Преобразования

Неотрицательная целочисленная случайная величина $X$ имеет производящую функцию $g_X(t) = \log \left(1/(1-qt)\right)$. Определить $\mathbb {P}\left(X=k\right)$ для $k = 0, 1, 2, \ldots$, $\mathbb {E}\left[X\right]$ и $\operatorname {Var}\left[X\right]$.

Случайная величина $X$ обладает тем свойством, что все моменты равны, то есть $\mathbb {E}\left[X^n\right] = c$ для всех $n \geq 1$, при некоторой константе $c$. Найти распределение $X$ (доказательство единственности не требуется).

Случайная величина $X$ обладает тем свойством, что

Найти какое-нибудь (на самом деле, единственное) распределение $X$, обладающее такими моментами.

Предположим, что $Y$ — случайная величина такая, что

Определить распределение $Y$.

Пусть $Y \in \beta (n,m)$ ($n$, $m$ — целые числа).

Показать, используя производящие функции моментов, что если $X \in L(1)$, то $X \overset {d}{=} Y_1 - Y_2$, где $Y_1$ и $Y_2$ — независимые, экспоненциально распределённые случайные величины.

В предыдущей задаче мы установили, что случайная величина со стандартным распределением Лапласа имеет то же распределение, что и разность двух стандартных экспоненциальных случайных величин. Поэтому разумно предположить, что если $Y_1$ и $Y_2$ — независимые, распределённые по закону $L(1)$, то

где $X_1$ и $X_2$ — независимые случайные величины, распределённые по закону $\Gamma (2,1)$. Доказать, проверив производящие функции моментов, что это действительно так.

Пусть $X \in \Gamma (p,a)$. Вычислить (двумерную) производящую функцию моментов пары $(X, \log X)$.

Пусть $X \in \mathrm{Bin}(n,p)$. Вычислить $\mathbb {E}\left[X^4\right]$ с помощью производящей функции моментов.

Пусть $X_1, X_2, \ldots , X_n$ — независимые случайные величины с математическим ожиданием $0$ и конечными третьими моментами. Показать, с помощью характеристических функций, что

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, и пусть $Y$ симметрична (относительно нуля). Показать, что $XY$ симметрична.

Цель задачи — доказать формулу двойного угла

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, где $X \in U(-1,1)$, а $Y$ принимает значения $+1$ и $-1$ с вероятностями $1/2$.

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые случайные величины, распределённые по закону $C(0,1)$, и пусть $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$, $n \geq 1$. Показать, что

Для положительной (абсолютно) непрерывной случайной величины $X$ определим преобразование Лапласа как

Предположим, что $X$ положительна и устойчива с показателем $\alpha \in (0,1)$, что означает, что

Далее, пусть $Y \in \mathrm{Exp}(1)$ независима от $X$. Показать, что

Ещё одно преобразование: для случайной величины $X$ определим кумулянтную производящую функцию $K_X(t) = \log \psi_X(t)$ как

где $k_n = k_n(X)$ называется $n$-м кумулянтом, или семиинвариантом, случайной величины $X$.

Предположим, что $X_1, X_2, \ldots$ — независимые, одинаково распределённые по закону $\mathrm{Linnik}(\alpha )$ случайные величины, что $N \in \mathrm{Fs}(p)$ и что $N$ и $X_1, X_2, \ldots$ независимы. Показать, что $p^{1/\alpha }(X_1 + X_2 + \cdots + X_N)$ снова имеет распределение $\mathrm{Linnik}(\alpha )$.

Предположим, что совместная производящая функция $X$ и $Y$ равна

где $\alpha > 0$, $\beta > 0$, $\gamma \neq 0$.

Пусть случайные величины $Y, X_1, X_2, \ldots$ независимы, причём $Y \in \mathrm{Fs}(p)$, где $0 < p < 1$, а $X_1, X_2, X_3, \ldots$ все имеют распределение $\mathrm{Exp}(1/a)$. Найдите распределение

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — случайные величины с распределением $\mathrm{Ge}(\alpha )$, пусть $N \in \mathrm{Fs}(p)$, все случайные величины независимы, и положим

Пусть $0 < p = 1-q < 1$. Предположим, что $X_1, X_2, \ldots$ независимы и имеют распределение $\mathrm{Ge}(q)$, а $N \in \mathrm{Ge}(p)$ не зависит от $X_1, X_2, \ldots$.

