Сходимость

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — случайные величины с распределением $U(0,1)$. Покажите, что

Пусть $\left\{ X_n, n \geq 1\right\}$ — последовательность н.о.р. случайных величин с плотностью

Положим $Y_n = \min \left\{ X_1, X_2, \ldots , X_n\right\}$. Покажите, что

Пусть $X_k$, $k \geq 1$, — н.о.р. случайные величины с конечной дисперсией $\sigma^2$, и пусть при $n \geq 1$

обозначают среднее арифметическое и выборочную дисперсию соответственно. Хорошо известно(?), что $s_n^2$ является несмещённой оценкой $\sigma^2$, то есть $\mathbb {E}\left[s_n^2\right] = \sigma^2$.

Пусть $(X_k, Y_k)$, $1 \leq k \leq n$, — выборка из двумерного распределения с вектором средних и ковариационной матрицей

соответственно, и пусть

обозначают средние арифметические и выборочные дисперсии соответствующих компонент. Выборочный коэффициент корреляции определяется как

Докажите, что

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые случайные величины с распределением $C(0,1)$. Найдите предельное распределение

при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые случайные величины с распределением $\text{Pa}(1,2)$, и положим $Y_n = \max \left\{ X_1, X_2, \ldots , X_n\right\}$.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, и пусть

Пусть $X_n \in \text{Ge}(\lambda /(n+\lambda ))$, $n = 1, 2, \ldots$, где $\lambda$ — положительная константа. Покажите, что $X_n/n$ сходится по распределению к показательному распределению при $n \rightarrow \infty$, и найдите параметр предельного распределения.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — последовательность случайных величин такая, что

Найдите предельное распределение $X_n$ при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $X_n \in \text{Bin}(n, p_n)$.

Пусть $X_n \in \text{Bin}(n^2, m/n)$, $m > 0$. Покажите, что

Пусть $X_{n1}, X_{n2}, \ldots , X_{nn}$ — независимые случайные величины с общим распределением, заданным следующим образом:

где $k = 1, 2, \ldots , n$ и $n = 2, 3, \ldots$. Положим $S_n = X_{n1} + X_{n2} + \cdots + X_{nn}$, $n \geq 2$. Покажите, что

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые, одинаково распределённые случайные величины с характеристической функцией

Положим $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$, $n \geq 1$. Покажите, что $S_n/n^2$ сходится по распределению при $n \rightarrow \infty$, и найдите предельное распределение.

Пусть $X_{n1}, X_{n2}, \ldots , X_{nn}$ — независимые случайные величины с заданным общим распределением, положим

и $S_n = X_{n1} + X_{n2} + \cdots + X_{nn}$ для $k = 1, 2, \ldots , n$ и $n \geq 2$. Покажите, что

и найдите $\lambda$.

Пусть $X$ и $Y$ — случайные величины такие, что

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые, $L(a)$-распределённые случайные величины, и пусть $N \in \text{Po}(m)$ независима от $X_1, X_2, \ldots$. Найдите предельное распределение $S_N = X_1 + X_2 + \cdots + X_N$ (где $S_0 = 0$) при $m \rightarrow \infty$ и $a \rightarrow 0$ таким образом, что $m \cdot a^2 \rightarrow 1$.

Пусть $N, X_1, X_2, \ldots$ — независимые случайные величины такие, что $N \in \text{Po}(\lambda )$ и $X_k \in \text{Po}(\mu )$, $k = 1, 2, \ldots$. Найдите предельное распределение $Y = X_1 + X_2 + \cdots + X_N$ при $\lambda \rightarrow \infty$ и $\mu \rightarrow 0$ таким образом, что $\lambda \cdot \mu \rightarrow \gamma > 0$. (Сумма равна нулю при $N = 0$.)

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые $\text{Po}(m)$-распределённые случайные величины, пусть $N \in \text{Ge}(p)$ независима от $X_1, X_2, \ldots$, и положим $S_N = X_1 + X_2 + \cdots + X_N$ (и $S_0 = 0$ при $N = 0$). Пусть $m \rightarrow 0$ и $p \rightarrow 0$ таким образом, что $p/m \rightarrow \alpha$, где $\alpha$ — заданное положительное число. Покажите, что $S_N$ сходится по распределению, и найдите предельное распределение.

