Нормальные подгруппы и факторгруппы

Пусть $H = \left\{ (1), (12)\right\}$. Является ли $H$ нормальной подгруппой в $S_3$?

Докажите, что $A_n$ нормальна в $S_n$.

В $D_4$ пусть $K = \left\{ R_0, R_{90}, R_{180}, R_{270}\right\}$. Запишите $HR_{90}$ в виде $xH$, где $x \in K$. Запишите $DR_{270}$ в виде $xD$, где $x \in K$. Запишите $R_{90}V$ в виде $Vx$, где $x \in K$.

Запишите $(12)(13)(14)$ в виде $\alpha (12)$, где $\alpha \in A_4$. Запишите $(1234)(12)(23)$ в виде $\alpha (1234)$, где $\alpha \in A_4$.

Покажите, что если $G$ является внутренним прямым произведением $H_1, H_2, \ldots , H_n$ и $i \neq j$, где $1 \leq i \leq n$, $1 \leq j \leq n$, то $H_i \cap H_j = \left\{ e\right\}$. (На это упражнение ссылаются в данной главе.)

Пусть $H = \left\{ \left[\begin{smallmatrix} a & b \\ 0 & d \end{smallmatrix}\right] \mid a, b, d \in \mathbb {R}, ad \neq 0\right\}$. Является ли $H$ нормальной подгруппой $\operatorname {GL}(2, \mathbb {R})$?

Пусть $G = \operatorname {GL}(2, \mathbb {R})$ и $K$ --- подгруппа $\mathbb {R}^*$. Докажите, что $H = \left\{ A \in G \mid \det A \in K\right\}$ является нормальной подгруппой $G$.

Рассматривая $\left\langle 3\right\rangle$ и $\left\langle 12\right\rangle$ как подгруппы $\mathbb {Z}$, докажите, что $\left\langle 3\right\rangle / \left\langle 12\right\rangle$ изоморфна $\mathbb {Z}_4$. Аналогично докажите, что $\left\langle 8\right\rangle / \left\langle 48\right\rangle$ изоморфна $\mathbb {Z}_6$. Обобщите на произвольные целые $k$ и $n$.

Докажите, что если индекс $H$ в $G$ равен 2, то $H$ нормальна в $G$. (На это упражнение ссылаются в главах 23, 24 и в данной главе.)

Пусть $H = \left\{ (1), (12)(34)\right\}$ в $A_4$.

Докажите, что фактор-группа циклической группы циклична.

Докажите, что фактор-группа абелевой группы абелева.

Пусть $H$ --- нормальная подгруппа конечной группы $G$, а $a$ --- элемент $G$. Дополните следующее утверждение: порядок элемента $aH$ в фактор-группе $G/H$ есть наименьшее положительное целое $n$, такое что $a^n$ .

Каков порядок элемента $14 + \left\langle 8\right\rangle$ в фактор-группе $\mathbb {Z}_{24}/ \left\langle 8\right\rangle$?

В $U(100)$ пусть $H = \left\langle 21\right\rangle = \left\{ 1, 21, 41, 61, 81\right\}$. В $U(100)/H$ найдите $\left|9H\right|$ и $\left|13H\right|$.

Вспомните, что $Z(D_6) = \left\{ R_0, R_{180}\right\}$. Каков порядок элемента $R_{60}Z(D_6)$ в фактор-группе $D_6/Z(D_6)$?

В группе $\mathbb {Q}/ \left\langle 3.5\right\rangle$ найдите единственный элемент $a + \left\langle 3.5\right\rangle$, такой что $a + \left\langle 3.5\right\rangle = 8 + \left\langle 3.5\right\rangle$, где $0 < a < 3.5$.

Пусть $k$ является делителем $n$. Какой известной группе изоморфна $\mathbb {Z}_n/ \left\langle k\right\rangle$?

Если $H$ --- нормальная подгруппа $G$ и $\left|H\right| = 2$, докажите, что $H$ содержится в центре $G$. Определите все нормальные подгруппы $D_n$ порядка 2.

