Банк задач по математике

Задача 1.1

Покажите, что если $X \in C(0,1)$ , то и $1/X$ также имеет это распределение.

?

Задача 1.2

Пусть $X \in C(m,a)$ . Найдите распределение величины $1/X$ .

?

Задача 1.3

Покажите, что если $T \in t(n)$ , то $T^{2} \in F(1,n)$ .

?

Задача 1.4

Покажите, что если $F \in F(m,n)$ , то $1/F \in F(n,m)$ .

?

Задача 1.5

Покажите, что если $X \in C(0,1)$ , то $X^{2} \in F(1,1)$ .

?

Задача 1.6

Покажите, что $\beta (1,1) = U(0,1)$ .

?

Задача 1.7

Покажите, что если $F \in F(m,n)$ , то $1/\left(1+\frac{m}{n}F\right) \in \beta (n/2,m/2)$ .

?

Задача 1.8

Покажите, что если $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, распределённые как $N(0,1)$ , то $X/Y \in C(0,1)$ .

?

Задача 1.9

Покажите, что если $X \in N(0,1)$ и $Y \in \chi^{2}(n)$ — независимые случайные величины, то $X/\sqrt{Y/n} \in t(n)$ .

?

Задача 1.10

Покажите, что если $X \in \chi^{2}(m)$ и $Y \in \chi^{2}(n)$ — независимые случайные величины, то $(X/m)/(Y/n) \in F(m,n)$ .

?

Задача 1.11

Покажите, что если $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, распределённые как $\mathrm{Exp}(a)$ , то $X/Y \in F(2,2)$ .

?

Задача 1.12

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины такие, что $X \in U(0,1)$ и $Y \in U(0,\alpha )$ . Найдите функцию плотности величины $Z = X+Y$ .

?

Примечание.

?

Заметьте, что возможны два случая: $\alpha \geq 1$ и $\alpha < 1$ .

Задача 1.13

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную функцию плотности, заданную формулой

f(x,y) = \begin{cases} 1, & \text{при } 0 \leq x \leq 2, \ \max (0,x-1) \leq y \leq \min (1,x), \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Найдите маргинальные функции плотности, а также совместную и маргинальные функции распределения.

?

Задача 1.14

Предположим, что $X \in \mathrm{Exp}(1)$ ; пусть $Y$ — целая часть, а $Z$ — дробная часть, то есть пусть

Y = [X] \quad \text{и} \quad Z = X - [X].

Покажите, что $Y$ и $Z$ независимы, и найдите их распределения.

?

Задача 1.15

Оттар регулярно бегает по утрам. Однажды он начал свою пробежку в 17:31 и вернулся в 17:46. На следующий день он начал в 17:31 и вернулся в 17:47. Его часы показывают только часы и минуты (без секунд). Какова вероятность того, что пробежка в первый день длилась дольше, чем пробежка во второй день?

?

Задача 1.16

Некоторая задача из химии связана с численным изучением логнормальной случайной величины $X$ . Предположим, что используемый программный пакет требует ввода в компьютер $\mathbb {E}\left[Y\right]$ и $\operatorname {Var}\left[Y\right]$ (где $Y$ нормальна и такова, что $X = e^{Y}$ ), но известны только значения $\mathbb {E}\left[X\right]$ и $\operatorname {Var}\left[X\right]$ . Найдите выражения для первых среднего и дисперсии через вторые.

?

Задача 1.17

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с распределением $\mathrm{Exp}(a)$ . Найдите функцию плотности случайной величины $Z = X/(1+Y)$ .

?

Задача 1.18

Пусть $X \in \mathrm{Exp}(1)$ и $Y \in U(0,1)$ — независимые случайные величины. Определите распределение (плотность) $X+Y$ .

?

Задача 1.19

Случайный вектор $\overrightarrow {X} = (X_{1}, X_{2}, X_{3})'$ имеет функцию плотности

f_{\overrightarrow {X}}(\overrightarrow {x}) = \begin{cases} \dfrac {2}{2e-5} \cdot x_{1}^{2} \cdot x_{2} \cdot e^{x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}}, & \text{при } 0 < x_{1}, x_{2}, x_{3} < 1, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Определите распределение $X_{1} \cdot X_{2} \cdot X_{3}$ .

?

