Банк задач по математике

Задача 2.1

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с распределением $\text{Exp}(1)$ . Найдите условное распределение $X$ при условии $X+Y=c$ ( $c$ — положительная константа).

?

Задача 2.2

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с распределением $\Gamma (2,a)$ . Найдите условное распределение $X$ при условии $X+Y=2$ .

?

Задача 2.3

(a)(b)

Срок службы ремонтирующего устройства имеет распределение $\text{Exp}(1/a)$ . Питер хочет использовать его в $n$ различных, независимых случаях с распределением $\text{Exp}(1/na)$ .

?

(a)

Вычислите вероятность $P_n$ того, что это возможно.

(b)

Определите предел $P_n$ при $n \rightarrow \infty$ .

Задача 2.4

Срок службы $T$ (в часах) лампы в графопроекторе имеет распределение $\text{Exp}(10)$ . В течение обычной недели проектор используется на $\text{Po}(12)$ -распределённом числе лекций, каждая из которых длится ровно один час. Найдите вероятность того, что проектор с только что установленной лампой проработает всю обычную неделю (без замены лампы).

?

Задача 2.5

Случайные величины $N, X_1, X_2, \ldots$ независимы, $N \in \text{Po}(\lambda )$ , а $X_k \in \text{Be}(1/2)$ , $k \geq 1$ . Положим

Y_1 = \sum _{k=1}^{N} X_k \quad \text{и} \quad Y_2 = N - Y_1

( $Y_1 = 0$ при $N=0$ ). Покажите, что $Y_1$ и $Y_2$ независимы, и определите их распределения.

?

Задача 2.6

Пусть $X \in N(0,1)$ и $Y \in \text{Exp}(1)$ — независимые случайные величины. Докажите, что $X\sqrt{2Y}$ имеет стандартное распределение Лапласа.

?

Задача 2.7

(a)(b)

Пусть $N \in \text{Ge}(p)$ и положим $X = (-1)^N$ . Вычислите

?

(a)

$\mathbb {E}\left[X\right]$ и $\operatorname {Var}\left[X\right]$ ,

(b)

распределение (функцию вероятности) $X$ .

Задача 2.8

(a)(b)(c)

Плотность двумерной случайной величины $(X,Y)$ равна

f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \dfrac {x^2}{2 \cdot y^3} \cdot e^{-\frac{x}{y}}, & \text{при} \quad 0 < x < \infty , \quad 0 < y < 1, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

?

(a)

Определите распределение $Y$ .

(b)

Найдите условное распределение $X$ при условии $Y=y$ .

(c)

Используя результаты (а) и (б), вычислите $\mathbb {E}\left[X\right]$ и $\operatorname {Var}\left[X\right]$ .

Задача 2.9

(a)(b)

Плотность случайного вектора $(X,Y)'$ равна

f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} cx, & \text{при} \quad x \geq 0, \quad y \geq 0, \quad x+y \leq 1, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Вычислите

?

(a)

$c$ ,

(b)

условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

Задача 2.10

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную плотность

f(x,y) = \begin{cases} cx^2, & \text{при} \quad 0 < x < y < 1, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Найдите $c$ , маргинальные функции плотности, $\mathbb {E}\left[X\right]$ , $\mathbb {E}\left[Y\right]$ и условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.11

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную плотность

f(x,y) = \begin{cases} c \cdot x^2 y, & \text{при} \quad 0 < y < x < 1, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Вычислите $c$ , маргинальные плотности, $\mathbb {E}\left[X\right]$ , $\mathbb {E}\left[Y\right]$ и условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.12

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную плотность

f(x,y) = \begin{cases} cxy, & \text{при} \quad 0 < y < x < 1, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Вычислите условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.13

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную плотность

f(x,y) = \begin{cases} cy, & \text{при} \quad 0 < y < x < 2, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Вычислите условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.14

Пусть $X$ и $Y$ — случайные величины с совместной плотностью

f(x,y) = \begin{cases} c(x+2y), & \text{при} \quad 0 < x < y < 1, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Вычислите функции регрессии $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.15

Пусть $X$ и $Y$ — случайные величины с совместной плотностью

f(x,y) = \begin{cases} \dfrac {2}{5}(2x+3y), & \text{при} \quad 0 < x,y < 1, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Вычислите условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.16

Пусть $X$ и $Y$ — случайные величины с совместной плотностью

f(x,y) = \begin{cases} \dfrac {4}{5}(x+3y)e^{-x-2y}, & \text{при} \quad x,y > 0, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Вычислите функции регрессии $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.17

Пусть совместная плотность $X$ и $Y$ задана как

f(x,y) = \begin{cases} xe^{-x-xy}, & \text{при} \quad x > 0, \quad y > 0, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Определите функции регрессии $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.18

