Банк задач по математике

Задача 116

Сужение сопряжения на множество нормальных операторов сильно непрерывно.

?

Задача 117

Если $\left\{ A_n\right\}$ и $\left\{ B_n\right\}$ — сети, сильно сходящиеся к $0$ , и если $\left\{ \left\| B_n\right\| \right\}$ ограничена, следует ли отсюда, что $\left\{ A_nB_n\right\}$ сильно сходится к $0$ ?

?

Задача 118

Если $\left\{ f_n\right\}$ — последовательность векторов, а $\left\{ A_n\right\}$ — последовательность операторов, такие что $f_n \to f$ слабо и $A_n \to A$ сильно, следует ли отсюда, что $A_nf_n \to Af$ слабо?

?

Задача 119

Полунепрерывен ли спектр сверху относительно сильной топологии? Что можно сказать о спектральном радиусе?

?

Примечание.

?

Спектр оператора меняется полунепрерывно сверху относительно топологии нормы (задача 103): если оператор заменить на близкий к нему по норме, то спектр может увеличиться лишь незначительно. Здесь вопрос в том, что происходит с этой полунепрерывностью, если вместо топологии нормы использовать сильную топологию, — то есть влечёт ли $A_n \to A$ (сильно), что $\operatorname {spec} A$ не может быть, в подходящем предельном смысле, намного больше спектров $\operatorname {spec} A_n$ .

Задача 120

Обязательно ли ограниченная возрастающая последовательность эрмитовых операторов сильно сходится? сходится ли она равномерно?

?

Задача 121

Если $A$ — оператор, такой что $0 \leq A \leq 1$ , и если последовательность $\left\{ B_n\right\}$ определена рекурсивно равенствами

B_0 = 0 \quad \text{и} \quad B_{n+1} = \tfrac {1}{2}\left((1-A) + B_n^{2}\right), \qquad n = 0, 1, 2, \ldots ,

то последовательность $\left\{ B_n\right\}$ сильно сходится. Если $\lim_n B_n = B$ , то $(1-B)^{2} = A$ .

?

Задача 122

Если $E$ и $F$ — проекторы с образами $\mathbf{M}$ и $\mathbf{N}$ , найдите проектор $E \wedge F$ с образом $\mathbf{M} \cap \mathbf{N}$ .

?

Примечание.

?

Задача состоит в том, чтобы найти "выражение" для описанного проектора. Хотя большинство математиков восприняли бы формулировку такой задачи с сочувственным пониманием, приходится признать, что строго говоря, она ничего на самом деле не означает. Самый очевидный способ придать ей точный смысл — описать определённые классы операторов требованием замкнутости относительно некоторых привычных алгебраических и топологических операций, а затем попытаться доказать, что если $E$ и $F$ принадлежат такому классу, то ему принадлежит и $E \wedge F$ . Самые известные и полезные классы, подходящие здесь, — это алгебры фон Неймана (называемые фон Нейманом "кольцами операторов"). Алгебра фон Неймана — это алгебра операторов (т.е. совокупность, замкнутая относительно сложения и умножения, а также относительно умножения на произвольные скаляры), самосопряжённая (т.е. замкнутая относительно перехода к сопряжённому), содержащая $1$ и сильно замкнутая (т.е. замкнутая относительно сильной операторной топологии). Для алгебр фон Неймана задача формулируется так: доказать, что если алгебра фон Неймана содержит два проектора $E$ и $F$ , то она содержит и $E \wedge F$ .

Ссылка: [150, т.2, с.55].

Сильная операторная топология