Задача 1.20

(a)(b)

Случайные величины $X_{1}$ и $X_{2}$ независимы и одинаково распределены с функцией плотности

f(x) = \begin{cases} 4x^{3}, & \text{при } 0 \leq x \leq 1, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Положим $Y_{1} = X_{1}\sqrt{X_{2}}$ и $Y_{2} = X_{2}\sqrt{X_{1}}$ .

?

(a)

Определите совместную функцию плотности $Y_{1}$ и $Y_{2}$ .

(b)

Независимы ли $Y_{1}$ и $Y_{2}$ ?

Задача 1.21

Пусть $(X,Y)'$ имеет плотность

f(x,y) = \begin{cases} \dfrac {x}{(1+x)^{2} \cdot (1+xy)^{2}}, & \text{при } x,y > 0, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Покажите, что $X$ и $X \cdot Y$ независимы, одинаково распределены, и определите их распределение.

?

Задача 1.22

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную плотность

f(x,y) = \begin{cases} cx(1-y), & \text{при } 0 < x < y < 1, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Определите распределение $Y-X$ .

?

Задача 1.23

Предположим, что $(X,Y)'$ имеет функцию плотности, заданную формулой

f(x,y) = \begin{cases} e^{-x^{2}y}, & \text{при } x \geq 1, \ y > 0, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Определите распределение $X^{2}Y$ .

?

Задача 1.24

Пусть $X$ и $Y$ имеют следующую совместную функцию плотности:

f(x,y) = \begin{cases} \lambda ^{2}e^{-\lambda y}, & \text{при } 0 < x < y, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Покажите, что $Y$ и $X/(Y-X)$ независимы, и найдите их распределения.

?

Задача 1.25

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную плотность

f(x,y) = \begin{cases} cx, & \text{при } 0 < x^{2} < y < \sqrt{x} < 1, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Определите распределение $XY$ .

?

Задача 1.26

Предположим, что $X$ и $Y$ — случайные величины с совместной плотностью

f(x,y) = \begin{cases} \dfrac {1}{y}e^{-x/y}e^{-y}, & \text{при } 0 < x,y < \infty , \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Покажите, что $X/Y$ и $Y$ — независимые стандартные экспоненциальные случайные величины, и воспользуйтесь этим фактом для вычисления $\mathbb {E}\left[X\right]$ и $\operatorname {Var}\left[X\right]$ .

?

Задача 1.27

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную плотность

f(x,y) = \begin{cases} cx, & \text{при } 0 < x^{3} < y < \sqrt{x} < 1, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Определите распределение $XY$ .

?

Задача 1.28

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную плотность

f(x,y) = \begin{cases} cx, & \text{при } 0 < x^{2} < y < \sqrt{x} < 1, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Определите распределение $X^{2}/Y$ .

?

Задача 1.29

(a)(b)

Предположим, что $(X,Y)'$ имеет плотность

f(x,y) = \begin{cases} \dfrac {2}{(1+x+y)^{3}}, & \text{при } x,y > 0, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Определите распределение

?

(a)

$X+Y$ ,

(b)

$X-Y$ .

Задача 1.30

Предположим, что $X$ и $Y$ — случайные величины с совместной плотностью

f(x,y) = \begin{cases} \dfrac {2}{5}(2x+3y), & \text{при } 0 < x,y < 1, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Определите распределение $2X+3Y$ .

?

Задача 1.31

Предположим, что $X$ и $Y$ — случайные величины с совместной плотностью

f(x,y) = \begin{cases} xe^{-x-xy}, & \text{при } x > 0, \ y > 0, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Определите распределение $X(1+Y)$ .

?

Задача 1.32

Предположим, что $X$ и $Y$ — случайные величины с совместной плотностью

f(x,y) = \begin{cases} c\dfrac {x}{(1+y)^{2}}, & \text{при } 0 < y < x < 1, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Определите распределение $X/(1+Y)^{2}$ .

?

Задача 1.33

Предположим, что $X$ , $Y$ и $Z$ — случайные величины с совместной плотностью

f(x,y,z) = \begin{cases} \dfrac {6}{(1+x+y+z)^{4}}, & \text{при } x,y,z > 0, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Определите распределение $X+Y+Z$ .

?