Предположим, что $X_1, X_2, \ldots$ независимы и имеют распределение $L(a)$, пусть $N_p \in \mathrm{Fs}(p)$ не зависит от $X_1, X_2, \ldots$, и положим $Y_p = \sum_{k=1}^{N_p} X_k$. Покажите, что

Пусть $N, X_1, X_2, \ldots$ — независимые случайные величины такие, что $N \in \mathrm{Po}(1)$ и $X_k \in \mathrm{Po}(2)$ для всех $k$. Положим $Z = \sum_{k=1}^{N} X_k$ (и $Z = 0$, когда $N = 0$). Вычислите $\mathbb {E}\left[Z\right]$, $\operatorname {Var}\left[Z\right]$ и $\mathbb {P}\left(Z=0\right)$.

Пусть $Y_1, Y_2, \ldots$ — н.о.р.случайные величины, а $N$ — неотрицательная целочисленная случайная величина, не зависящая от $Y_1, Y_2, \ldots$. Вычислите $\operatorname {Cov}\left[ \sum_{k=1}^{N} Y_k, N \right]$.

Пусть при $m \neq 1$ $X_1, X_2, \ldots$ — независимые случайные величины с $\mathbb {E}\left[X_n\right] = m^n$, $n \geq 1$, пусть $N \in \mathrm{Po}(\lambda )$ не зависит от $X_1, X_2, \ldots$, и положим

Найдите $\mathbb {E}\left[Z\right]$.

Пусть $N \in \mathrm{Bin}(n, 1-e^{-m})$, а $X_1, X_2, \ldots$ имеют одно и то же $0$-усечённое распределение Пуассона, а именно,

Далее предположим, что $N, X_1, X_2, \ldots$ независимы,

Число автомобилей, проезжающих через дорожный перекрёсток в течение часа, имеет распределение $\mathrm{Po}(b)$. Число пассажиров в каждом автомобиле имеет распределение $\mathrm{Po}(p)$. Найдите производящую функцию общего числа пассажиров $Y$, проезжающих через перекрёсток за один час, и вычислите $\mathbb {E}\left[Y\right]$ и $\operatorname {Var}\left[Y\right]$.

Шахтёр оказался в ловушке в шахте с тремя дверями. Одна выводит его на свободу через один час, другая возвращает его обратно в шахту через 3 часа, а третья возвращает его обратно через 5 часов. Предположим, что он хочет выбраться из шахты и делает это, выбирая одну из трёх дверей равновероятно наугад, и продолжает так поступать, пока не окажется на свободе. Найдите производящую функцию, среднее и дисперсию времени, которое ему требуется, чтобы добраться до свободы.

Лиза стреляет по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна $1/2$. При условии попадания вероятность попасть в яблочко равна $p$. Она стреляет, пока не промахнётся мимо мишени. Пусть $X$ — общее число попаданий в яблочко, которое Лиза получила к моменту окончания стрельбы; найдите его распределение.

У Карин есть нечестная монета; вероятность выпадения орла равна $p$ ($0 < p < 1$). Она подбрасывает монету, пока не выпадет орёл. Затем она подбрасывает честную монету столько же раз, сколько подбрасывала нечестную. За каждый орёл, выпавший при бросках честной монеты, она в итоге бросает симметричный игральный кубик. Найдите математическое ожидание и дисперсию общего числа очков, которое Карин получает в результате этой процедуры.

Филип бросает честный игральный кубик, пока не выпадет четвёрка. Затем Диана подбрасывает монету столько же раз, сколько раз Филип бросал кубик. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа

Пусть $p$ — вероятность того, что остриё канцелярской кнопки направлено вниз после того, как человек однократно подбрасывает кнопку. Мириам подбрасывает кнопку, пока остриё впервые не окажется направленным вниз. Пусть $X$ — число бросков, за которое это происходит. Затем она подбрасывает кнопку ещё $X$ раз. Пусть $Y$ — число раз, когда остриё кнопки оказывается направленным вниз в этой второй серии бросков. Найдите распределение $Y$ (ср.задачу 2.6.38).