Пусть случайные величины $N_n, X_1, X_2, \ldots$ независимы, $N_n \in \text{Ge}(p_n)$, $0 < p_n < 1$, а $X_1, X_2, \ldots$ одинаково распределены с конечным средним $\mu$. Покажите, что если $p_n \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, то $p_n(X_1 + X_2 + \cdots + X_{N_n})$ сходится по распределению при $n \rightarrow \infty$, и найдите предельное распределение.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые одинаково распределённые симметричные случайные величины с конечной дисперсией $\sigma^2$, пусть $N_p \in \text{Fs}(p)$ независима от $X_1, X_2, \ldots$, и положим $Y_p = \sum_{k=1}^{N_p} X_k$. Покажите, что

и найдите $a$.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые, $U(0,1)$-распределённые случайные величины, и пусть $N_m \in \text{Po}(m)$ независима от $X_1, X_2, \ldots$. Положим

($V_m = 0$, когда $N_m = 0$). Найдите

Пусть $X_{1n}, X_{2n}, \ldots , X_{nn}$ — независимые случайные величины такие, что $X_{kn} \in \text{Be}(p_{k,n})$, $k = 1, 2, \ldots , n$, $n \geq 1$. Пусть, далее, $\sum_{k=1}^{n} p_{k,n} \rightarrow \lambda < \infty$ и $\max_{1 \leq k \leq n} p_{k,n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Покажите, что $\sum_{k=1}^{n} X_{kn}$ сходится по распределению при $n \rightarrow \infty$, и найдите предельное распределение.

Покажите, что

применяя центральную предельную теорему к подходящим образом выбранным независимым пуассоновским случайным величинам.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые, $U(-1,1)$-распределённые случайные величины.

Пусть $X_n \in \Gamma (n,1)$, и положим

Покажите, что $Y_n \xrightarrow {d} N(0,1)$ при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — положительные, независимые одинаково распределённые случайные величины со средним $\mu$ и конечной дисперсией $\sigma^2$, и положим $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$, $n \geq 1$. Покажите, что

и найдите $b^2$.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечным средним $\mu \neq 0$, и положим $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$, $n \geq 1$.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины со средним 0 и дисперсией 1. Покажите, что

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ и $Y_1, Y_2, \ldots$ — две (не обязательно независимые) последовательности случайных величин, и пусть $X_n \xrightarrow {d} X$ и $\mathbb {P}\left(X_n \neq Y_n\right) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Докажите, что (также)

Пусть $\left\{ Y_k, k \geq 1\right\}$ — независимые, $U(-1,1)$-распределённые случайные величины, и положим

Покажите, что $X_n \xrightarrow {d} N(0,1/3)$ при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые, $U(-a,a)$-распределённые случайные величины ($a > 0$). Положим

Покажите, что $S_n Z_n / V_n$ при подходящей нормировке сходится по распределению при $n \rightarrow \infty$, и найдите предельное распределение.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые, $U(0,1)$-распределённые случайные величины, и положим

Найдите предельное распределение $nV_n/Z_n$ при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые случайные величины такие, что $X_k \in \text{Exp}(k!)$, $k = 1, 2, \ldots$, и положим $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$, $n \geq 1$. Покажите, что

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с математическим ожиданием 1 и конечной дисперсией $\sigma^2$, и положим $S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$, для $n \geq 1$. Покажите, что

и найдите константу $b^2$.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — н.о.р. случайные величины со средним $\mu$ и положительной конечной дисперсией $\sigma^2$, и пусть $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$, $n \geq 1$. Наконец, предположим, что $g$ дважды непрерывно дифференцируема и что $g'(\mu ) \neq 0$. Покажите, что

и найдите $b^2$.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ и $Y_1, Y_2, \ldots$ — независимые последовательности независимых случайных величин. Предположим, что существуют последовательности $\left\{ a_n, n \geq 1\right\}$ вещественных чисел и $\left\{ b_n, n \geq 1\right\}$ положительных вещественных чисел, стремящихся к бесконечности, такие что

где $Z_1$ и $Z_2$ — независимые случайные величины. Покажите, что

Предположим, что $\left\{ U_t, t \geq 0\right\}$ и $\left\{ V_t, t \geq 0\right\}$ — семейства случайных величин, такие что

