Многомерное нормальное распределение

В этой главе мы (пока) встретили три эквивалентных определения многомерного нормального распределения. Вот четвёртое: $\mathbf{X}$ нормален тогда и только тогда, когда существует ортогональное преобразование $\mathbf{C}$ такое, что случайный вектор $\mathbf{CX}$ имеет независимые нормальные компоненты. Показать, что это определение действительно эквивалентно обычным (например, показав, что оно эквивалентно первому).

Предположим, что $X$ и $Y$ имеют двумерное нормальное распределение со средними $0$, дисперсиями $1$ и коэффициентом корреляции $\rho$, $\left|\rho \right| < 1$. Пусть $(R, \Theta )$ — полярные координаты. Найти распределение $\Theta$.

Случайные величины $X_{1}$ и $X_{2}$ независимы и имеют распределение $N(0,1)$. Положим

Показать, что $Y_{1}$ и $Y_{2}$ независимы и имеют распределение $N(0,1)$.

Случайный вектор $(X, Y)'$ имеет двумерное нормальное распределение с $\operatorname {Var}\left[X\right] = \operatorname {Var}\left[Y\right]$. Показать, что $X+Y$ и $X-Y$ — независимые случайные величины.

Предположим, что $X$ и $Y$ имеют совместное нормальное распределение с $\mathbb {E}\left[X\right] = \mathbb {E}\left[Y\right] = 0$, $\operatorname {Var}\left[X\right] = \sigma_{x}^{2}$, $\operatorname {Var}\left[Y\right] = \sigma_{y}^{2}$ и коэффициентом корреляции $\rho$. Вычислить $\mathbb {E}\left[XY\right]$ и $\operatorname {Var}\left[XY\right]$.

Случайные величины $X$ и $Y$ независимы и имеют распределение $N(0,1)$. Найти

Из раздела 7 мы знаем, что если $X$ и $Y$ совместно нормально распределены, то они независимы тогда и только тогда, когда они некоррелированы. Теперь пусть $X \in N(0,1)$ и $c \geq 0$. Определим $Y$ следующим образом:

В разделе 6 мы установили, что условные распределения нормальных векторов нормальны. Обратное, однако, неверно. А именно, рассмотрим двумерную плотность

где $C$ — нормирующая константа. Это не двумерная нормальная плотность. Показать, что несмотря на это условные распределения нормальны, то есть вычислить условные плотности $f_{Y \mid X=x}(y)$ и $f_{X \mid Y=y}(x)$ и показать, что они являются нормальными плотностями.

Предположим, что случайные величины $X$ и $Y$ независимы и имеют распределение $N(0,\sigma^{2})$.

Предположим, что производящая функция моментов $(X,Y)'$ равна

Найти $a$ так, чтобы $X+2Y$ и $2X-Y$ стали независимыми.

Пусть $\mathbf{X}$ имеет трёхмерное нормальное распределение. Показать, что если $X_{1}$ и $X_{2}+X_{3}$ независимы, $X_{2}$ и $X_{1}+X_{3}$ независимы, а $X_{3}$ и $X_{1}+X_{2}$ независимы, то $X_{1}$, $X_{2}$ и $X_{3}$ независимы.

Пусть $X_{1}$ и $X_{2}$ — независимые случайные величины с распределением $N(0,1)$. Положим $Y_{1} = X_{1}-3X_{2}+2$ и $Y_{2} = 2X_{1}-X_{2}-1$. Найти распределение

Пусть $X_{1}$, $X_{2}$ и $X_{3}$ — независимые случайные величины с распределением $N(1,1)$. Положим $U = 2X_{1}-X_{2}+X_{3}$ и $V = X_{1}+2X_{2}+3X_{3}$. Найти условное распределение $V$ при условии $U = 3$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ — независимые случайные величины с распределением $N(2,1)$. Найти распределение $X_{1}+3X_{2}-2X_{3}$ при условии $2X_{1}-X_{2} = 1$.

Пусть $Y_{1}, Y_{2}$ и $Y_{3}$ — независимые случайные величины с распределением $N(0,1)$, и положим

Найти условное распределение $X_{2}$ при условии $X_{1}+X_{3} = x$.

Случайные величины $X_{1}$, $X_{2}$ и $X_{3}$ независимы и имеют распределение $N(0,1)$. Рассмотрим случайные величины

Найти условную плотность $Y_{1}$ при условии $Y_{2} = Y_{3} = 0$.

Случайный вектор $\mathbf{X}$ имеет трёхмерное нормальное распределение с вектором средних $\mathbf{0}$ и ковариационной матрицей $\mathbf{\Lambda }$, заданной как

Найти распределение $X_{2}$ при условии $X_{1}-X_{3} = 1$ и $X_{2}+X_{3} = 0$.

Случайный вектор $\mathbf{X}$ имеет трёхмерное нормальное распределение с математическим ожиданием $\mathbf{0}$ и ковариационной матрицей $\mathbf{\Lambda }$, заданной как

Найти распределение $X_{3}$ при условии $X_{1} = 1$.

Случайный вектор $\mathbf{X}$ имеет трёхмерное нормальное распределение с математическим ожиданием $\mathbf{0}$ и ковариационной матрицей $\mathbf{\Lambda }$, заданной как

Найти распределение $X_{2}$ при условии $X_{1}+X_{3} = 1$.

Случайный вектор $\mathbf{X}$ имеет трёхмерное нормальное распределение с вектором средних $\boldsymbol {\mu } = \mathbf{0}$ и ковариационной матрицей

Найти распределение $X_{1}+X_{3}$ при условии

Пусть $\mathbf{X} \in N(\boldsymbol {\mu }, \mathbf{\Lambda })$, где

Найдите условное распределение $X_{1}-X_{3}$ при условии, что $X_{2} = -1$.