Докажите, что $U(40)/U_8(40)$ циклична, но $U(40)/U_5(40)$ не циклична.

Докажите, что абелева группа порядка 33 циклична. Остаётся ли ваше доказательство верным, если заменить 33 на $pq$, где $p$ и $q$ --- различные простые? Обобщите на случай абелевой группы порядка $p_1 p_2 \cdots p_k$, где $p_i$ --- различные простые.

Докажите, что группа $(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z})/( \left\langle (2,2)\right\rangle )$ порождается двумя элементами $(1,0) + \left\langle (2,2)\right\rangle$ и $(1,1) + \left\langle (2,2)\right\rangle$. То есть каждый элемент $(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z})/( \left\langle (2,2)\right\rangle )$ можно записать в виде $a(1,0) + \left\langle (2,2)\right\rangle + b(1,1) + \left\langle (2,2)\right\rangle$, где $b = 0$ или 1. Какому внешнему прямому произведению циклических групп изоморфна $(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z})/( \left\langle (2,2)\right\rangle )$? Какому внешнему прямому произведению циклических групп изоморфна $(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z})/( \left\langle (n,n)\right\rangle )$?

Сколько элементов в группе $(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z})/( \left\langle (2,0)\right\rangle \oplus \left\langle (0,2)\right\rangle )$? Является ли эта группа циклической?

Группа $(\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_{12})/ \left\langle (2,2)\right\rangle$ изоморфна одной из групп $\mathbb {Z}_8$, $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_2$ или $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$. Определите, какой именно, методом исключения.

Пусть $G = U(32)$ и $H = \left\{ 1, 15\right\}$. Группа $G/H$ изоморфна одной из групп $\mathbb {Z}_8$, $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_2$ или $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$. Определите, какой именно, методом исключения.

Пусть $H = \left\{ 1, 17, 41, 49, 73, 89, 97, 113\right\}$ относительно умножения по модулю 120. Запишите $H$ как внешнее прямое произведение групп вида $\mathbb {Z}_{2^k}$. Запишите $H$ как внутреннее прямое произведение нетривиальных подгрупп.

Пусть $G = U(16)$, $H = \left\{ 1, 15\right\}$ и $K = \left\{ 1, 9\right\}$. Изоморфны ли $H$ и $K$? Изоморфны ли $G/H$ и $G/K$?

Пусть $G = \mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_4$, $H = \left\{ (0,0),(2,0),(0,2),(2,2)\right\}$ и $K = \left\langle (1,2)\right\rangle$. Изоморфна ли $G/H$ группе $\mathbb {Z}_4$ или $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$? Изоморфна ли $G/K$ группе $\mathbb {Z}_4$ или $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$?

Объясните, почему неабелева группа порядка 8 не может быть внутренним прямым произведением собственных подгрупп.

Представьте $U(165)$ в виде внутреннего прямого произведения собственных подгрупп четырьмя различными способами.

Пусть $\mathbb {R}^*$ обозначает группу всех ненулевых действительных чисел относительно умножения. Пусть $\mathbb {R}^+$ обозначает группу положительных действительных чисел относительно умножения. Докажите, что $\mathbb {R}^*$ является внутренним прямым произведением $\mathbb {R}^+$ и подгруппы $\left\{ 1, -1\right\}$.

Если $N$ --- нормальная подгруппа группы $G$ и $\left|G/N\right| = m$, покажите, что $x^m \in N$ для всех $x$ из $G$.

Пусть $H$ и $K$ --- подгруппы группы $G$. Если $G = HK$ и $g = hk$, где $h \in H$ и $k \in K$, существует ли какая-либо связь между $\left|g\right|$, $\left|h\right|$ и $\left|k\right|$? А если $G = H \times K$?

В $\mathbb {Z}$ положим $H = \left\langle 5\right\rangle$ и $K = \left\langle 7\right\rangle$. Докажите, что $\mathbb {Z} = HK$. Верно ли, что $\mathbb {Z} = H \times K$?

