторонний сдвиг рассматривать как умножение (на $e_1$ в $L^2$), то его коммутант есть множество всех операторов умножения на этом же $L^2$ (задача 146). Если же сам множитель лежит в $\mathbf{H}^2$ (а значит, и в $\mathbf{H}^{\infty }$), то $\mathbf{H}^2$ инвариантно относительно порождённого им умножения (ср.задачу 34), и сужение этого умножения на $\mathbf{H}^2$ имеет смысл.

Прямая сумма (конечная или бесконечная) изометрий является изометрией. Изометрия, у которой отсутствует унитарное прямое слагаемое, называется чистой.

Рассмотрим изометрию $U$ на гильбертовом пространстве $\mathbf{H}$, такую что подпространства $(U\mathbf{H})^{\perp }$, $U(U\mathbf{H})^{\perp }$, $U^2(U\mathbf{H})^{\perp }, \ldots$ попарно ортогональны и порождают $\mathbf{H}$, но не предъявляем никаких требований к значению кообраза (кообраз — это $\dim (U\mathbf{H})^{\perp }$). Всякую такую изометрию можно назвать сдвигом (односторонним сдвигом). Кообраз сдвига (называемый также его кратностью) образует полную систему унитарных инвариантов для него; исходный односторонний сдвиг определяется (с точностью до унитарной эквивалентности) как сдвиг кратности $1$ (простой односторонний сдвиг). Для целей этой задачи всякое бесконечное кардинальное число $m$ считается чётным; напомним, что $m = 2m$.

Частью оператора называется его сужение на инвариантное подпространство.

Квазинильпотентным называется оператор, спектр которого состоит из единственной точки $0$, что равносильно тому, что его спектральный радиус $r(A)$ равен $0$.

Если $A$ — оператор на гильбертовом пространстве $\mathbf{H}$, подпространство $\mathbf{N}$ пространства $\mathbf{H}$ называется блуждающим для $A$, если оно ортогонально всем своим образам при положительных степенях $A$.

Пусть $U$ — односторонний сдвиг, с ортонормированным базисом $\left\{ e_n\right\}$, $n = 0, 1, 2, \ldots$, для лежащего в основе пространства $\mathbf{H}^2$, так что $Ue_n = e_{n+1}$. Каждое комплексное число $\lambda$ с модулем меньше $1$ является простым собственным значением $U^{*}$ с соответствующим собственным вектором $f_{\lambda } = \sum_{n=0}^{\infty } \lambda^n e_n$.

Рассматривайте $U$ как сужение на $\mathbf{H}^2$ умножения, порождённого $e_1$ на $L^2$ единичной окружности. Функция $\varphi$ из $\mathbf{H}^{\infty }$ постоянного модуля $1$ почти всюду называется внутренней функцией; неформально, $\mathbf{M} = \varphi \cdot \mathbf{H}^2$ можно описать как множество всех кратных $\varphi$ на функции из $\mathbf{H}^2$.