Обзор дальнейших тем

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, и пусть $S_n = X_1 + \cdots + X_n$, $n \geq 1$. Последовательность $\left\{ S_n, n \geq 0\right\}$ (где $S_0 = 0$) называется случайным блужданием. Рассмотрим следующее «возмущённое» случайное блуждание. Пусть $\left\{ \varepsilon_n, n \geq 1\right\}$ — последовательность случайных величин такая, что при некотором фиксированном $A > 0$ выполнено $\mathbb {P}\left(\left|\varepsilon_n\right| \leq A\right) = 1$ для всех $n$, и положим

Предположим, что $\mathbb {E}\left[X_1\right] = \mu$ существует. Покажите, что для возмущённого случайного блуждания $\left\{ T_n, n \geq 1\right\}$ выполняется закон больших чисел.

В игре в кости хотят использовать одну из двух костей $A$ и $B$. У кости $A$ две белые и четыре красные грани, а у кости $B$ — две красные и четыре белые грани. Подбрасывается монета, чтобы решить, какую кость использовать, и далее используется только эта кость. Пусть $\left\{ X_k, k \geq 1\right\}$ — последовательность случайных величин, определённых следующим образом:

при $k$-м броске кости. Покажите, что для последовательности $\left\{ X_k, k \geq 1\right\}$ закон больших чисел не выполняется. Почему так происходит?

Предположим, что $X_1, X_2, \ldots$ — независимые случайные величины такие, что $X_k \in \operatorname {Ber}\left(p_k\right)$, $k \geq 1$, и пусть $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$, $m_n = \sum_{k=1}^{n} p_k$ и $s_n^2 = \sum_{k=1}^{n} p_k(1-p_k)$, $n \geq 1$. Покажите, что если

то

Докажите следующую центральную предельную теорему для суммы независимых (не обязательно одинаково распределённых) случайных величин: предположим, что $X_1, X_2, \ldots$ — независимые случайные величины такие, что $X_k \in U(-k,k)$, и пусть $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$, $n \geq 1$. Покажите, что

и найдите $\mu$ и $\sigma^2$.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые, $U(0,1)$-распределённые случайные величины. Будем говорить, что в точке $X_k$ есть пик, если $X_{k-1}$ и $X_{k+1}$ обе меньше $X_k$, $k \geq 2$. Какова вероятность пика в

Проверьте формулу (2.1), т.е. что если $X, X_1, X_2, \ldots$ — н.о.р.симметричные устойчивые случайные величины, то

Докажите, что закон больших чисел выполняется для симметричных устойчивых распределений с показателем $\alpha$, $1 < \alpha \leq 2$.

Пусть $0 < \alpha < 2$ и предположим, что $X, X_1, X_2, \ldots$ — независимые случайные величины с общей (двусторонней парето-подобной) плотностью

Покажите, что это распределение принадлежит области притяжения симметричного устойчивого распределения с показателем $\alpha$; иными словами, что суммы $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$ при подходящей нормировке сходятся по распределению к симметричному устойчивому распределению с показателем $\alpha$.

Та же задача, что и предыдущая, но для плотности

где $c$ — подходящая нормирующая постоянная.

Покажите, что экстремальные распределения принадлежат своей собственной области притяжения. Точнее, пусть $X, X_1, X_2, \ldots$ — н.о.р.случайные величины, и пусть

Покажите, что

Пусть $Y_1, Y_2, \ldots$ — независимые случайные величины с нулевым средним и конечными дисперсиями $\operatorname {Var}\left[Y_k\right] = \sigma_k^2$. Положим

Покажите, что $X_1, X_2, \ldots$ — мартингал.

Пусть $Y_1, Y_2, \ldots$ — н.о.р.случайные величины с конечным средним $\mu$ и конечной дисперсией $\sigma^2$, и пусть $S_n$, $n \geq 1$, обозначает их частичные суммы. Положим

Покажите, что $X_1, X_2, \ldots$ — мартингал.

Пусть $X(n)$ — число особей в $n$-м поколении ветвящегося процесса ($X(0) = 1$) со средним числом потомков $m$ ($= \mathbb {E}\left[X(1)\right]$). Положим

Покажите, что $U_1, U_2, \ldots$ — мартингал.

Пусть $Y_1, Y_2, \ldots$ — н.о.р.случайные величины с конечной производящей функцией моментов $\psi$, пусть $S_n = \sum_{k=1}^{n} Y_k$, $n \geq 1$, с $S_0 = 0$, и