Пусть функция совместной плотности $X$ и $Y$ задана как

f(x,y) = \begin{cases} c(x+y), & \text{при} \quad 0 < x < y < 1, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Определите $c$ , маргинальные плотности, $\mathbb {E}\left[X\right]$ , $\mathbb {E}\left[Y\right]$ и условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.19

Пусть совместная плотность $X$ и $Y$ задана как

f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} c, & \text{при} \quad 0 \leq x \leq 1, \quad x^2 \leq y \leq x, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Вычислите $c$ , маргинальные плотности и условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.20

Пусть $X$ и $Y$ — случайные величины с совместной плотностью

f(x,y) = \begin{cases} cx, & \text{при} \quad 0 < x < 1, \quad x^3 < y < x^{1/3}, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Вычислите условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.21

Пусть $X$ и $Y$ — случайные величины с совместной плотностью

f(x,y) = \begin{cases} cy, & \text{при} \quad 0 < x < 1, \quad x^4 < y < x^{1/4}, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Вычислите условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.22

Пусть функция совместной плотности $X$ и $Y$ задана как

f(x,y) = \begin{cases} c \cdot x^3 y, & \text{при} \quad x,y > 0, \quad x^2+y^2 \leq 1, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Вычислите $c$ , маргинальные плотности и условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.23

Функция совместной плотности $X$ и $Y$ задана как

f(x,y) = \begin{cases} c \cdot xy, & \text{при} \quad x,y > 0, \quad 4x^2+y^2 \leq 1, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Вычислите $c$ , маргинальные плотности и условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.24

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную плотность

f(x,y) = \begin{cases} \dfrac {c}{x^3 y}, & \text{при} \quad 1 < y < x, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Вычислите условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.25

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную плотность

f(x,y) = \begin{cases} \dfrac {c}{x^4 y}, & \text{при} \quad 1 < y < x, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Вычислите условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.26

Пусть $X$ и $Y$ — случайные величины с совместной плотностью

f(x,y) = \begin{cases} \dfrac {c}{(1+x-y)^2}, & \text{при} \quad 0 < y < x < 1, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Вычислите условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.27

Пусть $X$ и $Y$ — случайные величины с совместной плотностью

f(x,y) = \begin{cases} c \cdot \cos x, & \text{при} \quad 0 < y < x < \frac{\pi }{2}, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Вычислите условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.28

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную плотность

f(x,y) = \begin{cases} c\log y, & \text{при} \quad 0 < y < x < 1, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Вычислите условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Задача 2.29

Случайный вектор $(X,Y)'$ имеет следующее совместное распределение:

\mathbb {P}\left(X=m, Y=n\right) = \binom {m}{n}\frac{1}{2^m}\frac{m}{15},

где $m=1,2,\ldots ,5$ и $n=0,1,\ldots ,m$ . Вычислите $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=m \right]$ .

?

Задача 2.30

Покажите, что подходящая степень случайной величины с распределением Вейбулла, параметр которой имеет гамма-распределение, имеет распределение Парето. Точнее, покажите, что если

X \mid A=a \in W\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}\right) \quad \text{с} \quad A \in \Gamma (p,\theta ),

то $X^b$ имеет (сдвинутое) распределение Парето.

?

Задача 2.31

Покажите, что экспоненциальная случайная величина, у которой обратная величина параметра имеет гамма-распределение, имеет распределение Парето. Точнее, покажите, что если

X \mid M=m \in \text{Exp}(m) \quad \text{с} \quad M^{-1} \in \Gamma (p,a),

то $X$ имеет (сдвинутое) распределение Парето.

?

Задача 2.32

(a)(b)(c)

Пусть $X$ и $Y$ — случайные величины такие, что

Y \mid X=x \in \text{Exp}(1/x) \quad \text{с} \quad X \in \Gamma (2,1).

?

(a)

Покажите, что $Y$ имеет сдвинутое распределение Парето.

(b)

Вычислите $\mathbb {E}\left[Y\right]$ .

(c)

Проверьте значение из (б), пересчитав его с помощью нашей любимой формулы для условных математических ожиданий.

Задача 2.33

Предположим, что случайная величина $X$ распределена симметрично вокруг нуля равномерно, но так, что параметр равномерно распределён на $(0,1)$ ; то есть предположим, что

X \mid A=a \in U(-a,a) \quad \text{с} \quad A \in U(0,1).

Найдите распределение $X$ , $\mathbb {E}\left[X\right]$ и $\operatorname {Var}\left[X\right]$ .

?

Задача 2.34

(a)(b)

В разделе 4 мы изучали ситуацию, когда монета, для которой $p = \mathbb {P}\left(\text{герб}\right)$ считается случайной величиной, распределённой по закону $U(0,1)$ , подбрасывается, и установили, что если $X_n = \#$ гербов после $n$ подбрасываний, то $X_n$ равномерно распределена на целых числах $0,1,\ldots ,n$ .

