Примеры спектров

Напомним, что остаточный спектр $A$ есть $\Gamma (A) - \Pi_0(A)$.

Односторонний сдвиг — это оператор $U$ на $l^2$, определённый равенством

Это изометрия, областью значений которой является собственное подпространство $l^2$, состоящее из векторов с обращающейся в нуль первой координатой. Если $e_n$ — вектор $\left\langle \xi_0, \xi_1, \xi_2, \ldots \right\rangle$, для которого $\xi_n = 1$ и $\xi_i = 0$ при $i \neq n$ ($n = 0, 1, 2, \ldots$), то $e_n$ образуют ортонормированный базис для $l^2$, и $Ue_n = e_{n+1}$ ($n = 0, 1, 2, \ldots$). Поскольку в $\mathbf{H}^2$ (см. Задачу 33) $e_n(z) = z^n$, эффект сдвига вперёд на один индекс совпадает с эффектом умножения на $e_1$; иными словами, односторонний сдвиг совпадает с оператором умножения на $\mathbf{H}^2$, определённым равенством $(Uf)(z) = zf(z)$.

Пусть $\mathbf{H}$ — гильбертово пространство всех двусторонних (билатеральных) квадратично суммируемых последовательностей; элементы $\mathbf{H}$ удобнее всего записывать в виде

где член в скобках указывает на тот, что соответствует индексу $0$. Двусторонний сдвиг — это оператор $W$ на $\mathbf{H}$, определённый равенством

Это изометрия, и, поскольку её область значений — всё $\mathbf{H}$, она даже унитарна. Если $e_n$ — вектор $\left\langle \ldots , \xi_{-1}, (\xi_0), \xi_1, \ldots \right\rangle$, для которого $\xi_n = 1$ и $\xi_i = 0$ при $i \neq n$ ($n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$), то $e_n$ образуют ортонормированный базис для $\mathbf{H}$, и $We_n = e_{n+1}$ ($n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$).

Функциональное гильбертово пространство — это гильбертово пространство $\mathbf{H}$, элементы которого суть комплекснозначные функции на некотором множестве $X$, такое что для каждого $x \in X$ вычисление значения в точке $x$ является ограниченным линейным функционалом на $\mathbf{H}$; по теореме Рисса о представлении тогда для каждого $x$ существует вектор $K_x \in \mathbf{H}$ (воспроизводящее ядро в точке $x$) такой, что $f(x) = \left\langle f, K_x \right\rangle$ для каждого $f \in \mathbf{H}$, и векторы $K_x$ всегда порождают $\mathbf{H}$. Умножением на функциональном гильбертовом пространстве $\mathbf{H}$ (с областью определения $X$) называется оператор $A$, для которого существует функция $\varphi$ (мультипликатор) на $X$ такая, что $(Af)(x) = \varphi (x)f(x)$ для каждого $f \in \mathbf{H}$ и каждого $x \in X$.

Осторожно: как показывают факты об умножениях на пространствах $L^{2}$ (ср. Решение 81), эта характеризация применима только к функциональным гильбертовым пространствам. Этот результат, по-видимому, принадлежит П. Р. Халмошу и А. Л. Шилдсу.