Топология нормы

Если расстояние между двумя операторами $A$ и $B$ определить как $\left\| A-B\right\|$, то множество $\mathbf{B}(\mathbf{H})$ всех операторов на гильбертовом пространстве $\mathbf{H}$ становится метрическим пространством.

Класс сопряжённости оператора $A$ — это множество всех операторов, подобных $A$ (т.е. класс эквивалентности $A$ по отношению подобия). Классы сопряжённости необязательно замкнуты, и они необязательно открыты (рассмотрите $A = 0$).

Верхняя полунепрерывность для теоретико-множественной функции наподобие $\operatorname {spec}$ имеет по меньшей мере два определения — метрическое и последовательностное. Метрическое определение: для каждого открытого множества $\Lambda_0$, содержащего $\operatorname {spec} A$, найдётся положительное число $\varepsilon$, такое что если $\left\| A-B\right\| < \varepsilon$, то $\operatorname {spec} B \subset \Lambda_0$. Последовательностному определению должно предшествовать вспомогательное понятие: если $\left\{ \Lambda_n\right\}$ — последовательность множеств комплексных чисел, то $\operatorname {limsup}_n \Lambda_n$ — это множество всех предельных точек тех последовательностей $\left\{ \lambda_n\right\}$, для которых $\lambda_n \in \Lambda_n$ при каждом $n$. Последовательностное определение верхней полунепрерывности: всегда, когда $A_n \to A$, отсюда следует, что

Эти два определения эквивалентны.

Заметим, что пример из задачи 102 не даёт никакой информации; в этом случае спектральный радиус равен $1$ для каждого члена последовательности, а также для предела.

Если $\left\{ \Lambda_n\right\}$ — последовательность множеств комплексных чисел, определим $\operatorname {liminf}_n \Lambda_n$ как множество всех пределов тех сходящихся последовательностей $\left\{ \lambda_n\right\}$, для которых $\lambda_n \in \Lambda_n$ при каждом $n$. (Напомним, что $\operatorname {limsup}_n \Lambda_n$ был определён как множество всех предельных точек не обязательно сходящихся последовательностей такого рода; см. задачу 103.) Последовательность $\left\{ \Lambda_n\right\}$ называется сходящейся $(\Lambda_n \to \Lambda )$, если

в этом случае общее значение заслуживает названия $\lim_n \Lambda_n$. Сказать, что $\operatorname {spec}$ непрерывен в конкретном операторе $A$, означает, что $A_n \to A$ влечёт

Поскольку верхняя полунепрерывность верна для всех $A$ (задача 103), необходимым и достаточным условием непрерывности в $A$ является

Напомним также, что для нормальных операторов спектральный радиус равен норме.

Если малость понимается в смысле нормы, то возмущение, вызывающее лишь малое изменение спектра, необязательно должно быть малым: если, например, $A = \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}$ и $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, то $\operatorname {spec}(A+B) = \operatorname {spec} A = \left\{ \alpha , \beta \right\}$, но $B$ не мал; на самом деле $\operatorname {spec}(A+nB) = \operatorname {spec} A$ для всех $n$. Ответ явно положителен в некоторых вырожденных случаях: если, например, $A$ — скаляр, и если $\operatorname {spec}(A+nB) = \operatorname {spec} A$ хотя бы для одного ненулевого значения $n$, то $\operatorname {spec} B = 0$.