Пуассоновский процесс

Пусть $\left\{ X_1(t), t \geq 0\right\}$ и $\left\{ X_2(t), t \geq 0\right\}$ — независимые пуассоновские процессы с общей интенсивностью $\lambda$. Предположим, что $X_1(3) = 9$ и $X_2(3) = 5$. Какова вероятность того, что процесс $X_1$ достигнет уровня 10 раньше процесса $X_2$?

Решите ту же задачу в предположении, что процессы имеют интенсивности $\lambda_1$ и $\lambda_2$ соответственно.

Рассмотрим два независимых пуассоновских процесса $\left\{ X_1(t), t \geq 0\right\}$ и $\left\{ X_2(t), t \geq 0\right\}$ с общей интенсивностью. Какова вероятность того, что двумерный процесс $\left\{ (X_1(t), X_2(t)), t \geq 0\right\}$ пройдёт через точку

Сьюзан очень любит блины, а Том — нет. Время съедания одного блина можно считать экспоненциальным. Их мать, наблюдая за ними на протяжении многих лет, оценивает параметры ($=1/\text{ожидаемое время}$) как 7 и 2 соответственно. Вычислите вероятность того, что Сьюзан доест 10 блинов раньше, чем Том доест свой первый.

Предположим, что клиенты прибывают к стойке или серверу согласно пуассоновскому процессу с интенсивностью $\lambda$, и что времена обслуживания независимы и имеют распределение $\mathrm{Exp}(1/\mu )$. Предположим также, что один клиент прибывает в момент времени ноль и застаёт стойку свободной.

Фредрик и Ульрих оба получили на Рождество машинки для мыльных пузырей. Машинки выпускают пузыри согласно независимым пуассоновским процессам с интенсивностями 3 и 2 (пузыря в минуту) соответственно. Предположим, что они включают их одновременно.

В центре шпионажа в Кзнатропске задумались о новом методе отправки телеграмм азбукой Морзе. Вместо использования традиционного метода, то есть отправки букв группами по 5 согласно пуассоновскому процессу с интенсивностью 1, можно было бы отправлять их по одной согласно пуассоновскому процессу с интенсивностью 5. Прежде чем решить, какой метод использовать, хотелось бы знать следующее: какова вероятность того, что отправка одной группы из 5 букв традиционным способом займёт меньше времени, чем отправка 5 букв новым способом (собственно временем передачи можно пренебречь).

Рассмотрим пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$. Начинаем наблюдение в момент времени $t=0$. Пусть $T$ — время, прошедшее до первого события. Продолжим наблюдать процесс ещё в течение $T$ единиц времени. Пусть $N(T)$ — число событий за этот второй период (т.е. на интервале $(T,2T]$). Определите распределение $N(T)$.

Источник частиц $A$ испускает по одной частице за раз в соответствии с пуассоновским процессом интенсивностью две частицы в минуту. Другой источник частиц $B$ испускает по две частицы за раз в соответствии с пуассоновским процессом интенсивностью одна пара частиц в минуту. Источники независимы друг от друга. Мы начинаем наблюдать за источниками в момент времени ноль. Вычислите вероятность того, что источник $A$ испустит две частицы раньше, чем это сделает источник $B$.

Конкретный компонент в криптометре имеет $\mathrm{Exp}(\mu )$-распределённое время жизни, $\mu > 0$. Если замена производится сразу после отказа компонента, и если $X(t) = \#$ отказов за $(0,t] = \#$ замен за $(0,t]$, то $\left\{ X(t), t \geq 0\right\}$, разумеется, является пуассоновским процессом. Пусть $\left\{ V_n, n \geq 1\right\}$ — эти обычные времена между заменами, и предположим вместо этого, что $n$-й компонент заменяется:

Карин приходит на почту, которая открывается в 9:00 утра, в 9:05 утра. Она застаёт двух работающих кассиров, каждый из которых обслуживает по одному клиенту. Обслуживание этих клиентов началось в 9:00 и 9:01 соответственно. Времена обслуживания независимы и $\mathrm{Exp}(8)$-распределены. Пусть $T_k$ — время от 9:05 до момента завершения обслуживания $k$-го из двух клиентов, $k=1,2$. Найдите $\mathbb {E}\left[T_k\right]$ для $k=1$ и $2$.

Монс ждёт автобус. Время ожидания $T$ имеет распределение $\mathrm{U}(0,a)$. Пока он ждёт, он пытается поймать попутную машину среди проезжающих мимо автомобилей, появляющихся в соответствии с пуассоновским процессом с интенсивностью $\lambda$. Вероятность того, что проезжающая машина его подберёт, равна $p$. Определите вероятность того, что Монса подберёт какая-нибудь машина раньше, чем прибудет автобус.