Пусть $G = \left\{ 3^a 6^b 10^c \mid a,b,c \in \mathbb {Z}\right\}$ относительно умножения и $H = \left\{ 3^a 6^b 12^c \mid a,b,c \in \mathbb {Z}\right\}$ относительно умножения. Докажите, что $G = \left\langle 3\right\rangle \times \left\langle 6\right\rangle \times \left\langle 10\right\rangle$, тогда как $H \neq \left\langle 3\right\rangle \times \left\langle 6\right\rangle \times \left\langle 12\right\rangle$.

Найдите все подгруппы индекса 2 в $\mathbb {R}^*$ (ненулевых действительных числах относительно умножения).

Пусть $G$ --- конечная группа, а $H$ --- нормальная подгруппа группы $G$. Докажите, что для любого $g \in G$ порядок $\left|gH\right|$ делит $\left|g\right|$.

Докажите, что для каждого положительного целого числа $n$ группа $\mathbb {Q}/\mathbb {Z}$ имеет элемент порядка $n$.

Пусть $H$ --- подгруппа группы $G$, обладающая свойством: для всех $a$ и $b$ из $G$ выполнено $aHbH = abH$. Докажите, что $H$ является нормальной подгруппой группы $G$.

В $S_3$ положим $H = \left\{ (1),(12)\right\}$. Покажите, что $(13)H(23)H \neq (13)(23)H$. (Тем самым доказывается, что, когда $H$ не является нормальной подгруппой группы $G$, произведение двух левых классов смежности по $H$ в $G$ не обязано быть левым классом смежности по $H$ в $G$.)

Покажите, что $\mathbb {Q}$, группа рациональных чисел относительно сложения, не имеет собственной подгруппы конечного индекса.

Элемент называется квадратом, если он представим в виде $b^2$ для некоторого $b$. Пусть $G$ --- абелева группа, а $H$ --- подгруппа группы $G$. Если каждый элемент $H$ является квадратом и каждый элемент $G/H$ является квадратом, докажите, что каждый элемент $G$ является квадратом. Остаётся ли ваше доказательство верным, если заменить квадрат'' на $n$-ю степень'', где $n$ --- произвольное целое число?

Покажите на примере, что в факторгруппе $G/H$ может случиться $aH = bH$, но $\left|a\right| \neq \left|b\right|$.

Проверьте, что отображение, определённое в конце доказательства теоремы 9.6, является изоморфизмом.

Пусть $H$ --- любая подгруппа вращений в $D_n$. Докажите, что $H$ является нормальной подгруппой $D_n$.

Покажите, что $D_{13}$ изоморфна $\operatorname {Inn}(D_{13})$.

Пусть $H$ и $K$ --- подгруппы группы $G$. Если $\left|H\right| = 63$ и $\left|K\right| = 45$, докажите, что $H \cap K$ абелева. Обобщите.

Если $G$ --- группа и $\left|G:Z(G)\right| = 4$, докажите, что $G/Z(G) \approx \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$.

Предположим, что $G$ --- неабелева группа порядка $p^3$, где $p$ --- простое число, и $Z(G) \neq \left\{ e\right\}$. Докажите, что $\left|Z(G)\right| = p$.

Если $\left|G\right| = pq$, где $p$ и $q$ --- простые числа, не обязательно различные, докажите, что $\left|Z(G)\right| = 1$ или $pq$.

Пусть $H$ --- нормальная подгруппа $G$, а $K$ --- подгруппа $G$, содержащая $H$. Докажите, что $K$ нормальна в $G$ тогда и только тогда, когда $K/H$ нормальна в $G/H$.

Пусть $G$ --- абелева группа, а $H$ --- подгруппа, состоящая из всех элементов $G$ конечного порядка. Докажите, что всякий неединичный элемент $G/H$ имеет бесконечный порядок.

Найдите все подгруппы $\mathbb {R}^*$ конечного индекса.

Пусть $G = \left\{ \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\right\}$, где $i^2 = j^2 = k^2 = -1$, $-i = (-1)i$, $1^2 = (-1)^2 = 1$, $ij = -ji = k$, $jk = -kj = i$ и $ki = -ik = j$.