Предположим теперь, что $p$ считается распределённой по закону $\beta (2,2)$ . Что тогда? Точнее, рассмотрим следующую модель:

X_n \mid Y=y \in \text{Bin}(n,y) \quad \text{при} \quad f_Y(y) = 6y(1-y), \quad 0 < y < 1.

?

(a)

Вычислить $\mathbb {E}\left[X_n\right]$ и $\operatorname {Var}\left[X_n\right]$ .

(b)

Определить распределение $X_n$ .

Задача 2.35

Пусть $X$ и $Y$ — совместно распределённые случайные величины такие, что

Y \mid X=x \in \text{Bin}(n,x) \quad \text{при} \quad X \in U(0,1).

Вычислить $\mathbb {E}\left[Y\right]$ , $\operatorname {Var}\left[Y\right]$ и $\operatorname {Cov}\left[ X, Y \right]$ (не используя то, что известно из раздела 4 о распределении $Y$ ).

?

Задача 2.36

Пусть $X$ и $Y$ — совместно распределённые случайные величины такие, что

Y \mid X=x \in \text{Fs}(x) \quad \text{при} \quad f_X(x) = 3x^2, \quad 0 \leq x \leq 1.

Вычислить $\mathbb {E}\left[Y\right]$ , $\operatorname {Var}\left[Y\right]$ , $\operatorname {Cov}\left[ X, Y \right]$ и распределение $Y$ .

?

Задача 2.37

(a)(b)(c)

Пусть $X$ — число подбрасываний монеты до выпадения герба. Предположим, что вероятность выпадения герба неизвестна в том смысле, что мы считаем её случайной величиной $Y \in U(0,1)$ .

?

(a)

Найти распределение $X$ (ср. задачу 3.8.48).

(b)

Как хорошо известно, математическое ожидание случайной величины с распределением $\text{Fs}$ существует. А что можно сказать о $\mathbb {E}\left[X\right]$ ?

(c)

Предположим, что наблюдалось значение $X=n$ . Найти апостериорное распределение $Y$ , то есть распределение $Y \mid X=n$ .

Задача 2.38

Пусть $p$ — вероятность того, что остриё канцелярской кнопки указывает вниз после того, как человек один раз бросает кнопку. Анника бросает кнопку до тех пор, пока остриё впервые не укажет вниз. Пусть $X$ — число бросков, потребовавшихся для этого. Затем она бросает кнопку ещё $X$ раз. Пусть $Y$ — число случаев, когда остриё кнопки указывает вниз в этой последующей серии бросков. Найти распределение $Y$ (ср. задачу 3.8.31).

?

Задача 2.39

Точка $P$ выбирается равномерно в $n$ -мерном шаре радиуса $1$ . Затем точка $Q$ выбирается равномерно в концентрическом шаре с центром в начале координат, проходящем через $P$ . Пусть $X$ и $Y$ — расстояния от $P$ и $Q$ соответственно до общего центра. Найти совместную плотность $X$ и $Y$ , а также условные математические ожидания $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ и $\mathbb {E}\left[ X \mid Y=y \right]$ .

?

Примечание.

?

Указание 1. Начните с рассмотрения случая $n=2$ .

Указание 2. Объём $n$ -мерного шара радиуса $r$ равен $c_n r^n$ , где $c_n$ — некоторая константа (которая не представляет интереса для задачи).

Замечание. При $n=1$ мы вновь получаем задачу о палке из примера 2.1.

Задача 2.40

Теорема 2.2(б): если $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, то $\mathbb {E}\left[ Y \mid X \right] = \mathbb {E}\left[Y\right]$ . Замечание 2.4 поясняет, что это верно потому, что условное и безусловное распределения $Y$ совпадают, когда $X$ и $Y$ независимы, а значит совпадают и условное с безусловным математические ожидания.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины. Тогда условное распределение $Y$ при условии $X=x$ не зависит от $x$ . Более того, $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ не зависит от $x$ ; вспомните теорему 2.2(б) и замечание 2.4.

Предположим теперь, наоборот, что $\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ не зависит от $x$ (то есть что $\mathbb {E}\left[ Y \mid X \right] = \mathbb {E}\left[Y\right]$ ). Говорят, что $Y$ обладает постоянной регрессией по отношению к $X$ . Однако отсюда не обязательно следует, что $X$ и $Y$ независимы. А именно, пусть совместная плотность $X$ и $Y$ задана как

f(x,y) = \begin{cases} \dfrac {1}{2}, & \text{при} \quad \left|x\right|+\left|y\right| \leq 1, \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

Показать, что $Y$ обладает постоянной регрессией по отношению к $X$ и что при этом $X$ и $Y$ не являются независимыми.

?

Условные распределения