Изоморфизмы

Найдите изоморфизм группы целых чисел относительно сложения на группу чётных целых чисел относительно сложения.

Найдите $\operatorname {Aut}(\mathbb {Z})$ и $\operatorname {Aut}(\mathbb {Z}_6)$.

Пусть $\mathbb {R}^+$ --- группа положительных действительных чисел относительно умножения. Покажите, что отображение $\phi (x) = \sqrt{x}$ является автоморфизмом $\mathbb {R}^+$.

Покажите, что $U(8)$ не изоморфна $U(10)$. Покажите, что $U(8)$ изоморфна $U(12)$.

Пусть $G = \left\{ 0, \pm 2, \pm 4, \pm 6, \ldots \right\}$ и $H = \left\{ 0, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \ldots \right\}$. Докажите, что $G$ и $H$ являются изоморфными группами относительно сложения, задав отображение с требуемыми свойствами. Сохраняет ли ваш изоморфизм умножение? Обобщите результат на случай, когда $G = \left\langle m\right\rangle$ и $H = \left\langle n\right\rangle$, где $m$ и $n$ --- целые числа.

Докажите, что изоморфность является отношением эквивалентности. То есть для любых групп $G$, $H$ и $K$

Приведите три причины, по которым $S_4$ не изоморфна $D_{12}$.

Покажите, что отображение $a \to \log_{10} a$ является изоморфизмом $\mathbb {R}^+$ относительно умножения на $\mathbb {R}$ относительно сложения.

В обозначениях теоремы 6.5 докажите, что $T_e$ есть тождественное отображение и что $(T_g)^{-1} = T_{g^{-1}}$.

(Напомним обозначения из теоремы Кэли: для $g \in G$ отображение $T_g$ есть перестановка множества $G$, заданная формулой $T_g(x) = gx$ для всех $x \in G$.)

Пусть $\phi$ является изоморфизмом группы $G$ относительно сложения на группу $\overline{G}$ относительно сложения. Переведите свойство 2 теоремы 6.2 на аддитивный язык.

(Свойство 2 теоремы 6.2: $G$ абелева тогда и только тогда, когда $\overline{G}$ абелева.)

Пусть $G$ --- группа относительно умножения, $\overline{G}$ --- группа относительно сложения и $\phi$ --- изоморфизм из $G$ в $\overline{G}$. Если $\phi (a) = \overline{a}$ и $\phi (b) = \overline{b}$, найдите выражение для $\phi (a^3 b^{-2})$ через $\overline{a}$ и $\overline{b}$.

Пусть $G$ --- группа. Докажите, что отображение $\alpha (g) = g^{-1}$ для всех $g$ из $G$ является автоморфизмом тогда и только тогда, когда $G$ абелева.

Если $g$ и $h$ --- элементы группы, докажите, что $\phi_g \phi_h = \phi_{gh}$.

Докажите или опровергните, что $U(6) \approx \mathbb {Z}_6$.

Докажите утверждение из примера 12 о том, что внутренние автоморфизмы $\phi_{R_0}, \phi_{R_{90}}, \phi_H$ и $\phi_D$ группы $D_4$ различны.

Найдите две группы $G$ и $H$ такие, что $G \not\approx H$, но $\operatorname {Aut}(G) \approx \operatorname {Aut}(H)$.

Если $G$ --- группа, докажите, что $\operatorname {Aut}(G)$ и $\operatorname {Inn}(G)$ являются группами. (На это упражнение ссылаются в данной главе.)

Если группа $G$ изоморфна $H$, докажите, что $\operatorname {Aut}(G)$ изоморфна $\operatorname {Aut}(H)$.

Если $\phi_a$ --- внутренний автоморфизм $G$, индуцированный элементом $a$ (то есть $\phi_a(x) = axa^{-1}$ для всех $x$ из $G$), докажите, что $(\phi_a)^n = \phi_{a^n}$ для всех целых $n$.

Для любой группы $G$ и внутреннего автоморфизма $\phi_a$ группы $G$ докажите, что $\left|\phi_a\right| = \left|a\right|$.

