Векторы

Теорема Рисса о представлении утверждает, что каждому ограниченному линейному функционалу $\xi$ на гильбертовом пространстве $\mathbf{H}$ соответствует вектор $g$ из $\mathbf{H}$, такой что $\xi (f) = \left\langle f, g \right\rangle$ для всех $f$. Это утверждение "инвариантно", или "бескоординатно", и потому, согласно современной математической этике, доказательство обязано быть таким же. Беда в том, что большинство бескоординатных доказательств настолько изящны, что скрывают истинную суть происходящего.

В вещественном векторном пространстве (а значит, в частности, и в комплексном) отрезок, соединяющий два различных вектора $f$ и $g$, по определению есть множество всех векторов вида $tf + (1-t)g$, где $0 \leq t \leq 1$. Подмножество вещественного векторного пространства называется выпуклым, если для каждой пары содержащихся в нём векторов оно содержит и весь отрезок, их соединяющий. Единичный шар — это множество всех векторов $f$ с $\left\| f\right\| \leq 1$.

Если $h = tf + (1-t)g$ — точка отрезка, соединяющего два различных вектора $f$ и $g$, и $0 < t < 1$, то $h$ называется внутренней точкой этого отрезка. Если точка выпуклого множества не принадлежит внутренности ни одного отрезка, лежащего в этом множестве, она называется крайней точкой множества. Замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве называется строго выпуклым, если все его граничные точки — крайние.

Непрерывная кривая в гильбертовом пространстве $\mathbf{H}$ — это непрерывная функция из замкнутого единичного отрезка в $\mathbf{H}$; кривая называется простой, если эта функция инъективна. Хорда кривой $f$, определяемая параметрическим интервалом $\left[a, b\right]$, — это вектор $f(b) - f(a)$. Две хорды, определяемые интервалами $\left[a, b\right]$ и $\left[c, d\right]$, называются непересекающимися, если интервалы $\left[a, b\right]$ и $\left[c, d\right]$ имеют не более одной общей точки, являющейся концом обоих.

Скомканная дуга — это простая непрерывная кривая, у которой любые две непересекающиеся хорды ортогональны (см. задачу 5). Существует три тривиальных смысла, в которых скомканные дуги не единственны. (1) Сдвиг: зафиксируем вектор $f_0$ и заменим дугу $f$ на $f + f_0$. Средство: нормировать так, чтобы $f(0) = 0$. (2) Масштаб: зафиксируем положительное число $\alpha$ и заменим дугу $f$ на $\alpha f$. Средство: нормировать так, чтобы $\left\| f(1)\right\| = 1$. (3) Линейная оболочка: зафиксируем гильбертово пространство $\mathbf{H}_0$ и заменим $\mathbf{H}$ (пространство значений $f$) на $\mathbf{H} \oplus \mathbf{H}_0$. Средство: нормировать так, чтобы линейная оболочка множества значений $f$ совпадала с $\mathbf{H}$. Скомканная дуга называется нормированной, если к ней применены все три этих нормировки.

Есть ещё два полезных способа превратить одну скомканную дугу в другую. Один — репараметризация: зафиксируем возрастающий гомеоморфизм $\varphi$ отрезка $\left[0,1\right]$ на себя и заменим $f$ на $f \circ \varphi$. Другой — унитарная эквивалентность: зафиксируем унитарный оператор $U$ на $\mathbf{H}$ и заменим $f$ на $Uf$.

Подмножество гильбертова пространства называется тотальным, если его линейная оболочка совпадает со всем пространством.

Подмножество гильбертова пространства называется тотальным, если его линейная оболочка совпадает со всем пространством.

Гильбертово пространство $l^2$ состоит, по определению, из всех бесконечных последовательностей $\left\langle \xi_0, \xi_1, \xi_2, \ldots \right\rangle$ комплексных чисел, таких что $\sum_{n=0}^{\infty } \left|\xi_n\right|^2 < \infty$. Операции над векторами покоординатны, а скалярное произведение определяется формулой

Подмножество гильбертова пространства называется тотальным, если его линейная оболочка совпадает со всем пространством.