Порядковые статистики

Предположим, что $X$, $Y$ и $Z$ имеют совместную плотность, заданную формулой

Вычислите $\mathbb {P}\left(X < Y < Z\right)$ и $\mathbb {P}\left(X = Y < Z\right)$.

Две точки выбираются равномерно и независимо на окружности круга радиуса $1$. Это делит окружность на две части. Определите математическое ожидание длины более короткой части.

Пусть $X_1$ и $X_2$ — независимые, $U(0,1)$-распределённые случайные величины, и пусть $Y$ обозначает точку, ближайшую к концу отрезка. Определите распределение $Y$.

Статистику Хрюше приходится ждать время $T_0$ на почте в тот момент, когда она очень спешит. Чтобы выяснить, не заставляет ли её случай ждать особенно долго именно тогда, когда она спешит, она проверяет, сколько раз она приходит на почту, пока ей не придётся ждать дольше, чем в первый раз. Формально пусть $T_1, T_2, \ldots$ — последовательные времена ожидания, а $N$ — число раз до тех пор, пока не найдётся $T_k > T_0$, то есть

Каково распределение $N$ в предположении, что $\left\{ T_n, n \geq 0\right\}$ — независимые одинаково распределённые непрерывные случайные величины? Что можно сказать о $\mathbb {E}\left[N\right]$?

Пусть $X_1, X_2, \ldots , X_n$ — независимые непрерывные случайные величины с общей функцией распределения $F(x)$, и рассмотрим порядковую статистику $(X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots , X_{(n)})$. Вычислите $\mathbb {E}\left[F(X_{(n)}) - F(X_{(1)})\right]$.

Пусть $X_1$, $X_2$, $X_3$ и $X_4$ — независимые, $U(0,1)$-распределённые случайные величины. Вычислите

Пусть $X_1$, $X_2$, $X_3$ — независимые $U(0,1)$-распределённые случайные величины, и пусть $X_{(1)}, X_{(2)}, X_{(3)}$ — соответствующие порядковые величины. Вычислите $\mathbb {P}\left(X_{(1)} + X_{(3)} \leq 1\right)$.

Предположим, что $X_1, X_2, X_3, X_4$ — независимые $U(0,1)$-распределённые случайные величины, и пусть $(X_{(1)}, X_{(2)}, X_{(3)}, X_{(4)})$ — соответствующая порядковая статистика. Вычислите

Предположим, что $X_1, X_2, X_3, X_4$ — независимые $U(0,1)$-распределённые случайные величины, и пусть $(X_{(1)}, X_{(2)}, X_{(3)}, X_{(4)})$ — соответствующая порядковая статистика. Найдите распределение

Предположим, что $X_1, X_2, X_3$ — независимые $U(0,1)$-распределённые случайные величины, и пусть $(X_{(1)}, X_{(2)}, X_{(3)})$ — соответствующая порядковая статистика. Вычислите $\mathbb {P}\left(X_{(1)} + X_{(2)} > X_{(3)}\right)$.

Предположим, что $X_1, X_2, X_3$ — независимые $U(0,1)$-распределённые случайные величины, и пусть $(X_{(1)}, X_{(2)}, X_{(3)})$ — соответствующая порядковая статистика. Разумеется, тривиально, что всегда $X_{(3)} \geq X_{(1)}$. Однако,

Пусть $X_1, X_2, X_3$ — независимые $U(0,1)$-распределённые случайные величины, и пусть $X_{(1)}, X_{(2)}, X_{(3)}$ — упорядоченная выборка. Пусть $0 \leq a < b \leq 1$. Вычислите

Пусть $X_1, X_2, \ldots , X_8$ — независимые $Exp(1)$-распределённые случайные величины с порядковой статистикой $(X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots , X_{(8)})$. Найдите

Пусть $X_1, X_2, X_3$ — независимые $U(0,1)$-распределённые случайные величины, и пусть $X_{(1)}, X_{(2)}, X_{(3)}$ — порядковая статистика. Докажите интуитивно разумный результат о том, что $X_{(1)}$ и $X_{(3)}$ условно независимы при заданном $X_{(2)}$, и определите это (условное) распределение.

Случайные величины $X_1$, $X_2$ и $X_3$ независимы и $Exp(1)$-распределены. Вычислите коэффициент корреляции $\rho_{X_{(1)}, X_{(3)}}$.

Пусть $X_1$ и $X_2$ — независимые, $Exp(a)$-распределённые случайные величины.

1. Покажите, что $X_{(1)}$ и $X_{(2)} - X_{(1)}$ независимы, и определите их распределения.

2. Вычислите $\mathbb {E}\left[X_{(2)} \mid X_{(1)} = y\right]$ и $\mathbb {E}\left[X_{(1)} \mid X_{(2)} = x\right]$.

Пусть $X_1$, $X_2$ и $X_3$ — независимые, $U(0,1)$-распределённые случайные величины. Вычислите $\mathbb {P}\left(X_{(3)} > 1/2 \mid X_{(1)} = x\right)$.

Предположим, что $X \in U(0,1)$. Пусть $X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots , X_{(n)}$ — порядковые величины, соответствующие выборке из $n$ независимых наблюдений $X$, и положим

Покажите, что

Случайные величины $X_1, X_2, \ldots , X_n, Y_1, Y_2, \ldots , Y_n$ независимы и имеют распределение $U(0,a)$. Найти распределение

Пусть $X_1, X_2, \ldots , X_n$ — независимые случайные величины с распределением $Exp(a)$, и положим

Цель этой задачи — дать вероятностное доказательство соотношения

Пусть $X_1, X_2, \ldots , X_n$ — независимые случайные величины с распределением $Exp(1)$. Рассмотрим обычные порядковые величины $X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots , X_{(n)}$ и положим

Пусть $X_1, X_2, \ldots , X_n$ — независимые случайные величины с распределением $Exp(1)$, и положим

Вычислить $\mathbb {E}\left[Z_n\right]$ и $\operatorname {Var}\left[Z_n\right]$.

Случайные величины $X_1, X_2, \ldots , X_n$ независимы и имеют распределение $Exp(1)$. Положим

Показать, что $V_n \overset {d}{=} W_n$.

Пусть $X_1, X_2, \ldots , X_n$ — независимые случайные величины с распределением $Exp(a)$. Найти распределение $\sum_{k=1}^{n} X_{(k)}$.

Пусть $X_1, X_2, \ldots , X_n$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, и пусть $X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots , X_{(n)}$ — порядковые величины. Найти

Число особей $N$ в племени имеет распределение $Fs(p)$. Времена жизни особей племени независимы и имеют распределение $Exp(1/a)$, которое, кроме того, не зависит от $N$. Найти распределение наименьшего времени жизни.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые случайные величины с распределением $U(0,1)$, и пусть $N \in Po(\lambda )$ не зависит от $X_1, X_2, \ldots$. Положим

($V = 0$, когда $N = 0$). Найти распределение $V$ и вычислить $\mathbb {E}\left[V\right]$.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — случайные величины с распределением $Exp(\theta )$, пусть $N \in Po(\lambda )$, и предположим, что все случайные величины независимы. Положим

Показать, что $Y \overset {d}{=} \max \left\{ 0, V\right\}$, где $V$ имеет распределение гумбелевского типа.

Предположим, что случайные величины $X_1, X_2, \ldots$ независимы и имеют общую функцию распределения $F(x)$. Предположим далее, что $N$ — положительная целочисленная случайная величина с производящей функцией $g(t)$. Наконец, предположим, что $N$ и $X_1, X_2, \ldots$ независимы. Положим

Показать, что