Банк задач по математике

Задача 123

Если $A$ — нормальный оператор, а $F$ — непрерывная функция на $\operatorname {spec} A$ , то $\operatorname {spec} F(A) = F(\operatorname {spec} A)$ .

?

Задача 124

Докажите, не используя спектральную теорему, что для эрмитовых операторов $0 \leq A \leq 1$ тогда и только тогда, когда $A^{2} \leq A$ .

?

Задача 125

Если $A$ — нормальный оператор на сепарабельном гильбертовом пространстве, и если $1 + A + \cdots + A^{n}$ диагонален при некотором положительном целом $n$ , следует ли отсюда, что $A$ диагонален?

?

Примечание.

?

Оператор называется диагональным (см. задачу 61), если в пространстве существует ортонормированный базис, состоящий целиком из собственных векторов этого оператора.

Задача 126

Если $F$ — непрерывная функция на комплексной плоскости, непрерывно ли отображение $A \mapsto F(A)$ , определённое для всех нормальных операторов?

?

Задача 127

Ограниченное линейное преобразование $U$ является частичной изометрией тогда и только тогда, когда $U^{*}U$ — проектор.

?

Примечание.

?

Изометрия — это линейное преобразование $U$ (гильбертова пространства в себя, либо одного гильбертова пространства в другое), такое что $\left\| Uf\right\| = \left\| f\right\|$ для всех $f$ . Необходимым и достаточным условием того, что линейное преобразование $U$ является изометрией, служит равенство $U^{*}U = 1$ . Осторожно: условия $U^{*}U = 1$ и $UU^{*} = 1$ не равносильны. Второе условие выполняется в случае, когда $U^{*}$ — изометрия; в этом случае $U$ называется коизометрией.

Частичная изометрия — это линейное преобразование, изометричное на ортогональном дополнении своего ядра. Легко проверить, что частичная изометрия $U$ ограничена, причём если $U$ не равен $0$ , то $\left\| U\right\| = 1$ .

Ортогональное дополнение ядра частичной изометрии часто называют её начальным пространством. Начальное пространство частичной изометрии $U$ оказывается равным множеству всех тех векторов $f$ , для которых $\left\| Uf\right\| = \left\| f\right\|$ . Область значений частичной изометрии равна образу начального пространства и обязательно замкнута. Для частичных изометрий область значений иногда называют конечным пространством.

Задача 128

Установите импликационные связи между утверждениями " $UM = M$ " и " $M$ приводит $U$ ", когда $U$ — максимальная частичная изометрия.

?

Примечание.

?

Для частичных изометрий $U$ и $V$ запишем $U \leq V$ , если $V$ совпадает с $U$ на начальном пространстве $U$ ; это влечёт, что начальное пространство $U$ содержится в начальном пространстве $V$ . Частичная изометрия называется максимальной, если она не мажорируется в этом порядке никакой частичной изометрией, кроме самой себя. Частичная изометрия максимальна тогда и только тогда, когда она сама или её сопряжённая является изометрией.

Задача 129

Множество всех ненулевых частичных изометрий замкнуто, но не связно (относительно топологии нормы операторов).

?

Задача 130

Если $U$ и $V$ — частичные изометрии, такие что $\left\| U - V\right\| < 1$ , то $\rho (U) = \rho (V)$ , $\rho '(U) = \rho '(V)$ и $\nu (U) = \nu (V)$ .

?

Примечание.

?

Если $U$ — частичная изометрия, запишем $\rho (U) = \dim \operatorname {ran} U$ , $\rho '(U) = \dim \operatorname {ran}^{\perp } U$ и $\nu (U) = \dim \ker U$ . Эти три кардинальных числа называются рангом, корангом и дефектом $U$ соответственно.

Задача 131

Любую пару частичных изометрий (на одном и том же гильбертовом пространстве) с одинаковыми рангом, корангом и дефектом можно соединить непрерывной кривой частичных изометрий с теми же рангом, корангом и дефектом.

?

Примечание.

?

Если $U$ — частичная изометрия, запишем $\rho (U) = \dim \operatorname {ran} U$ , $\rho '(U) = \dim \operatorname {ran}^{\perp } U$ и $\nu (U) = \dim \ker U$ для её ранга, коранга и дефекта соответственно.

Задача 132

Если $A$ и $B$ — унитарно эквивалентные сжатия, то $M(A)$ и $M(B)$ унитарно эквивалентны, и обратно.

?

Примечание.

?

Оператор $A$ называется сжатием, если $\left\| A\right\| \leq 1$ ; для сжатия $A$ оператор $1 - AA^{*}$ положителен, так что существует единственный положительный оператор $A'$ , квадрат которого равен $1 - AA^{*}$ . Операторная матрица

M(A) = \begin{pmatrix} A & A' \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

является частичной изометрией.

Задача 133

Каким условиям должно удовлетворять множество комплексных чисел, чтобы быть спектром некоторой неунитарной частичной изометрии?

?

Частичные изометрии