Пусть $\phi$ принадлежит $\operatorname {Aut}(\mathbb {Z}_n)$ и $a$ взаимно просто с $n$. Если $\phi (a) = b$, найдите формулу для $\phi (x)$.

Пусть $H$ --- подгруппа всех поворотов в $D_n$, а $\phi$ --- автоморфизм $D_n$. Докажите, что $\phi (H) = H$. (Иными словами, автоморфизм $D_n$ переводит повороты в повороты.)

Пусть $H = \left\{ \beta \in S_5 \mid \beta (1) = 1\right\}$ и $K = \left\{ \beta \in S_5 \mid \beta (2) = 2\right\}$. Докажите, что $H$ изоморфна $K$. Верно ли то же, если заменить $S_5$ на $S_n$, где $n \geq 3$?

Покажите, что $\mathbb {Z}$ имеет бесконечно много подгрупп, изоморфных $\mathbb {Z}$.

Пусть $n$ --- чётное целое число, большее 2, и $\phi$ --- автоморфизм $D_n$. Найдите $\phi (R_{180})$.

Предположим, что $G$ --- абелева группа и $\phi$ --- автоморфизм $G$. Докажите, что $H = \left\{ x \in G \mid \phi (x) = x^4\right\}$ является подгруппой $G$. Если $\phi (x) = x^{-1}$, что можно сказать о порядках элементов $H$? Работает ли ваше доказательство, если заменить 4 произвольным целым числом $n$?

Приведите пример циклической группы наименьшего порядка, содержащей как подгруппу, изоморфную $\mathbb {Z}_{12}$, так и подгруппу, изоморфную $\mathbb {Z}_{20}$. Приведите пример диэдральной группы, имеющей подгруппу, изоморфную $\mathbb {Z}_{12}$, и подгруппу, изоморфную $\mathbb {Z}_{20}$. Доказывать ничего не нужно, но объясните свои рассуждения.

Предположим, что $\phi : \mathbb {Z}_{20} \to \mathbb {Z}_{20}$ --- автоморфизм и $\phi (5) = 5$. Каковы возможные значения $\phi (x)$?

Укажите группу $G$, имеющую подгруппы, изоморфные $\mathbb {Z}_n$, для всех положительных целых $n$.

Докажите, что всякий автоморфизм $\alpha$ группы $\mathbb {R}^*$ действительных чисел относительно умножения удовлетворяет равенству $\alpha (-1) = -1$.

Пусть $r \in U(n)$. Докажите, что отображение $\alpha : \mathbb {Z}_n \to \mathbb {Z}_n$, заданное формулой $\alpha (s) = sr \bmod n$ для всех $s$ из $\mathbb {Z}_n$, является автоморфизмом $\mathbb {Z}_n$. (На это упражнение ссылаются в данной главе.)

Группа $\left\{ \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \mid a \in \mathbb {Z}\right\}$ изоморфна какой известной группе? А если заменить $\mathbb {Z}$ на $\mathbb {R}$?

Если $\phi$ и $\gamma$ --- изоморфизмы из циклической группы $\left\langle a\right\rangle$ в некоторую группу и $\phi (a) = \gamma (a)$, докажите, что $\phi = \gamma$.

Предположим, что $\phi : \mathbb {Z}_{50} \to \mathbb {Z}_{50}$ --- автоморфизм, причём $\phi (7) = 13$. Найдите формулу для $\phi (x)$.

Найдите изоморфизм из $\mathbb {Z}_{10}$ в $U(11)$.

Пусть $\phi$ --- автоморфизм $\mathbb {Q}^*$. Объясните, почему $\phi$ полностью определяется значениями $\phi (p)$ для каждого простого числа $p$.

Ссылаясь на теорему 6.5, докажите, что $T_g$ действительно является перестановкой множества $G$.

(Напомним обозначение из теоремы Кэли: для $g \in G$ отображение $T_g$ задано формулой $T_g(x) = gx$ для всех $x \in G$.)

Докажите или опровергните, что $U(20)$ и $U(24)$ изоморфны.

