Смежные классы и теорема Лагранжа

Пусть $H = \left\{ 0, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \ldots \right\}$. Найдите все левые смежные классы $H$ в $\mathbb {Z}$. Пусть $n$ --- положительное целое число и $H = \left\{ 0, \pm n, \pm 2n, \pm 3n, \ldots \right\}$. Найдите все левые смежные классы $H$ в $\mathbb {Z}$. Сколько их?

Перепишите условие $a^{-1}b \in H$ из свойства 6 леммы этой главы в аддитивной записи. Считайте группу абелевой.

Пусть $H$ таково, как в упражнении 1. С помощью упражнения 2 установите, совпадают ли следующие смежные классы $H$.

Найдите все левые смежные классы $\left\{ 1, 11\right\}$ в $U(30)$.

Пусть $a$ принадлежит группе и $\left|a\right| = 30$. Сколько левых смежных классов $\left\langle a^5\right\rangle$ в $\left\langle a\right\rangle$ имеется? Перечислите их. Выполните то же для $\left\langle a^4\right\rangle$ в $\left\langle a\right\rangle$.

Приведите пример группы $G$ и её подгрупп $H$ и $K$, для которых $HK = \left\{ hk \mid h \in H, k \in K\right\}$ не является подгруппой $G$.

Если $H$ --- подгруппа $\mathbb {Z}$ и $\left\langle 3\right\rangle \subseteq H \subseteq \mathbb {Z}$, докажите, что $H = \left\langle 3\right\rangle$ или $H = \mathbb {Z}$.

Пусть $a$ и $b$ --- элементы группы $G$, а $H$ и $K$ --- подгруппы $G$. Если $aH = bK$, докажите, что $H = K$.

Если $H$ и $K$ --- подгруппы $G$ и $g$ принадлежит $G$, покажите, что $g(H \cap K) = gH \cap gK$.

Пусть $a$ и $b$ --- неединичные элементы различных порядков в группе $G$ порядка $155$. Докажите, что единственная подгруппа $G$, содержащая $a$ и $b$, есть сама $G$.

Пусть $H$ --- подгруппа $\mathbb {R}^*$, группы ненулевых действительных чисел относительно умножения. Если $\mathbb {R}^+ \subseteq H \subseteq \mathbb {R}^*$, докажите, что $H = \mathbb {R}^+$ или $H = \mathbb {R}^*$.

Пусть $\mathbb {C}^*$ --- группа ненулевых комплексных чисел относительно умножения и

. Дайте геометрическое описание смежного класса $(3 + 4i)H$. Дайте геометрическое описание класса $(c + di)H$.

Пусть $G$ --- группа порядка $60$. Каковы возможные порядки подгрупп $G$?

Пусть $K$ --- собственная подгруппа $H$, а $H$ --- собственная подгруппа $G$. Если $\left|K\right| = 42$ и $\left|G\right| = 420$, каковы возможные порядки $H$?

Пусть $G$ --- группа с $\left|G\right| = pq$, где $p$ и $q$ простые. Докажите, что каждая собственная подгруппа $G$ циклическая.

Напомним, что для любого целого $n > 1$ $\phi (n)$ обозначает число положительных целых чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$. Докажите, что если $a$ --- любое целое число, взаимно простое с $n$, то $a^{\phi (n)} \bmod n = 1$.

Вычислите $5^{15} \bmod 7$ и $7^{13} \bmod 11$.

Используйте следствие 2 теоремы Лагранжа (теоремы 7.1), чтобы доказать, что порядок $U(n)$ чётен при $n > 2$.

(Следствие 2 теоремы 7.1: в конечной группе порядок каждого элемента группы делит порядок группы.)

Пусть $G$ --- конечная группа порядка $n$, а $m$ взаимно просто с $n$. Если $g \in G$ и $g^m = e$, докажите, что $g = e$.

