Внешние прямые произведения

Докажите, что внешнее прямое произведение любого числа групп является группой. (На это упражнение ссылаются в этой главе.)

Докажите, что $(1,1)$ является элементом наибольшего порядка в $\mathbb {Z}_{n_1} \oplus \mathbb {Z}_{n_2}$. Сформулируйте общий случай.

Пусть $G$ --- группа с единицей $e_G$, а $H$ --- группа с единицей $e_H$. Докажите, что $G$ изоморфна $G \oplus \left\{ e_H\right\}$, а $H$ изоморфна $\left\{ e_G\right\} \oplus H$.

Покажите, что $G \oplus H$ абелева тогда и только тогда, когда $G$ и $H$ абелевы. Сформулируйте общий случай.

Докажите, что $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ не циклическая. Работает ли доказательство для $\mathbb {Z} \oplus G$, где $G$ --- любая группа с более чем одним элементом?

Докажите сравнением порядков элементов, что $\mathbb {Z}_8 \oplus \mathbb {Z}_2$ не изоморфна $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_4$.

Докажите, что $G_1 \oplus G_2$ изоморфна $G_2 \oplus G_1$. Сформулируйте общий случай.

Изоморфна ли $\mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_9$ группе $\mathbb {Z}_{27}$? Почему?

Приведите пример абелевой группы порядка $12$, имеющей две подгруппы порядка $6$. Обобщите на случай, когда группа имеет порядок $p^2m$, где $p$ простое, $m$ взаимно просто с $p$, а подгруппа имеет порядок $pm$.

Сколько элементов порядка $9$ имеет $\mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_9$? (Не решайте упражнение полным перебором.)

Сколько элементов порядка $4$ имеет $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_4$? (Не рассматривайте каждый элемент.) Объясните, почему $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_4$ имеет столько же элементов порядка $4$, сколько $\mathbb {Z}_{8000000} \oplus \mathbb {Z}_{400000}$. Обобщите на случай $\mathbb {Z}_m \oplus \mathbb {Z}_n$.

Перечислите элементы групп $U_5(35)$ и $U_7(35)$.

Для каждого целого $n > 1$ приведите примеры двух неизоморфных групп порядка $n^2$.

Группа диэдра $D_n$ порядка $2n$ ($n \geq 3$) имеет подгруппу из $n$ поворотов и подгруппу порядка $2$. Объясните, почему $D_n$ не может быть изоморфна внешнему прямому произведению двух таких групп.

Докажите, что группа комплексных чисел относительно сложения изоморфна $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$.

Пусть $G_1 \approx G_2$ и $H_1 \approx H_2$. Докажите, что $G_1 \oplus H_1 \approx G_2 \oplus H_2$. Сформулируйте общий случай.

Если $G \oplus H$ циклическая, докажите, что $G$ и $H$ циклические. Сформулируйте общий случай.

Найдите циклическую подгруппу порядка $12$ в $\mathbb {Z}_{40} \oplus \mathbb {Z}_{30}$ и нециклическую подгруппу порядка $12$ в $\mathbb {Z}_{40} \oplus \mathbb {Z}_{30}$.

Если $r$ делит $m$, а $s$ делит $n$, найдите подгруппу $\mathbb {Z}_m \oplus \mathbb {Z}_n$, изоморфную $\mathbb {Z}_r \oplus \mathbb {Z}_s$.

Найдите подгруппу $\mathbb {Z}_{12} \oplus \mathbb {Z}_{18}$, изоморфную $\mathbb {Z}_9 \oplus \mathbb {Z}_4$.

Пусть $G$ и $H$ --- конечные группы и $(g, h) \in G \oplus H$. Сформулируйте необходимое и достаточное условие для $\left\langle (g, h)\right\rangle = \left\langle g\right\rangle \oplus \left\langle h\right\rangle$.

Определите число элементов порядка $15$ и число циклических подгрупп порядка $15$ в $\mathbb {Z}_{30} \oplus \mathbb {Z}_{20}$.

Сколько подгрупп порядка $3$ имеется в $\mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_3$? А в $\mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_3$? А в $\mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_3 \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z}_3$ ($n$ сомножителей)?