В $D_4$ положим $K = \left\{ R_0, D\right\}$ и $L = \left\{ R_0, D, D', R_{180}\right\}$. Покажите, что $K \triangleleft L \triangleleft D_4$, но $K$ не нормальна в $D_4$. (Нормальность нетранзитивна.)

Докажите, что пересечение двух нормальных подгрупп группы $G$ является нормальной подгруппой группы $G$. Обобщите это утверждение.

Предположим, что $H$ --- нормальная подгруппа конечной группы $G$ и $G/H$ изоморфна $D_6$. Что можно сказать о порядках элементов группы $G$?

Если $N$ и $M$ --- нормальные подгруппы группы $G$, докажите, что $NM$ также является нормальной подгруппой группы $G$.

Пусть $N$ --- нормальная подгруппа группы $G$. Если $N$ циклическая, докажите, что всякая подгруппа $N$ также нормальна в $G$. (На это упражнение ссылаются в главе 23.)

Не рассматривая внутренние автоморфизмы $D_n$, определите число таких автоморфизмов.

Пусть $H$ --- нормальная подгруппа конечной группы $G$ и $x \in G$. Если $\gcd (\left|x\right|, \left|G/H\right|) = 1$, покажите, что $x \in H$. (На это упражнение ссылаются в главе 24.)

Пусть $G$ --- группа порядка $pm$, где $p$ простое и $p > m$. Если $H$ --- подгруппа $G$ порядка $p$, докажите, что $H$ нормальна.

Если группа порядка 24 имеет более одной подгруппы порядка 3, докажите, что ни одна из них не может быть нормальной подгруппой.

Пусть $G$ --- группа, а $G'$ --- подгруппа $G$, порождённая множеством $S = \left\{ x^{-1}y^{-1}xy \mid x, y \in G\right\}$.

Докажите, что группа $\mathbb {C}^*/\mathbb {R}^*$ имеет бесконечный порядок.

Предположим, что группа $G$ имеет подгруппу порядка $n$. Докажите, что пересечение всех подгрупп группы $G$ порядка $n$ является нормальной подгруппой $G$.

Если $G$ неабелева, покажите, что $\operatorname {Aut}(G)$ не циклическая.

Пусть $\left|G\right| = p^n m$, где $p$ простое и $\gcd (p,m) = 1$. Предположим, что $H$ --- нормальная подгруппа $G$ порядка $p^n$. Если $K$ --- подгруппа $G$ порядка $p^k$, покажите, что $K \subseteq H$.

Пусть $g$ --- элемент группы $G$, а $H$ --- нормальная подгруппа $G$ порядка 2. Если $\left|g\right| = 16$, докажите, что в группе $G/H$ элемент $gH$ имеет порядок 8 или 16. Что можно сказать о порядке $gH$ в $G/H$, если $\left|g\right| = 10$? А если $\left|g\right| = 2n$?

Докажите, что $A_4$ --- единственная подгруппа порядка 12 в $S_4$.

Если $\left|G\right| = 30$ и $\left|Z(G)\right| = 5$, какой известной группе изоморфна $G/Z(G)$? Какой известной группе изоморфна $G/Z(G)$, если $\left|Z(G)\right| = 3$? Обобщите на случай $\left|G\right| = 2pq$, где $p$ и $q$ --- различные нечётные простые числа.

Если $H$ --- нормальная подгруппа $G$ и $\left|H\right| = 2$, докажите, что $H$ содержится в центре $G$.

Докажите, что $A_5$ не может иметь нормальную подгруппу порядка 2.

Пусть $G$ --- группа, а $H$ --- подгруппа $G$ индекса 2. Покажите, что $H$ содержит всякий элемент $G$ нечётного порядка.

В $U(72)$ найдите подгруппы порядков 4, 6 и 12.

В $U(70)$ пусть $H$ --- подгруппа $\left\{ 1, 11, 31, 41, 51, 61\right\}$. Найдите $\left|9H\right|$ и $\left|17H\right|$.

