Циклические группы

Найдите все образующие элементы групп $\mathbb {Z}_6$, $\mathbb {Z}_8$ и $\mathbb {Z}_{20}$.

Пусть $\left\langle a\right\rangle$, $\left\langle b\right\rangle$ и $\left\langle c\right\rangle$ --- циклические группы порядков 6, 8 и 20 соответственно. Найдите все образующие элементы групп $\left\langle a\right\rangle$, $\left\langle b\right\rangle$ и $\left\langle c\right\rangle$.

Перечислите элементы подгрупп $\left\langle 20\right\rangle$ и $\left\langle 10\right\rangle$ в $\mathbb {Z}_{30}$. Пусть $a$ --- элемент группы порядка 30. Перечислите элементы подгрупп $\left\langle a^{20}\right\rangle$ и $\left\langle a^{10}\right\rangle$.

Перечислите элементы подгрупп $\left\langle 3\right\rangle$ и $\left\langle 15\right\rangle$ в $\mathbb {Z}_{18}$. Пусть $a$ --- элемент группы порядка 18. Перечислите элементы подгрупп $\left\langle a^3\right\rangle$ и $\left\langle a^{15}\right\rangle$.

Перечислите элементы подгрупп $\left\langle 3\right\rangle$ и $\left\langle 7\right\rangle$ в $U(20)$.

Что общего у упражнений 3, 4 и 5? Попытайтесь сформулировать обобщение, включающее эти три случая.

Приведите пример нециклической группы, все собственные подгруппы которой циклические.

Пусть $a$ --- элемент группы и $\left|a\right| = 15$. Вычислите порядки следующих элементов $G$.

Сколько подгрупп имеет $\mathbb {Z}_{20}$? Укажите образующий элемент каждой из этих подгрупп. Пусть $G = \left\langle a\right\rangle$ и $\left|a\right| = 20$. Сколько подгрупп имеет $G$? Укажите образующий элемент каждой из этих подгрупп.

В $\mathbb {Z}_{24}$ перечислите все образующие элементы подгруппы порядка 8. Пусть $G = \left\langle a\right\rangle$ и $\left|a\right| = 24$. Перечислите все образующие элементы подгруппы порядка 8.

Пусть $G$ --- группа и $a \in G$. Докажите, что $\left\langle a^{-1}\right\rangle = \left\langle a\right\rangle$.

В $\mathbb {Z}$ найдите все образующие элементы подгруппы $\left\langle 3\right\rangle$. Если $a$ имеет бесконечный порядок, найдите все образующие элементы подгруппы $\left\langle a^3\right\rangle$.

В $\mathbb {Z}$ найдите образующий элемент подгруппы $\left\langle 10\right\rangle \cap \left\langle 12\right\rangle$. В общем случае, что является образующим элементом подгруппы $\left\langle m\right\rangle \cap \left\langle n\right\rangle$? Если $a$ --- элемент группы бесконечного порядка, что является образующим элементом подгруппы $\left\langle a^m\right\rangle \cap \left\langle a^n\right\rangle$?

Пусть циклическая группа $G$ имеет ровно три подгруппы: саму $G$, $\left\{ e\right\}$ и подгруппу порядка 7. Чему равно $\left|G\right|$? Что можно сказать, если 7 заменить простым числом $p$?

Пусть $G$ --- абелева группа и $H = \left\{ g \in G \mid \left|g\right| \text{ делит } 12\right\}$. Докажите, что $H$ есть подгруппа $G$. Есть ли в числе 12 что-то особенное? Будет ли ваше доказательство верно, если заменить 12 другим положительным целым числом? Сформулируйте общий результат.

Пусть $a$ --- элемент группы.

Пусть $a$ --- образующий элемент циклической группы $G$. Если $\left|G\right| = n$ нечётно и $\left\langle a^6\right\rangle$ есть собственная подгруппа $\left\langle a\right\rangle$, определите $\left| \left\langle a^6\right\rangle \right|$.

Пусть $a$ --- образующий элемент циклической группы $G$. Если $\left|G\right| = n$ и $\left\langle a^{10}\right\rangle = \left\langle a^5\right\rangle$, докажите, что $n$ нечётно.

Пусть $n$ --- элемент группы. Если $\left|a^2\right| = 3$, каковы возможные значения $\left|a\right|$? Каковы они, если $\left|a^2\right| = 4$?