для некоторой конечной константы $a$ и случайной величины $V$. Докажите, что

при $t \rightarrow \infty$.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые случайные величины, такие что при некотором фиксированном натуральном числе $m$ величины $X_1, \ldots , X_m$ одинаково распределены со средним $\mu_1$ и дисперсией $\sigma_1^2$, а $X_{m+1}, X_{m+2}, \ldots$ одинаково распределены со средним $\mu_2$ и дисперсией $\sigma_2^2$. Пусть $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$, $n \geq 1$. Покажите, что центральная предельная теорема (по-прежнему) выполняется.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — случайные величины с распределением $U(-1,1)$, и пусть

Пусть $Z \in U(0,1)$ независима от $Y_1, Y_2, \ldots$, где

и пусть

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — одинаково распределённые случайные величины, сходящиеся по распределению к случайной величине $X$, пусть $\left\{ a_n, n \geq 1\right\}$ и $\left\{ b_n, n \geq 1\right\}$ — последовательности положительных вещественных чисел, $\nearrow +\infty$, и пусть

Следующий пример показывает, что последовательность непрерывных случайных величин может сходиться по распределению без того, чтобы последовательность плотностей сходилась. А именно, пусть $X_n$ имеет функцию распределения, заданную формулой

Покажите, что $X_n \xrightarrow {d} U(0,1)$ при $n \rightarrow \infty$, но что $f_n(x)$ не сходится к плотности распределения $U(0,1)$.

Пусть $Y_1, Y_2, \ldots$ — последовательность случайных величин, такая что

и пусть $\left\{ N_n, n \geq 1\right\}$ — последовательность неотрицательных целочисленных случайных величин, такая что

Наконец, предположим, что последовательности $\left\{ N_n, n \geq 1\right\}$ и $Y_1, Y_2, \ldots$ независимы друг от друга. Докажите (например, с помощью характеристических функций), что

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ и $X$ — нормальные случайные величины. Покажите, что

Предположим, что $X_n \in \text{Exp}(a_n)$, $n \geq 1$. Покажите, что

Докажите, что если $\left\{ X_n, n \geq 1\right\}$ — пуассоновские случайные величины такие, что $X_n$ сходится к $X$ в среднеквадратичном, то $X$ также должна быть пуассоновской.

Предположим, что $\left\{ Z_k, k \geq 1\right\}$ — последовательность ветвящихся процессов — все они начинаются с одной особи в момент времени 0. Предположим, кроме того, что $Z_k \xrightarrow {d} Z$ при $k \rightarrow \infty$, где $Z$ — некоторая неотрицательная целочисленная случайная величина. Покажите, что соответствующая последовательность $\left\{ \eta_k, k \geq 1\right\}$ вероятностей вырождения сходится при $k \rightarrow \infty$.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые случайные величины, такие что $X_k \in \text{Po}(k)$, $k = 1, 2, \ldots$, и пусть $Z_n = \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n} X_k - n^2/2\right)$. Покажите, что $Z_n$ сходится по распределению при $n \rightarrow \infty$, и найдите предельное распределение.

Предположим, что производится $N \in \text{Po}(\lambda )$ независимых наблюдений случайной величины $X$ со средним 0 и дисперсией 1. Более того, предположим, что $N$ независима от $X_1, X_2, \ldots$. Покажите, что

Цель этой задачи — показать, что можно получить (своего рода) центральную предельную теорему, даже если слагаемые имеют бесконечную дисперсию (если дисперсия не существует). Краткое введение в общую тему возможных предельных теорем для нормированных сумм без конечной дисперсии дано в разделе 7.3.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые случайные величины со следующим симметричным распределением Парето:

Пусть $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$, $n \geq 1$. Покажите с помощью следующих шагов, что

(Заметьте, что мы не нормируем на $\sqrt{n}$, как в стандартном случае.)

Зафиксируем $n$ и рассмотрим, для $k = 1, 2, \ldots , n$, усечённые случайные величины

и

и заметьте, что $Y_{nk} + Z_{nk} = X_k$. Далее пусть $S_n' = \sum_{k=1}^{n} Y_{nk}$ и $S_n'' = \sum_{k=1}^{n} Z_{nk}$.