Задача 1.34

Предположим, что $X$ , $Y$ и $Z$ — случайные величины с совместной плотностью

f(x,y,z) = \begin{cases} ce^{-(x+y)^{2}}, & \text{при } -\infty < x < \infty , \ 0 < y < 1, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Определите распределение $X+Y$ .

?

Задача 1.35

Предположим, что $X$ и $Y$ — случайные величины с совместной плотностью

f(x,y) = \begin{cases} \dfrac {c}{(1+x-y)^{2}}, & \text{при } 0 < y < x < 1, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Определите распределение $X-Y$ .

?

Задача 1.36

Предположим, что $X$ и $Y$ — случайные величины с совместной плотностью

f(x,y) = \begin{cases} c \cdot \cos x, & \text{при } 0 < y < x < \dfrac {\pi }{2}, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Определите распределение $Y/X$ .

?

Задача 1.37

Предположим, что $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с распределением $\mathrm{Pa}(1,1)$ . Определите распределения $XY$ и $X/Y$ .

?

Задача 1.38

Предположим, что $X$ и $Y$ — случайные величины с совместной плотностью

f(x,y) = \begin{cases} c \cdot \log y, & \text{при } 0 < y < x < 1, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}

Определите распределение (плотность) $Z = -\log (Y/X)$ .

?

Задача 1.39

Пусть $X_{1} \in \Gamma (a_{1},b)$ и $X_{2} \in \Gamma (a_{2},b)$ — независимые случайные величины. Покажите, что $X_{1}/X_{2}$ и $X_{1}+X_{2}$ — независимые случайные величины, и определите их распределения.

?

Задача 1.40

(a)(b)(c)

Пусть $X \in \Gamma (r,1)$ и $Y \in \Gamma (s,1)$ — независимые случайные величины.

?

(a)

Покажите, что $X/(X+Y)$ и $X+Y$ независимы.

(b)

Покажите, что $X/(X+Y) \in \beta (r,s)$ .

(c)

Используя (а) и (б), а также соотношение

X = (X+Y) \cdot \dfrac {X}{X+Y}

вычислите среднее и дисперсию бета-распределения.

Задача 1.41

Пусть $X_{1}$ , $X_{2}$ и $X_{3}$ — независимые случайные величины, и предположим, что $X_{i} \in \Gamma (r_{i},1)$ , $i=1,2,3$ . Положим

Y_{1} = \dfrac {X_{1}}{X_{1}+X_{2}}, \qquad Y_{2} = \dfrac {X_{1}+X_{2}}{X_{1}+X_{2}+X_{3}}, \qquad Y_{3} = X_{1}+X_{2}+X_{3}.

Определите совместное распределение $Y_{1}$ , $Y_{2}$ и $Y_{3}$ . Какие выводы можно сделать?

?

Задача 1.42

(a)(b)(c)

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с распределением $N(0,1)$ .

?

(a)

Каково распределение $X^{2}+Y^{2}$ ?

(b)

Независимы ли $X^{2}+Y^{2}$ и $X/Y$ ?

(c)

Определите распределение $X/Y$ .

Задача 1.43

(a)(b)

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины. Определите распределение $(X-Y)/(X+Y)$ , если

?

(a)

$X,Y \in \mathrm{Exp}(1)$ ,

(b)

$X,Y \in N(0,1)$ (см. также задачу 5.10.9(в)).

Задача 1.44

Случайный вектор в $\mathbb {R}^{2}$ выбирается следующим образом: его длина $Z$ и его угол $\Theta$ с положительной осью $x$ — независимые случайные величины, $Z$ имеет плотность

f(z) = ze^{-z^{2}/2}, \quad z > 0,

а $\Theta \in U(0,2\pi )$ . Пусть $Q$ обозначает конечную точку вектора. Определите совместное распределение декартовых координат $Q$ .

?

Задача 1.45

Покажите, что следующая процедура порождает случайные числа с распределением $N(0,1)$ : выберем два независимых числа $U_{1}$ и $U_{2}$ с распределением $U(0,1)$ и положим $X = \sqrt{-2\log U_{1}} \cdot \cos (2\pi U_{2})$ и $Y = \sqrt{-2\log U_{1}} \cdot \sin (2\pi U_{2})$ . Покажите, что $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с распределением $N(0,1)$ .

?

Многомерные случайные величины