Пусть $m$ --- чётное целое не меньше $4$, а $n$ --- нечётное целое не меньше $3$. Найдите выражение через $m$ и $n$, задающее число элементов порядка $2$ в $D_m \oplus D_n$. Если $m$ делится на $4$, найдите выражение для числа элементов порядка $4$ в $D_m \oplus D_n$.

Пусть $M$ --- группа всех действительных матриц размера $2 \times 2$ относительно сложения. Пусть $N = \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ относительно покомпонентного сложения. Докажите, что $M$ и $N$ изоморфны. Какова соответствующая теорема для группы матриц размера $m \times n$ относительно сложения?

Группа $S_3 \oplus \mathbb {Z}_2$ изоморфна одной из групп $\mathbb {Z}_{12}$, $\mathbb {Z}_6 \oplus \mathbb {Z}_2$, $A_4$, $D_6$. Определите, какой именно, исключением вариантов.

Пусть $G$ --- группа и $H = \left\{ (g,g) \mid g \in G\right\}$. Покажите, что $H$ является подгруппой $G \oplus G$. (Эта подгруппа называется диагональю $G \oplus G$.) Когда $G$ есть множество действительных чисел относительно сложения, геометрически опишите $G \oplus G$ и $H$.

Перечислите шесть примеров неабелевых групп порядка $24$.

Найдите все подгруппы порядка $3$ в $\mathbb {Z}_9 \oplus \mathbb {Z}_3$.

Найдите все подгруппы порядка $4$ в $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_4$.

Каков порядок наибольшей циклической подгруппы $\mathbb {Z}_6 \oplus \mathbb {Z}_{10} \oplus \mathbb {Z}_{15}$? Каков порядок наибольшей циклической подгруппы $\mathbb {Z}_{n_1} \oplus \mathbb {Z}_{n_2} \oplus \cdots \mathbb {Z}_{n_k}$?

Сколько элементов порядка $2$ имеется в $\mathbb {Z}_{2000000} \oplus \mathbb {Z}_{4000000}$? Обобщите.

Найдите две подгруппы $\mathbb {Z}_{100} \oplus \mathbb {Z}_{60}$, изоморфные $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_2$. Доказывать ничего не нужно.

Найдите подгруппу $\mathbb {Z}_{100} \oplus D_4$, изоморфную $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_4$.

Найдите подгруппу $D_3 \oplus D_4$, изоморфную $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$.

Найдите подгруппу $\mathbb {Z}_{12} \oplus \mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_{15}$ порядка $9$.

Докажите, что $\mathbb {R}^* \oplus \mathbb {R}^*$ не изоморфна $\mathbb {C}^*$. (Сравните с упражнением 15.)

Пусть

(См. упражнение 35 главы 2, где определено умножение.) Покажите, что $H$ --- абелева группа порядка $9$. Изоморфна ли $H$ группе $\mathbb {Z}_9$ или $\mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_3$?

Пусть $G = \left\{ 3^m 6^n \mid m, n \in \mathbb {Z}\right\}$ относительно умножения. Докажите, что $G$ изоморфна $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$. Остаётся ли доказательство верным, если $G = \left\{ 3^m 9^n \mid m, n \in \mathbb {Z}\right\}$?

Пусть $(a_1, a_2, \ldots , a_n) \in G_1 \oplus G_2 \oplus \cdots \oplus G_n$. Дайте необходимое и достаточное условие для $\left|(a_1, a_2, \ldots , a_n)\right| = \infty$.

Сравните число элементов каждого порядка в $D_6$ с числом элементов каждого порядка в $D_3 \oplus \mathbb {Z}_2$.

Докажите или опровергните, что $U(40) \oplus \mathbb {Z}_6$ изоморфна $U(72) \oplus \mathbb {Z}_4$.

Докажите, что $\mathbb {C}^*$ имеет подгруппу, изоморфную $\mathbb {Z}_m \oplus \mathbb {Z}_n$, тогда и только тогда, когда $\gcd (m,n) = 1$.