Пусть $H$ и $K$ --- подгруппы группы $G$. Если $\left|H\right| = 12$ и $\left|K\right| = 35$, найдите $\left|H \cap K\right|$. Обобщите.

Для любого целого $n \geq 3$ докажите, что $D_n$ имеет подгруппу порядка $4$ тогда и только тогда, когда $n$ чётно.

Пусть $H$ и $K$ --- подгруппы абелевой группы. Если $\left|H\right| = 12$ и $\left|K\right| = 18$, докажите, что $H \cap K$ циклическая. Обобщается ли доказательство на случай, когда $\left|H \cap K\right|$ делит $2p$, где $p$ простое?

Пусть $G$ --- абелева группа с нечётным числом элементов. Покажите, что произведение всех элементов $G$ есть единица.

Докажите, что всякая группа порядка $4$ абелева.

Пусть $G$ --- группа порядка $25$. Докажите, что $G$ циклическая или $a^5 = e$ для всех $a \in G$. Обобщите на любую группу порядка $p^n$, где $p$ простое.

Каково наибольшее возможное число элементов порядка $11$ в группе порядка $99$?

Пусть $\left|G\right| = 33$. Каковы возможные порядки элементов $G$? Покажите, что $G$ должна иметь элемент порядка $3$.

Пусть $G$ --- неабелева группа с $\left|G\right| = 8$. Докажите, что $G$ имеет элемент порядка $4$.

Докажите, что всякая группа порядка $55$ имеет ровно одну подгруппу порядка $5$ либо ровно $11$ подгрупп порядка $5$.

Пусть $G$ --- группа порядка $105$, обладающая свойством: для каждого делителя $105$ группа $G$ имеет ровно одну подгруппу этого порядка. Докажите, что $G$ циклическая.

Используйте упражнение 87 главы 4, чтобы доказать следующее обратное утверждение к основной теореме о конечных циклических группах: если $G$ --- конечная группа порядка $n$, имеющая ровно одну подгруппу порядка $d$ для каждого положительного делителя $d$ числа $n$, то $G$ циклическая.

(Упражнение 87 главы 4: для каждого положительного целого $n$ выполняется $n = \sum \phi (d)$, где сумма берётся по всем положительным делителям $d$ числа $n$.)

Пусть $G$ --- группа порядка $2p$, где $p$ --- нечётное простое. Какие возможны числа элементов порядка $2$?

Пусть $G$ --- группа с $\left|G\right| = 2m$, где $m$ нечётно. Докажите, что $G$ имеет не более одной подгруппы порядка $m$.

Определите все конечные подгруппы $\mathbb {C}^*$, группы ненулевых комплексных чисел относительно умножения.

Пусть $H$ и $K$ --- подгруппы конечной группы $G$, причём $H \subseteq K \subseteq G$. Докажите, что $\left|G:H\right| = \left|G:K\right|\left|K:H\right|$.

Если конечная группа $G$ имеет подгруппы $H$ и $K$ такие, что $K \subseteq H \subseteq G$ и $[G:K] = p$, где $p$ простое, докажите, что $H = G$ или $H = K$.

Приведите пример группы диэдра наименьшего порядка, содержащей подгруппу, изоморфную $\mathbb {Z}_{12}$, и подгруппу, изоморфную $\mathbb {Z}_{20}$. Доказывать ничего не нужно, но объясните ход рассуждений.

Пусть $G$ --- группа и $\left|G\right| = 21$. Если $g \in G$ и $g^{14} = e$, каковы возможности для $\left|g\right|$?

Пусть конечная абелева группа $G$ имеет по меньшей мере три элемента порядка $3$. Докажите, что $9$ делит $\left|G\right|$.

Докажите, что если $G$ конечна, то индекс $Z(G)$ не может быть простым числом.

Пусть $p$ --- простое число, а $n$ --- положительное целое. Докажите, что $a^{p^n} = a$ для каждого $a \in \mathbb {Z}_p$.

Докажите, что группа порядка $63$ обязательно имеет элемент порядка $3$.