Рассмотрим передатчик, который передаёт сигналы в соответствии с пуассоновским процессом с интенсивностью $\lambda$. Сигналы принимаются приёмником, однако таким образом, что каждый сигнал регистрируется с вероятностью $p$, $0 < p < 1$, и «пропускается» с вероятностью $q = 1-p$. Регистрации независимы. Пусть $X(t)$ — число переданных сигналов за $(0,t]$, пусть $Y(t)$ — число зарегистрированных сигналов, а $Z(t)$ — число незарегистрированных сигналов за этот период, где $t \geq 0$.

Мы видели, что прореженный пуассоновский процесс снова является пуассоновским процессом. Докажите следующий аналог для «геометрического процесса». Точнее:

Радиолюбительница хочет передать сообщение. Частота, на которой она передаёт сигналы азбукой Морзе, подвержена случайным помехам в соответствии с пуассоновским процессом с интенсивностью $\lambda$ в секунду. Чтобы передача прошла успешно, ей нужен период времени в $a$ секунд без помех. Она останавливается, как только заканчивает. Пусть $T$ — общее время, необходимое для завершения. Определите $\mathbb {E}\left[T\right]$.

Питер хочет сфотографировать свою девушку Шейлу. Поскольку они находятся в довольно тёмной комнате, ему нужна довольно длинная выдержка, в течение которой Шейла не должна двигаться. Ситуацию можно описать следующей моделью. Успешное фото называется «$A$-событием». Каждый раз, когда Шейла двигается, она вызывает помеху, называемую «$D$-событием». $A$-события и $D$-события происходят в соответствии с независимыми пуассоновскими процессами с интенсивностями $\lambda_A$ и $\lambda_D$ соответственно. Эксперимент начинается в момент времени $t=0$. Пусть $T$ — момент первого $A$-события. Эксперимент считается успешным, если $T \geq 1$ и если ни одно $D$-событие не происходит в течение интервала времени $(0,T+2]$. Какова вероятность успешного фото?

Люди приходят к банкомату (АТМ) в соответствии с пуассоновским процессом с интенсивностью $\lambda$. Время обслуживания, требуемое банкоматом, постоянно и равно $a$ секундам. К сожалению, этот банкомат не допускает очереди ожидающих клиентов, а значит, люди, приходящие, пока банкомат занят, вынуждены уходить. Когда $a$ секунд обслуживания клиента истекают, банкомат снова свободен для обслуживания, и так далее. Предположим, что банкомат свободен в момент времени ноль, и пусть $T_n$ — момент прихода $n$-го клиента. Найдите распределение $T_n$ и вычислите $\mathbb {E}\left[T_n\right]$ и $\operatorname {Var}\left[T_n\right]$.

Предположим, что мы находимся в момент времени ноль. Пассажиры прибывают на железнодорожную станцию в соответствии с пуассоновским процессом с интенсивностью $\lambda$. Вычислите математическое ожидание суммарного времени ожидания всех пассажиров, пришедших на станцию, чтобы успеть на поезд, отправляющийся в момент времени $t$.

Предположим, что электрические импульсы со случайными н.о.р. амплитудами $A_1, A_2, \ldots$ поступают на счётчик в соответствии с пуассоновским процессом с интенсивностью $\lambda$. Предполагается, что амплитуда импульса убывает экспоненциально, то есть если импульс имеет амплитуду $A$ в момент своего поступления, то его амплитуда в момент времени $t$ равна $Ae^{-\alpha t}$, где $\alpha$ — некоторый положительный параметр. Наконец, мы предполагаем, что начальные амплитуды импульсов независимы от пуассоновского процесса. Вычислите математическое ожидание суммарной амплитуды в момент времени $t$.

Клиенты прибывают в вычислительный центр в моменты времени, порождённые пуассоновским процессом с интенсивностью $\lambda$. Число заданий, приносимых клиентами в центр, — независимые случайные величины с общей производящей функцией $g(u)$. Вычислите производящую функцию числа заданий, принесённых в вычислительный центр за интервал времени $(s,t]$.

Мы видели, что если наложить друг на друга фиксированное число пуассоновских процессов, получится новый пуассоновский процесс. Однако это может быть неверно, если накладывать друг на друга случайное число таких процессов. Точнее, наложим друг на друга $N \in \mathrm{Fs}(p)$ независимых пуассоновских процессов, каждый с одной и той же интенсивностью $\lambda$, где $N$ независимо от пуассоновских процессов.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — н.о.р. времена жизни некоторого компонента в некоторой крупной машине. Простейшая стратегия замены заключается в замене компонента сразу после его отказа. В этом случае может понадобиться вызывать ремонтника ночью, что может быть дорого. Другая стратегия, называемая заменой по возрасту, заключается в замене компонента при отказе или по достижении заданного возраста $a$, в зависимости от того, что наступит раньше; в этом случае времена между заменами равны

Предположим, что $c_1$ — стоимость замены из-за отказа, а $c_2$ — стоимость замены по возрасту. Кроме того, пусть $Y_k$ — стоимость, связанная с заменой номер $k$, $k \geq 1$, а $N(t)$ — число замен, произведённых за интервал времени $(0,t]$, где $\left\{ N(t), t \geq 0\right\}$ — пуассоновский процесс, независимый от $X_1, X_2, \ldots$. Это означает, что

— это суммарная стоимость, вызванная заменами за интервал времени $(0,t]$ (с $Z(t)=0$, когда $N(t)=0$).

