Спектральный радиус

Пусть $A$ — оператор в гильбертовом пространстве $\mathbf{H}$. Если $\lambda$ не принадлежит спектру $A$, то оператор $A - \lambda$ обратим; положим $\rho (\lambda ) = (A-\lambda )^{-1}$. (Когда необходимо указать зависимость функции $\rho$ от оператора $A$, пишут $\rho = \rho_A$.) Функция $\rho$ называется резольвентой оператора $A$. Область определения $\rho$ — это дополнение к $\operatorname {spec} A$; её значения — операторы в $\mathbf{H}$.

Рассмотрим, в общем случае, функции $\varphi$, области определения которых — открытые множества комплексной плоскости, а значения — операторы в $\mathbf{H}$. Такая функция $\varphi$ называется аналитической, если для любых $f$ и $g$ из $\mathbf{H}$ числовая функция $\lambda \mapsto \left\langle \varphi (\lambda )f, g \right\rangle$ (с той же областью определения, что и $\varphi$) аналитична в обычном смысле. (Это понятие иногда называют слабой аналитичностью.) Если функция $\psi$, определённая равенством $\psi (\lambda ) = \varphi (1/\lambda )$, может быть доопределена в начале координат так, чтобы стать там аналитической, то (как и для числовых функций) говорят, что $\varphi$ аналитична в $\infty$, и значением $\varphi$ в $\infty$ считается значение $\psi$ в $0$.

Взвешенный сдвиг — это произведение сдвига (одностороннего или двустороннего) и согласованного с ним диагонального оператора. Точнее, пусть $\left\{ e_n\right\}$ — ортонормированный базис ($n = 0, 1, 2, \ldots$, либо $n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$), и пусть $\left\{ \alpha_n\right\}$ — ограниченная последовательность комплексных чисел (множество индексов $n$ то же, что и раньше). Взвешенным сдвигом называется оператор вида $SP$, где $S$ — сдвиг ($Se_n = e_{n+1}$), а $P$ — диагональный оператор с диагональю $\left\{ \alpha_n\right\}$ ($Pe_n = \alpha_n e_n$). Иногда удобно использовать обозначение $\operatorname {shift}\left\langle \alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \ldots \right\rangle$ для взвешенного сдвига с указанными весами.

Степенные нормы оператора $A$, то есть числа $\left\| A^k\right\|$, образуют интересную последовательность.

Для каждого оператора $A$ найдётся комплексное число модуля $r(A)$ в приближённом точечном спектре $A$ (задача 78). Если $A$ — взвешенный сдвиг, то круговая симметрия каждой части спектра (задача 89) означает, что любое комплексное число модуля $r(A)$ принадлежит приближённому точечному спектру $A$. Следствие: приближённый точечный спектр взвешенного сдвига всегда содержит окружность (возможно, вырожденную).

Пусть $p = \left\{ p_0, p_1, p_2, \ldots \right\}$ — последовательность строго положительных чисел, и пусть $l^2(p)$ — множество комплексных последовательностей $\left\langle \xi_0, \xi_1, \xi_2, \ldots \right\rangle$ с $\sum_{n=0}^{\infty } p_n \left|\xi_n\right|^2 < \infty$. Относительно покоординатных линейных операций и скалярного произведения, определённого равенством

множество $l^2(p)$ является гильбертовым пространством; его можно назвать взвешенным пространством последовательностей.

Оператор нильпотентен, если некоторая положительная целая степень его равна нулю (и наименьшая такая степень называется индексом нильпотентности); оператор $A$ квазинильпотентен, если $\lim_n \left\| A^n\right\|^{1/n} = 0$. Нильпотентность влечёт квазинильпотентность. Теорема об отображении спектра влечёт, что если $A$ нильпотентен, то $\operatorname {spec} A = \left\{ 0\right\}$. Выражение для спектрального радиуса через нормы влечёт, что если $A$ квазинильпотентен, то $\operatorname {spec} A = \left\{ 0\right\}$, и, более того, верно и обратное. У нильпотентного оператора всегда нетривиальное ядро, а значит, непустой точечный спектр; для квазинильпотентных операторов это не так. (Заметим, что в конечномерных пространствах такое построение, очевидно, невозможно.)

Если $A$ — квазинильпотентный оператор, а $f$ — функция, аналитическая в окрестности $0$, то $f$ имеет разложение в степенной ряд $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty } \alpha_n z^n$, сходящийся, скажем, при $\left|z\right| < \varepsilon$; в этом случае положим $f(A) = \sum_{n=0}^{\infty } \alpha_n A^n$. Этот операторный ряд сходится (по норме), поскольку $\left\| A^n\right\|^{1/n} < \varepsilon$ при достаточно больших $n$, так что $\left\| A^n\right\| < \varepsilon^n$ при достаточно больших $n$. Соответствие $f \mapsto f(A)$ между функциями, аналитическими в $0$, и операторами $f(A)$ (для фиксированного квазинильпотентного оператора $A$) называется функциональным исчислением; это расширение тривиального функционального исчисления для многочленов.

Оператор $A$ называется алгебраическим, если существует ненулевой многочлен $p$, такой что $p(A) = 0$; по естественной аналогии представляется уместным называть $A$ аналитическим, если существует ненулевая функция $f$, аналитическая в $0$, такая что $f(A) = 0$. Всякий нильпотентный оператор алгебраичен.

Спектр прямой суммы двух операторов есть объединение их спектров, и то же самое верно для точечного спектра, приближённого точечного спектра и спектра сжатия. Распространение этого результата с двух прямых слагаемых на любое конечное число — тривиальная индукция.