Пусть $G$ --- группа порядка $100$, имеющая подгруппу $H$ порядка $25$. Докажите, что каждый элемент $G$ порядка $5$ принадлежит $H$.

Пусть $G$ --- группа порядка $n$, а $k$ --- любое целое, взаимно простое с $n$. Покажите, что отображение $G$ в $G$, заданное правилом $g \to g^k$, инъективно. Если $G$ также абелева, покажите, что это отображение является автоморфизмом $G$.

Пусть $G$ --- конечная группа, а $d$ --- наименьшее положительное целое, для которого $x^d = e$ для всех $x \in G$. Докажите, что $d$ делит $\left|G\right|$.

Докажите, что всякая подгруппа $D_n$ нечётного порядка циклическая.

В конечной абелевой группе докажите, что число элементов порядка $2$ имеет вид $2^n - 1$.

Докажите, что абелева группа порядка $15$ циклическая.

Покажите, что в группе $G$ нечётного порядка уравнение $x^2 = a$ имеет единственное решение для каждого $a \in G$.

Докажите, что абелева группа порядка $20$ имеет элемент порядка $5$. Обобщается ли ваше доказательство на утверждение, что всякая абелева группа порядка $4p^n$, где $p$ простое, имеет подгруппу порядка $p$?

Докажите, что группа порядка $np^m$, где $p$ простое и $n < p^m$, имеет не более одной подгруппы порядка $p^m$.

Докажите, что группа $G$ порядка $pq^n$, где $p$ и $q$ простые и $p > q^n$, имеет элемент порядка $q$.

Пусть группа порядка $21$ имеет ровно одну подгруппу порядка $3$. Докажите, что $G$ циклическая. Работает ли доказательство для групп порядка $pq$, где $p < q$ --- простые и имеется единственная подгруппа порядка $q$?

Пусть $G$ --- конечная группа с более чем одним элементом, а $H$ --- пересечение всех нетривиальных подгрупп $G$. Что можно сказать о $\left|H\right|$?

Докажите, что группа, имеющая более одной подгруппы порядка $5$, должна иметь порядок не меньше $25$. Обобщите.

Если $a$ --- элемент конечного порядка в группе $G$, а $\phi_a$ --- внутренний автоморфизм $G$, индуцированный $a$ (то есть $\phi_a(x) = axa^{-1}$ для всех $x \in G$), докажите, что $\left|\phi_a\right|$ делит $\left|a\right|$.

Если $G$ --- конечная группа с менее чем $100$ элементами и $G$ имеет подгруппы порядков $10$ и $25$, каков порядок $G$?

Почему из того, что $A_4$ не имеет подгруппы порядка $6$, следует, что $\left|Z(A_4)\right| = 1$?

Используйте свойства смежных классов, чтобы доказать: для любой подгруппы $H$ группы $S_n$ либо каждый элемент $H$ является чётной перестановкой, либо чётными являются ровно половина элементов. (См. упражнение 27 главы 5.)

Докажите, что $A_5$ имеет подгруппу порядка $12$.

Докажите, что $A_5$ не имеет подгруппы порядка $30$.

Докажите, что $A_5$ не имеет подгруппы порядка $15$ или $20$.

Докажите, что $S_5$ не имеет подгруппы порядка $30$.

Пусть $\alpha \in S_n$ ($n \geq 3$) и $\alpha (1) = 3$. Пусть $H = \operatorname {stab}(1)$. Докажите, что $\alpha H$ есть множество всех элементов $S_n$, переводящих $1$ в $3$. Обобщите.

(Напомним, что $\operatorname {stab}(a) = \left\{ \beta \in S_n \mid \beta (a) = a\right\}$ --- стабилизатор $a$, см. упражнение 43 главы 5.)

Докажите, что $A_5$ --- единственная подгруппа $S_5$ порядка $60$.