Пусть $G$ --- группа, изоморфная $\mathbb {Z}_{n_1} \oplus \mathbb {Z}_{n_2} \oplus \cdots \mathbb {Z}_{n_k}$. Пусть $x$ есть произведение всех элементов $G$. Опишите все возможности для $x$.

Если группа имеет ровно 24 элемента порядка 6, сколько в ней циклических подгрупп порядка 6?

Приведите пример бесконечной группы, имеющей как подгруппу, изоморфную $D_4$, так и подгруппу, изоморфную $A_4$.

Представьте $\operatorname {Aut}(U(25))$ в виде $\mathbb {Z}_m \oplus \mathbb {Z}_n$.

Определите $\operatorname {Aut}(\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2)$.

Предположим, что $n_1, n_2, \ldots , n_k$ --- положительные чётные целые числа. Сколько элементов порядка 2 имеет $\mathbb {Z}_{n_1} \oplus \mathbb {Z}_{n_2} \oplus \cdots \mathbb {Z}_{n_k}$? Сколько их будет, если отказаться от требования чётности $n_1, n_2, \ldots , n_k$?

Верно ли, что $\mathbb {Z}_{10} \oplus \mathbb {Z}_{12} \oplus \mathbb {Z}_6 \approx \mathbb {Z}_{60} \oplus \mathbb {Z}_6 \oplus \mathbb {Z}_2$? Верно ли, что $\mathbb {Z}_{10} \oplus \mathbb {Z}_{12} \oplus \mathbb {Z}_6 \approx \mathbb {Z}_{15} \oplus \mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_{12}$?

Предположим, что $\phi$ --- изоморфизм из $\mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_5$ в $\mathbb {Z}_{15}$ и $\phi ((2,3)) = 2$. Найдите элемент из $\mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_5$, который переходит в 1.

Если $\phi$ --- изоморфизм из $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_3$ в $\mathbb {Z}_{12}$, чему равно $\phi ((2,0))$? Каковы возможные значения $\phi ((1,0))$? Обоснуйте ответ.

Найдите подгруппу $U(140)$, изоморфную $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_6$.

Пусть $(a,b)$ принадлежит $\mathbb {Z}_m \oplus \mathbb {Z}_n$. Докажите, что $\left|(a,b)\right|$ делит $\operatorname {lcm}(m,n)$.

Пусть $G = \left\{ ax^2 + bx + c \mid a, b, c \in \mathbb {Z}_3\right\}$. Складывайте элементы $G$ так же, как многочлены с целыми коэффициентами, но по модулю 3. Докажите, что $G$ изоморфна $\mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_3$. Обобщите.

Определите все циклические группы, имеющие ровно два образующих элемента.

Объясните, как строку длины $n$, составленную из четырёх азотистых оснований A, T, G и C, можно моделировать внешним прямым произведением $n$ копий $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$.

Пусть $p$ --- простое число. Докажите, что $\mathbb {Z}_p \oplus \mathbb {Z}_p$ имеет ровно $p+1$ подгрупп порядка $p$.

Приведите пример бесконечной неабелевой группы, имеющей ровно шесть элементов конечного порядка.

Приведите пример, показывающий существование группы с элементами $a$ и $b$ такими, что $\left|a\right| = \infty$, $\left|b\right| = \infty$ и $\left|ab\right| = 2$. Обобщите на случай $\left|a\right| = \infty$, $\left|b\right| = \infty$ и $\left|ab\right| = n$, где $n$ --- любое положительное целое число.

Представьте $U(165)$ как внешнее прямое произведение циклических групп вида $\mathbb {Z}_n$.

Представьте $U(165)$ как внешнее прямое произведение $U$-групп четырьмя различными способами.

Представьте $U_9(72)$ и $U_4(300)$ как внешнее прямое произведение циклических групп вида $\mathbb {Z}_n$.

Докажите, что при нечётном $n$ группа $U(2n)$ изоморфна $U(n)$.

Если $n$ --- целое число, не меньшее 3, определите число элементов порядка 2 в $U(2^n)$.