Пусть $\mathbf{X} \in N(\boldsymbol {\mu }, \mathbf{\Lambda })$, где

Найдите условное распределение $X_{1}+X_{2}$ при условии, что $X_{3} = 1$.

Случайный вектор $\mathbf{X}$ имеет трёхмерное нормальное распределение с математическим ожиданием $\boldsymbol {\mu }$ и ковариационной матрицей $\mathbf{\Lambda }$, заданными как

Найдите условное распределение $X_{1}+2X_{2}$ при условии, что

Случайный вектор $\mathbf{X}$ имеет трёхмерное нормальное распределение с вектором средних $\boldsymbol {\mu }$ и ковариационной матрицей $\mathbf{\Lambda }$, заданными как

Найдите условное распределение $X_{1}$ при условии, что $X_{1} = -X_{2}$.

Пусть $\mathbf{X}$ имеет трёхмерное нормальное распределение с вектором средних и ковариационной матрицей

соответственно. Положим $Y_{1} = X_{1}+X_{2}+X_{3}$ и $Y_{2} = X_{1}+X_{3}$. Найдите условное распределение $Y_{1}$ при условии, что $Y_{2} = 0$.

Пусть $\mathbf{X} \in N(\mathbf{0}, \mathbf{\Lambda })$, где

Найдите условное распределение $X_{1}$ при условии, что $X_{1} = X_{2}$ и $X_{1}+X_{2}+X_{3} = 0$.

Случайный вектор $\mathbf{X}$ имеет трёхмерное нормальное распределение с математическим ожиданием $\mathbf{0}$ и ковариационной матрицей $\mathbf{\Lambda }$, заданной как

Найдите распределение $X_{2}$ при условии, что $X_{1} = X_{2} = X_{3}$.

Пусть $\mathbf{X} \in N(\mathbf{0}, \mathbf{\Lambda })$, где

Найдите условное распределение $(X_{1}, X_{1}+X_{2})'$ при условии, что $X_{1}+X_{2}+X_{3} = 0$.

Пусть характеристическая функция $(X,Y,Z)'$ равна

Вычислите условное распределение $X+Z$ при условии, что $X+Y = 0$.

Пусть $X_{1}$, $X_{2}$ и $X_{3}$ имеют совместную производящую функцию моментов вида

Найдите условное распределение $X_{1}+X_{3}$ при условии, что $X_{1}+X_{2} = 1$.

Производящая функция моментов $(X,Y,Z)'$ равна

Найдите условное распределение $X$ при условии, что $X+Z = 0$ и $Y+Z = 1$.

Пусть $(X,Y,Z)'$ имеет нормальное распределение с плотностью

где $C$ — нормирующая константа. Найдите условное распределение $X$ при условии, что $X+Z = 1$ и $Y+Z = 0$.

Пусть $X$ и $Y$ — случайные величины, такие что

Пусть $X$ и $Y$ совместно нормальны с нулевыми средними, единичными дисперсиями и коэффициентом корреляции $\rho$. Вычислите производящую функцию моментов для $X \cdot Y$ при

Пусть $X_{1}$, $X_{2}$ и $X_{3}$ независимы и имеют распределение $N(0,1)$. Вычислите производящую функцию моментов для $Y = X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3}$.

Если $X$ и $Y$ независимы и имеют распределение $N(0,1)$, то $X^{2}+Y^{2} \in \chi^{2}(2)$ (вспомните задачу 3.3.6). Теперь пусть $X$ и $Y$ совместно нормальны с нулевыми средними, единичными дисперсиями и коэффициентом корреляции $\rho$. В этом случае $X^{2}+Y^{2}$ имеет нецентральное распределение $\chi^{2}(2)$. Найдите производящую функцию моментов этого распределения.

Пусть $(X,Y)'$ имеет двумерное нормальное распределение с нулевыми средними, единичными дисперсиями и коэффициентом корреляции $\rho$, $\left|\rho \right| < 1$. Найдите распределение $(X^{2}-2\rho XY+Y^{2})/(1-\rho^{2})$, вычислив его производящую функцию моментов.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые случайные величины с распределением $N(0,1)$, и положим $\overline{X}_{k} = \dfrac {1}{k-1}\sum_{i=1}^{k-1} X_{i}$, $2 \leq k \leq n$. Покажите, что

имеет $\chi^{2}$-распределение. Каково число степеней свободы?

Пусть $X_{1}$, $X_{2}$ и $X_{3}$ — независимые случайные величины с распределением $N(1,1)$. Положим $U = X_{1}+X_{2}+X_{3}$ и $V = X_{1}+2X_{2}+3X_{3}$. Найдите константы $a$ и $b$, при которых $\mathbb {E}\left[(U-a-bV)^{2}\right]$ минимально.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с распределением $N(0,1)$. Тогда $X+Y$ и $X-Y$ независимы; см. пример 7.1. Цель данной задачи — указать (частичное) обращение этого утверждения. Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с общей функцией распределения $F$. Предположим далее, что $F$ симметрична и что $\sigma^{2} = \mathbb {E}\left[X^{2}\right] < \infty$. Пусть $\varphi$ — характеристическая функция $X$ (и $Y$). Покажите, что если $X+Y$ и $X-Y$ независимы, то

Используя это соотношение, покажите, что $\varphi (t) = e^{-\sigma^{2}t^{2}/2}$. Наконец, заключите, что $F$ является функцией распределения нормального распределения $(N(0,\sigma^{2}))$.