При каких положительных целых $n$ группа $S_n$ изоморфна подгруппе $D_{60}$? Доказывать ничего не нужно, но укажите причину, по которой каждое конкретное $n$ включается или не включается в список.

Пусть $G$ --- группа перестановок множества $S$. Докажите, что орбиты элементов $S$ образуют разбиение $S$. (На это упражнение ссылаются в этой главе и в главе 27.)

Группа $D_4$ действует как группа перестановок квадратных областей, показанных ниже. (Оси симметрии проведены для справки.) Для каждой квадратной области найдите точки орбиты указанной точки относительно $D_4$. В каждом случае определите стабилизатор указанной точки.

(На рисунке изображены шесть копий квадрата; в каждой проведены обе диагонали и обе средние линии как оси симметрии, а в каждой из шести копий отмечена одна точка в различном положении: середина стороны; вершина; точка на горизонтальной средней линии вне центра; точка на стороне вне центра и не в вершине; а в двух остальных копиях --- точка, не лежащая ни на одной оси симметрии, в области между вертикальной средней линией и диагональю.)

Пусть $G = \left\{ (1), (12)(34), (1234)(56), (13)(24), (1432)(56), (56)(13), (14)(23), (24)(56)\right\}$.

Поскольку группа поворотов куба изоморфна $S_4$, а $S_4$ имеет $8$ элементов порядка $3$, имеются $8$ поворотов на $120$ градусов, являющихся симметриями куба. Дайте геометрическое описание этих $8$ поворотов.

Пусть $G = \operatorname {GL}(2, \mathbb {R})$ и $H = \operatorname {SL}(2, \mathbb {R})$. Пусть $A \in G$ и $\det A = 2$. Докажите, что $AH$ есть множество всех матриц размера $2 \times 2$ из $G$ с определителем $2$.

Пусть $G$ --- группа поворотов плоскости вокруг точки $P$ этой плоскости. Рассматривая $G$ как группу перестановок плоскости, опишите орбиту точки $Q$. (Это объясняет название «орбита».)

Пусть $G$ --- группа поворотов куба. Пронумеруйте грани куба числами от $1$ до $6$, а $H$ пусть будет подгруппой элементов $G$, оставляющих грань $1$ на месте. Если $\sigma$ --- поворот, переводящий грань $2$ в грань $1$, дайте физическое описание смежного класса $H\sigma$.

Футбольный мяч имеет $20$ граней в виде правильных шестиугольников и $12$ граней в виде правильных пятиугольников. Используйте теорему 7.4, чтобы объяснить, почему футбольный мяч не может иметь поворотную симметрию на $60^\circ$ вокруг прямой, проходящей через центры двух противоположных шестиугольных граней.

(Теорема 7.4, теорема об орбите и стабилизаторе: пусть $G$ --- конечная группа перестановок множества $S$. Тогда для любого $i \in S$ $\left|G\right| = \left|\operatorname {orb}_G(i)\right|\left|\operatorname {stab}_G(i)\right|$.)

Пусть $G = \operatorname {GL}(2, \mathbb {R})$ --- группа матриц размера $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ с ненулевым определителем. Пусть $H$ --- подгруппа матриц с определителем $\pm 1$. Если $a, b \in G$ и $aH = bH$, что можно сказать о $\operatorname {det}\left(a\right)$ и $\operatorname {det}\left(b\right)$? Докажите или опровергните обратное утверждение.

Вычислите порядки следующих групп (иллюстрации см. на рисунке 26.5).

Докажите, что множество из восьми элементов в доказательстве теоремы 7.5 является группой.

(Теорема 7.5, группа поворотов куба, доказывается с помощью двух поворотов $\alpha = (1234)$ и $\beta = (1423)$ четырёх диагоналей куба; рассматриваемое множество из восьми элементов равно $\left\{ \varepsilon , \alpha , \alpha^2, \alpha^3, \beta^2, \beta^2\alpha , \beta^2\alpha^2, \beta^2\alpha^3\right\}$.)