Не производя вычислений в $\operatorname {Aut}(\mathbb {Z}_{105})$, определите, сколько элементов порядка 6 имеет $\operatorname {Aut}(\mathbb {Z}_{105})$. Не производя вычислений в $U(27)$, решите, сколько подгрупп имеет $U(27)$.

Запишите $\operatorname {Aut}(\operatorname {Aut}(\mathbb {Z}_{50}))$ как внешнее прямое произведение групп вида $\mathbb {Z}_n$.

Докажите, что $A_4 \oplus \mathbb {Z}_4$ не изоморфна $D_{12} \oplus \mathbb {Z}_2$.

Докажите, что $D_8 \oplus D_3 \not\approx D_6 \oplus D_4$.

Приведите пример бесконечной группы, содержащей подгруппу, изоморфную $D_4$.

Пусть $p$ и $q$ --- нечётные простые числа, а $m$ и $n$ --- положительные целые числа. Объясните, почему $U(p^m) \oplus U(q^n)$ не является циклической.

Используя результаты этой главы, докажите, что $U(55)$ изоморфна $U(75)$.

Используя результаты этой главы, докажите, что $U(144)$ изоморфна $U(140)$.

Каков наибольший порядок элемента в $U(900)$?

Каковы два наименьших положительных целых числа $n$, для которых $\operatorname {Aut}(\mathbb {Z}_n)$ не является циклической?

Найдите целое число $n$ такое, что $U(n)$ изоморфна $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_9$.

Каково наименьшее положительное целое число $k$ такое, что $x^k = e$ для всех $x$ из $U(7 \cdot 17)$? Обобщите на $U(pq)$, где $p$ и $q$ --- различные простые числа.

Верно ли, что $U(200) \approx U(50) \oplus U(4)$? Верно ли, что $U_{50}(200) \approx U(4)$? Почему ваш ответ не противоречит теореме 8.3?

Пусть $p$ --- нечётное простое число, а $n$ --- положительное целое число. Какой знакомой группе изоморфна $U_p(p^n)$?

Найдите наименьшее положительное целое число $n$ такое, что $x^n = 1$ для всех $x$ из $U(100)$. Обоснуйте ответ.

Какие из следующих групп являются циклическими?

Пусть $p_1, p_2, \ldots , p_k$ --- различные нечётные простые числа, а $n_1, n_2, \ldots , n_k$ --- положительные целые числа. Определите число элементов порядка 2 в $U(p_1^{n_1} p_2^{n_2} \cdots p_k^{n_k})$. Сколько их в $U(2^n p_1^{n_1} p_2^{n_2} \cdots p_k^{n_k})$, где $n$ не меньше 3?

Найдите подгруппу $U(140)$, изоморфную $U(28)$. Найдите подгруппу $U(140)$, изоморфную $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_6$.

Найдите все целые числа $n$, для которых $U(n)$ изоморфна группе вида $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2 \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z}_2$.

Для взаимно простых положительных целых чисел $s \leq n$ и $t \leq n$ покажите, что $U_{st}(n) = U_s(n) \cap U_t(n)$.

Объясните, почему $S_{20}$ содержит подгруппу, изоморфную $D_5 \oplus \mathbb {Z}_2$.

Пусть $G = \left\{ \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix}\right]\right\}$. Изоморфна ли $G$ группе $\mathbb {Z}_4$ или $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$?

Пусть $G = \left\{ \left[\begin{smallmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{smallmatrix}\right] \mid a, b, c \text{ равны } 1 \text{ или } -1\right\}$. Является ли $G$ абелевой? Изоморфна ли $G$ одной из групп $\mathbb {Z}_8$, $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_2$ или $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$?

Предполагая, что сообщение было отправлено по схеме RSA с $p = 37$, $q = 73$ и $e = 5$, расшифруйте полученное сообщение ``34''.

При использовании схемы RSA с $p = 37$, $q = 73$, $e = 5$ и замене букв A, B, , Z на 01, 02, , 26, какое число будет отправлено для сообщения ``RL''?

Объясните, почему сообщение YES нельзя отправить с помощью схемы RSA при $p = 31$ и $q = 73$, используя блоки длины 4.