Пусть $\left\{ X(t), t \geq 0\right\}$ — пуассоновский процесс со случайной интенсивностью $\Lambda \in \Gamma (m,\theta )$.

Пусть $\left\{ X(t), t \geq 0\right\}$ — пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$, который работает в течение $N$ единиц времени, где $N \in \mathrm{Fs}(p)$.

Пуассоновский процесс наблюдается в течение $n$ дней. Однако интенсивность не постоянна, а случайно меняется день ото дня, так что интенсивности в течение этих $n$ дней можно считать $n$ независимыми, $\mathrm{Exp}(1/\alpha )$-распределёнными случайными величинами. Найдите распределение общего числа событий за эти $n$ дней.

Пусть $\left\{ X(t), t \geq 0\right\}$ — пуассоновский процесс, а $\left\{ T_k, k \geq 1\right\}$ — моменты наступления событий. Предположим, что известно, что $T_3=1$ и $T_1=x$, где $0 < x < 1$. Наша интуиция подсказывает, что условное распределение $T_2$ должно быть $\mathrm{U}(x,1)$-распределением. Докажите, что это действительно так, т.е. покажите, что

Пусть $X_1$, $X_2$ и $X_3$ — независимые, $\mathrm{Exp}(1)$-распределённые случайные величины, и пусть $X_{(1)}, X_{(2)}, X_{(3)}$ — соответствующие порядковые статистики. Найдите $\mathbb {E}_{}\left[X_{(3)} \mid X_{(1)}=x\right]$.

Пример 4.2.3: пусть $X_1$, $X_2$ и $X_3$ — независимые, $\mathrm{Exp}(1)$-распределённые случайные величины. Вычислить $\mathbb {E}_{}\left[X_{(3)} \mid X_{(1)}=x\right]$. Там эта задача решается сначала нахождением совместной плотности $f_{X_{(1)},X_{(3)}}(x,y) = 3 \cdot 2(e^{-x}-e^{-y})e^{-(x+y)}$ для $0<x<y$ (частный случай совместной плотности двух порядковых статистик), откуда получается условная плотность $f_{X_{(3)} \mid X_{(1)}=x}(y) = 2(e^{-x}-e^{-y})e^{2x-y}$ для $0<x<y$, а затем условное математическое ожидание вычисляется прямым интегрированием.

Рассмотрим систему массового обслуживания, в которую клиенты прибывают согласно пуассоновскому процессу с интенсивностью $\lambda$ клиентов в минуту. Пусть $X(t)$ — общее число клиентов, прибывших за $(0,t]$. Вычислите коэффициент корреляции $X(t)$ и $X(t+s)$.

Частица подвергается ударам в моменты времени, порождаемые пуассоновским процессом с интенсивностью $\lambda$. Каждый удар смещает частицу по горизонтали на $\mathrm{N}(0,\sigma^{2})$-распределённое расстояние. Смещения — независимые случайные величины, которые, кроме того, независимы от пуассоновского процесса. Пусть $S_t$ — положение частицы в момент времени $t$ (начинаем в момент времени ноль).

Рассмотрим пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$, и пусть $T$ — момент первого события на промежутке времени $(0,t]$. Если на $(0,t]$ событий не происходит, полагаем $T=t$. Вычислите $\mathbb {E}\left[T\right]$.

В предыдущем примере пусть, наоборот, $T$ — момент последнего события на промежутке времени $(0,t]$. Если на $(0,t]$ событий не происходит, полагаем $T=0$. Вычислите $\mathbb {E}\left[T\right]$.

Ещё одно (и последнее) определение пуассоновского процесса формулируется следующим образом (напомним, что согласно определению, используемому на протяжении всей этой главы, процесс $\left\{ X(t), t \geq 0\right\}$ называется пуассоновским процессом с интенсивностью $\lambda$, если он неотрицателен, целочисленен, $X(0)=0$, имеет независимые, стационарные приращения, и $X(t) \in \mathrm{Po}(\lambda t)$ для каждого $t > 0$): неубывающий случайный процесс $\left\{ X(t), t \geq 0\right\}$ является пуассоновским процессом тогда и только тогда, когда