Пусть $X_1, X_2, \ldots$ — независимые наблюдения случайной величины $X$, плотность которой равна

Предположим, что мы продолжаем выборку до появления отрицательного наблюдения. Пусть $Y$ — сумма полученных таким образом наблюдений (включая отрицательное). Покажите, что плотность $Y$ равна

В некотором аварийно-опасном месте число дорожно-транспортных происшествий в год подчиняется распределению $\mathrm{Po}(10{,}000)$. Число погибших в одном происшествии подчиняется распределению $\mathrm{Po}(0.1)$, а число пострадавших в одном происшествии подчиняется распределению $\mathrm{Po}(2)$. Коэффициент корреляции между числом пострадавших и числом погибших в одном происшествии равен $0.5$. Вычислите математическое ожидание и дисперсию общего числа погибших и пострадавших за год.

Пусть $X$ — неотрицательная целочисленная случайная величина, а $n$ и $m$ — неотрицательные целые числа. Покажите, что

Предположим, что распределение числа потомков в ветвящемся процессе есть распределение $\mathrm{Ge}(p)$, и пусть $X(n)$ — число особей в поколении $n$, $n = 0, 1, 2, \ldots$.

Рассмотрим ветвящийся процесс, распределение числа потомков в котором есть $\mathrm{Bin}(n,p)$. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что число внуков равно 0 или 1, то есть найдите, в обычных обозначениях, $\mathbb {E}\left[X(2)\right]$, $\operatorname {Var}\left[X(2)\right]$, $\mathbb {P}\left(X(2)=0\right)$ и $\mathbb {P}\left(X(2)=1\right)$.

Рассмотрим ветвящийся процесс, в котором особи размножаются согласно следующей схеме:

Особи размножаются независимо друг от друга и независимо от числа своих сестёр и братьев. Найдите

По одной бактерии из двух опасных племён — Альфомилия и Клайпеда — сбежали из лаборатории. Они размножаются согласно стандартному ветвящемуся процессу следующим образом:

Обе культуры размножаются независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что 0, 1 и 2 из культур соответственно вырождаются.

Динамику роста клеток пыльцы можно моделировать бинарным делением следующим образом: по прошествии одной единицы времени клетка либо делится на две, либо погибает. Новые клетки развиваются по тому же закону независимо друг от друга. Вероятности гибели и деления равны $0.46$ и $0.54$ соответственно.

Рассмотрим бинарное расщепление, то есть ветвящийся процесс, в котором распределение $Y =$ числа детей задаётся формулой

Однако предположим, что $p$ неизвестно, что $p$ случайно, а именно рассмотрим следующую постановку: предположим, что

Рассмотрим следующую модификацию ветвящегося процесса: зрелая особь производит потомство согласно производящей функции $g(t)$. Однако особь становится зрелой с вероятностью $\alpha$ и умирает до достижения зрелости с вероятностью $1-\alpha$. Всюду $X(0) = 1$, то есть мы начинаем с одной незрелой особи.

Пусть $\left\{ X(n), n \geq 0\right\}$ — обычный процесс Гальтона--Ватсона, начинающийся с $X(0) = 1$. Предположим дополнительно, что допускается иммиграция в том смысле, что помимо детей, рождённых в поколении $n$, иммигрируют ещё $Z_n$ особей, где $\left\{ Z_n, n \geq 1\right\}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с тем же распределением, что и $X(1)$.

Рассмотрим ветвящийся процесс со средним числом потомков $m < 1$. Предположим также, как и раньше, что $X(0) = 1$.

Следующая модель может использоваться для описания числа женщин (матерей и дочерей) в данной области. Число матерей — случайная величина $X \in \mathrm{Po}(\lambda )$. Независимо от остальных, каждая мать рождает $\mathrm{Po}(\mu )$-распределённое число дочерей. Пусть $Y$ — общее число дочерей, и, следовательно, $Z = X+Y$ — общее число женщин в области.

Пусть $X(n)$ — число особей в $n$-м поколении ветвящегося процесса ($X(0) = 1$), и положим $T_n = 1 + X(1) + \cdots + X(n)$, то есть $T_n$ равно полному числу потомков вплоть до поколения номер $n$ включительно. Пусть $g(t)$ и $G_n(t)$ — производящие функции $X(1)$ и $T_n$ соответственно. Докажите следующую формулу:

Рассмотрим ветвящийся процесс с $\mathrm{Po}(m)$-распределённым потомством. Пусть $X(1)$ и $X(2)$ — число особей в поколениях 1 и 2 соответственно. Определите производящую функцию

Пусть $X$ — число подбрасываний монеты до выпадения орла. Предположим, что вероятность выпадения орла неизвестна в том смысле, что мы считаем её случайной величиной $Y \in U(0,1)$. Найдите распределение $X$ (ср.задачу 2.6.37).