Покажите, что отображение $\phi (a + bi) = a - bi$ является автоморфизмом группы комплексных чисел относительно сложения. Покажите, что $\phi$ сохраняет и умножение комплексных чисел --- то есть что $\phi (xy) = \phi (x)\phi (y)$ для всех $x$ и $y$ из $\mathbb {C}$. (На это упражнение ссылаются в главе 15.)

Пусть

и

Покажите, что $G$ и $H$ изоморфны относительно сложения. Докажите, что $G$ и $H$ замкнуты относительно умножения. Сохраняет ли ваш изоморфизм умножение, как и сложение? ($G$ и $H$ являются примерами колец --- темы, которой мы займёмся позднее.)

Докажите, что $\mathbb {Z}$ относительно сложения не изоморфна $\mathbb {Q}$ относительно сложения.

Объясните, почему $S_8$ содержит подгруппы, изоморфные $\mathbb {Z}_{15}$, $U(16)$ и $D_8$.

Пусть $\mathbb {C}$ --- множество комплексных чисел и

Докажите, что $\mathbb {C}$ и $M$ изоморфны относительно сложения и что $\mathbb {C}^*$ и $M^*$, множество ненулевых элементов $M$, изоморфны относительно умножения.

Пусть $\mathbb {R}^n = \left\{ (a_1, a_2, \ldots , a_n) \mid a_i \in \mathbb {R}\right\}$. Покажите, что отображение $\phi : (a_1, a_2, \ldots , a_n) \to (-a_1, -a_2, \ldots , -a_n)$ является автоморфизмом группы $\mathbb {R}^n$ относительно покоординатного сложения. Этот автоморфизм называется обращением. Опишите геометрически действие $\phi$.

Рассмотрим следующее утверждение: порядок подгруппы делит порядок группы. Предположим, что вы могли бы доказать это для конечных групп перестановок. Было бы тогда утверждение верно для всех конечных групп? Объясните.

Предположим, что $G$ --- конечная абелева группа и $G$ не имеет элемента порядка 2. Покажите, что отображение $g \to g^2$ является автоморфизмом $G$. Покажите на примере, что существует бесконечная абелева группа, для которой отображение $g \to g^2$ инъективно и сохраняет операцию, но не является автоморфизмом.

Пусть $G$ --- группа и $g \in G$. Если $z \in Z(G)$, покажите, что внутренний автоморфизм, индуцированный $g$, совпадает с внутренним автоморфизмом, индуцированным $zg$ (то есть отображения $\phi_g$ и $\phi_{zg}$ равны).

Докажите, что $\mathbb {R}$ относительно сложения не изоморфна $\mathbb {R}^*$ относительно умножения.

Предположим, что $g$ и $h$ индуцируют один и тот же внутренний автоморфизм группы $G$. Докажите, что $h^{-1}g \in Z(G)$. Объедините это упражнение с предыдущим, чтобы получить единую теорему «тогда и только тогда».

Приведите два примера нетождественных автоморфизмов $S_6$.

Если $\alpha$ и $\beta$ являются элементами $S_n$ ($n \geq 3$), докажите, что из $\phi_\alpha = \phi_\beta$ следует $\alpha = \beta$. (Здесь $\phi_\alpha$ --- внутренний автоморфизм $S_n$, индуцированный $\alpha$.)

Докажите или опровергните, что отображение $\phi$ из $\mathbb {Q}^+$, группы положительных рациональных чисел относительно умножения, в себя, заданное формулой $\phi (x) = x^2$, является автоморфизмом.

Предположим, что $\phi$ и $\gamma$ являются изоморфизмами некоторой группы $G$ на одну и ту же группу. Докажите, что $H = \left\{ g \in G \mid \phi (g) = \gamma (g)\right\}$ является подгруппой $G$.

Пусть $G$ --- группа. Дополните следующее утверждение: $\left|\operatorname {Inn}(G)\right| = 1$ тогда и только тогда, когда .

В $S_6$ используйте подгруппу $H = \left\{ (1), (135), (153), (35)(26), (15) (26), (13)(26)\right\}$, чтобы найти две другие подгруппы порядка 6 в $S_6$.

