Полярное разложение

Представление $A$ в виде произведения единственных $U$ и $P$, удовлетворяющих указанным условиям, называется полярным разложением $A$, точнее говоря, правосторонним полярным разложением $A$. Соответствующая левосторонняя теория ($A = PU$) получается путём систематического использования сопряжённых операторов.

Замкнутый единичный шар в пространстве операторов выпукл. Для любого интересного выпуклого множества представляет интерес определение его крайних точек.

Оператор $A$ называется квазинормальным, если $A$ коммутирует с $A^{*}A$. Всякий нормальный оператор квазинормален, но обратное неверно: если $A$ — изометрия, то $A^{*}A = 1$, и поэтому $A$ коммутирует с $A^{*}A$, но если $A$ не унитарен, то $A$ не нормален (конкретным примером служит односторонний сдвиг).

Если $A$ — положительный оператор, то $\left\langle Af, g \right\rangle$ задаёт скалярное произведение (не обязательно строго положительное); отсюда следует, что $A$ удовлетворяет неравенству шварцевского типа

(Чтобы освоиться с этим соотношением, полезно вспомнить, что положительность $A$ влечёт $(\sqrt{A})^{2} = A$.) Если $A$ не положителен, то выражение $\left\langle Af, g \right\rangle$ по-прежнему нечто задаёт (полуторалинейное, да, положительное и симметричное — вероятно, нет), но, поскольку равенство $(\sqrt{A})^{2} = A$ более недоступно, неясно, какое (если вообще какое-либо) неравенство шварцевского типа имеет место. Возможная догадка — заменить $A$ в правой (мажорирующей) части на $\sqrt{A^{*}A}$. (Причина: если $z$ — комплексное число, то $\sqrt{z^{*}z} = \left|z\right|$.) Возражение: почему $\sqrt{A^{*}A}$? Почему не $\sqrt{AA^{*}}$?