Докажите, что $A_5$ не имеет нормальной подгруппы порядка 12.

Объясните, почему $U(60)$ не имеет подгруппы $H$, для которой $U(60)/H$ изоморфна $\mathbb {Z}_8$.

Для группы $U(200)$ и нормальной подгруппы $H = \left\{ 1, 51, 101, 151\right\}$ объясните, почему $153H = 3H$.

В группе $\mathbb {Q}/ \left\langle 3.5\right\rangle$ найдите $\left|2 + \left\langle 3.5\right\rangle \right|$.

Пусть $g$ --- элемент группы $G$, а $H$ --- нормальная подгруппа $G$. Если $\gcd (\left|g\right|, \left|H\right|) = 1$, докажите, что $\left|gH\right| = \left|g\right|$.

Используя метод, описанный в примере 15, найдите подгруппу $U(80)$ порядка 16.

Пример 15: Пусть $H$ --- нормальная подгруппа группы $G$, а $K = \left\{ H, a_1 H, a_2 H, a_3 H\right\}$ --- подгруппа фактор-группы $G/H$. Тогда множество $\overline{K} = H \cup a_1 H \cup a_2 H \cup a_3 H$ (называемое ``поднятием'' $K$ в $G$) является подгруппой $G$ порядка $4\left|H\right|$.

Если $G = \left\langle a_1, a_2, \ldots , a_n\right\rangle$ и $H$ --- нормальная подгруппа $G$, докажите, что $G/H = \left\langle a_1 H, a_2 H, \ldots , a_n H\right\rangle$.

Для всякого целого $n \geq 3$ докажите, что $D_{2n}$ представляется как внутреннее прямое произведение $D_n$ и подгруппы порядка 2 тогда и только тогда, когда $n$ нечётно.

Предположим, что $G$ --- абелева группа и $H_1, H_2, \ldots , H_k$ --- подгруппы $G$ такие, что всякий элемент $G$ единственным образом представим в виде $h_1 h_2 \cdots h_k$, где $h_i \in H_i$. Докажите, что $G = H_1 \times H_2 \times \cdots \times H_k$.

Пусть $G$ --- группа, а $H$ --- подгруппа $G$. Определим $N(H) = \left\{ x \in G \mid xHx^{-1} = H\right\}$. Докажите, что $N(H)$ (называемый нормализатором $H$ в $G$) является подгруппой $G$.

Если фактор-группа $G/Z(G)$ имеет порядок $p^2$ для некоторого простого $p$, какой известной группе изоморфна $G/Z(G)$?

Объясните, почему не существует группы $G$ со свойством, что $G/Z(G)$ изоморфна группе целых чисел относительно сложения.

Докажите, что если группа $G$ порядка $9m$, где $m$ взаимно просто с 3, имеет нормальную подгруппу порядка 9, то она является единственной подгруппой порядка 9. Обобщите на случай, когда группа имеет порядок $pm$, где $p$ простое и $p$ взаимно просто с $m$.

Пусть $G$ --- группа. Докажите, что $\operatorname {Inn}(G)$ нормальна в $\operatorname {Aut}(G)$.

Пусть $G$ --- абелева группа порядка $2^n$ для некоторого положительного целого $n$. Докажите, что $G$ циклическая тогда и только тогда, когда $G$ имеет ровно один элемент порядка 2. Каково соответствующее обобщение при замене 2 на произвольное простое $p$?

Пусть $G$ --- конечная абелева группа порядка $mn$, где $m$ и $n$ взаимно просты. Пусть $G_m = \left\{ x \in G \mid x^m = e\right\}$ и $G_n = \left\{ x \in G \mid x^n = e\right\}$. Докажите, что $G = G_m \times G_n$.

Пусть $H = \left\{ x^2 \mid x \in \mathbb {Q}^*\right\}$. Докажите, что $\left|\mathbb {Q}^* : H\right| = \infty$. Что можно сказать о порядках элементов фактор-группы $\mathbb {Q}^*/H$?