Пусть $\phi$ --- автоморфизм $D_8$. Каковы возможные значения $\phi (R_{45})$?

Пусть $\phi$ --- автоморфизм $\mathbb {C}^*$, группы ненулевых комплексных чисел относительно умножения. Найдите $\phi (-1)$. Найдите возможные значения $\phi (i)$.

Если $G$ --- неабелева группа, докажите, что $G$ имеет автоморфизм, не являющийся тождественным.

Приведите три примера групп порядка 120, никакие две из которых не изоморфны. Объясните, почему они не изоморфны.

Пусть $\phi$ --- автоморфизм $D_4$ такой, что $\phi (H) = D$. Найдите $\phi (V)$.

Предположим, что $\phi$ --- автоморфизм $D_4$ такой, что $\phi (R_{90}) = R_{270}$ и $\phi (V) = V$. Найдите $\phi (D)$ и $\phi (H)$. Найдите $\phi (D)$ и $\phi (H)$, если $\phi (R_{90}) = R_{90}$ и $\phi (V) = V$.

В $\operatorname {Aut}(\mathbb {Z}_9)$ пусть $\alpha_i$ обозначает автоморфизм, переводящий 1 в $i$, где $\gcd (i, 9) = 1$. Запишите $\alpha_5$ и $\alpha_8$ как перестановки множества $\left\{ 0, 1, \ldots , 8\right\}$ в виде независимых циклов.

Запишите перестановку, соответствующую $R_{90}$ в левом регулярном представлении $D_4$, в циклической форме.

Предположим, что отображение $\phi (x) = x^2$ является автоморфизмом группы $G$. Что можно сказать о порядке элементов $G$? Что можно сказать, если $\phi (x) = x^n$ для некоторого $n > 1$ является автоморфизмом $G$?

Пусть $F$ --- отражение в $D_n$. Объясните, почему любой автоморфизм $\alpha$ группы $D_n$ полностью определяется выбором $\alpha (R_{360/n})$ и $\alpha (F)$. Объясните, почему из этого следует, что $\left|\operatorname {Aut}(D_n)\right|$ не превосходит $n\left|U(n)\right|$. (При некоторых дополнительных усилиях можно показать, что $\left|\operatorname {Aut}(D_n)\right| = n\left|U(n)\right|$.)

Докажите, что при нечётном $n$ $\left|\operatorname {Inn}(D_n)\right| = 2n$, а при чётном $n$ $\left|\operatorname {Inn}(D_n)\right| = n$.

Пусть $H = \left\{ \alpha \in A_5 \mid \alpha (3) = 3\right\}$. Какой известной группе изоморфна $H$? Пусть

Какой известной группе изоморфна $H$?

Покажите, что каждый автоморфизм $\phi$ рациональных чисел $\mathbb {Q}$ относительно сложения на себя имеет вид $\phi (x) = x\phi (1)$.

Докажите, что $\mathbb {Q}^+$, группа положительных рациональных чисел относительно умножения, изоморфна собственной подгруппе самой себя.

Докажите, что $\mathbb {Q}$, группа рациональных чисел относительно сложения, не изоморфна собственной подгруппе самой себя.

Докажите, что каждый автоморфизм $\mathbb {R}^*$, группы ненулевых действительных чисел относительно умножения, переводит положительные числа в положительные, а отрицательные --- в отрицательные.

Докажите, что $\mathbb {Q}^*$, группа ненулевых рациональных чисел относительно умножения, не изоморфна $\mathbb {Q}$, группе рациональных чисел относительно сложения.

Дайте теоретико-групповое доказательство того, что $\mathbb {Q}$ относительно сложения не изоморфна $\mathbb {R}^+$ относительно умножения.

Докажите или опровергните, что $\mathbb {Q}^*$ относительно умножения изоморфна $\mathbb {Q}^+$ относительно умножения.

Для всех $n \geq 1$ докажите, что $S_n$ изоморфна подгруппе $A_{n+2}$. Почему это не противоречит теореме 5.5? На это упражнение ссылаются в главе 24.