Операторные топологии

Гильбертово пространство обладает двумя полезными топологиями (слабой и сильной); пространство операторов на гильбертовом пространстве обладает несколькими. Метрическая топология, порождённая нормой, — одна из них; чтобы отличить её от остальных, её обычно называют топологией нормы, или равномерной топологией. Следующие две топологии — естественное развитие для операторов сильной и слабой топологий для векторов. Предбазой сильной операторной топологии служит совокупность всех множеств вида

соответственно базой служит совокупность всех множеств вида

Здесь $k$ — положительное целое число, $f_1, \ldots , f_k$ — векторы, а $\varepsilon$ — положительное число. Предбазой слабой операторной топологии служит совокупность всех множеств вида

где $f$ и $g$ — векторы, а $\varepsilon > 0$; как и выше (как и всегда), базой служит совокупность всех конечных пересечений таких множеств. Соответствующие понятия сходимости (для последовательностей и сетей) легко описать: $A_n \to A$ сильно тогда и только тогда, когда $A_n f \to Af$ сильно для каждого $f$ (т.е. $\left\| (A_n - A)f\right\| \to 0$ для каждого $f$), а $A_n \to A$ слабо тогда и только тогда, когда $A_n f \to Af$ слабо для каждого $f$ (т.е. $\left\langle A_n f, g \right\rangle \to \left\langle Af, g \right\rangle$ для каждых $f$ и $g$).

Слабая топология меньше (слабее) сильной топологии, а сильная топология меньше топологии нормы: всякое слабо открытое множество является сильно открытым, а всякое сильно открытое множество открыто по норме. Сходимость по норме влечёт сильную сходимость, а сильная сходимость влечёт слабую сходимость. При наличии равномерности на единичной сфере эти импликации обратимы.

Топология нормы (или равномерная топология) — это метрическая топология, порождённая операторной нормой. Предбазой сильной операторной топологии служит совокупность всех множеств вида $\left\{ A : \left\| (A - A_0)f\right\| < \varepsilon \right\}$; предбазой слабой операторной топологии служит совокупность всех множеств вида $\left\{ A : \left| \left\langle (A - A_0)f, g \right\rangle \right| < \varepsilon \right\}$, где $f$ и $g$ — векторы, а $\varepsilon > 0$.

Утверждение означает, что если $\left\{ A_n\right\}$ — сеть, слабо сходящаяся к $A$, то $\left\| A\right\| \leq \liminf_n \left\| A_n\right\|$. Равносильно: для каждого $\varepsilon > 0$ найдётся $n_0$, такое что $\left\| A\right\| - \left\| A_n\right\| \leq \varepsilon$ при всех $n \geq n_0$.

Произведение (в отличие от нормы и сопряжения) — функция двух переменных, поэтому утверждение о непрерывности произведений допускает "совместную" и "раздельную" интерпретации. Обычно, если не оговорено иное, такие утверждения понимаются в совместном смысле, т.е. как относящиеся к отображению, переводящему упорядоченную пару $\left\langle A, B \right\rangle$ в произведение $AB$.

Существует известный приём, который часто используется для того, чтобы показать: если линейные операции и возведение в квадрат непрерывны, то и умножение непрерывно. Поскольку этот приём опирается на тождество $ab = \tfrac {1}{4}\left((a+b)^{2} - (a-b)^{2}\right)$, его можно использовать лишь тогда, когда умножение коммутативно. Операторное умножение некоммутативно; данная задача спрашивает, есть ли всё же надежда на слабую последовательностную непрерывность возведения в квадрат хотя бы для некоторых операторов.

Если сеть $\left\{ P_n\right\}$ проекторов слабо сходится к проектору $P$, то она сходится к $P$ и сильно. Доказательство: для каждого $f$

и потому применима задача 20.