Пусть $p$ простое, а $n$ --- положительное целое число. Сколько циклических подгрупп имеет $D_{p^n}$? Если $p$ и $q$ --- различные простые числа, сколько циклических подгрупп имеет $D_{pq}$?

Докажите, что если $G$ --- группа со свойством, что квадрат каждого элемента является нейтральным элементом, то $G$ абелева.

Найдите $\phi (81)$, $\phi (60)$, $\phi (105)$, где $\phi$ --- функция Эйлера.

Пусть $a$ и $b$ --- элементы конечной группы, причём $a$ и $b$ коммутируют. Докажите, что $\left|ab\right| = \left|a\right|\left|b\right|$ тогда и только тогда, когда $\gcd (\left|a\right|, \left|b\right|) = 1$.

Предположим, что $G$ --- группа более чем с одним элементом и у $G$ нет собственных нетривиальных подгрупп. Докажите, что $\left|G\right|$ простое. (Не предполагайте с самого начала, что $G$ конечна.)

Пусть $H$ --- подгруппа $D_n$ нечётного порядка. Используйте упражнение 31 главы 3, чтобы доказать, что каждая подгруппа $H$ циклическая.

Приведите бесконечно много примеров абелевых групп, имеющих ровно 2 элемента порядка 3. Сделайте то же для бесконечно многих неабелевых групп. Обобщаются ли ваши примеры на случай ровно $p - 1$ элементов порядка $p$, где $p$ --- нечётное простое?

Если циклическая группа содержит элемент бесконечного порядка, сколько элементов конечного порядка она имеет?

Предположим, что $G$ --- абелева группа порядка 35 и каждый элемент $G$ удовлетворяет уравнению $x^{35} = e$. Докажите, что $G$ циклическая. Работает ли ваше рассуждение, если заменить 35 на 33?

Пусть $G$ --- группа и $a$ --- элемент $G$.

Докажите, что группа порядка 3 должна быть циклической.

Пусть $\mathbb {Z}$ обозначает группу целых чисел относительно сложения. Является ли каждая подгруппа $\mathbb {Z}$ циклической? Почему? Опишите все подгруппы $\mathbb {Z}$. Пусть $a$ --- элемент группы бесконечного порядка. Опишите все подгруппы $\left\langle a\right\rangle$.

Для любого элемента $a$ любой группы $G$ докажите, что $\left\langle a\right\rangle$ есть подгруппа $C(a)$ (централизатора $a$).

Если $d$ --- положительное целое, $d \neq 2$ и $d$ делит $n$, покажите, что число элементов порядка $d$ в $D_n$ равно $\phi (d)$. Сколько элементов порядка 2 имеет $D_n$?

Найдите все образующие элементы $\mathbb {Z}$. Пусть $a$ --- элемент группы бесконечного порядка. Найдите все образующие элементы $\left\langle a\right\rangle$.

Докажите, что $\mathbb {C}^*$, группа ненулевых комплексных чисел относительно умножения, имеет циклическую подгруппу порядка $n$ для каждого положительного целого $n$.

Предположим, что существуют бесконечно много подгрупп $H_1, H_2, H_3, \ldots$ группы $G$ таких, что $H_1 \subset H_2 \subset H_3 \subset \cdots$. Докажите, что $H = \bigcup_{i=1}^{\infty } H_i$ есть подгруппа $G$.

Перечислите все элементы порядка 8 в $\mathbb {Z}_{8000000}$. Почему ваш список полон? Пусть $a$ --- элемент группы, такой что $\left|a\right| = 8000000$. Перечислите все элементы порядка 8 в $\left\langle a\right\rangle$. Почему ваш список полон?

Предположим, что $G$ --- группа более чем с одним элементом. Если единственными подгруппами $G$ являются $\left\{ e\right\}$ и $G$, докажите, что $G$ циклическая и имеет простой порядок.

Пусть $G$ --- конечная группа. Покажите, что существует фиксированное положительное целое число $n$ такое, что $a^n = e$ для всех $a$ из $G$. (Заметим, что $n$ не зависит от $a$.)

Определите решётку подгрупп для $\mathbb {Z}_{12}$. Обобщите на $\mathbb {Z}_{p^2 q}$, где $p$ и $q$ --- различные простые числа.

Определите решётку подгрупп для $\mathbb {Z}_8$. Обобщите на $\mathbb {Z}_{p^n}$, где $p$ --- простое, а $n$ --- некоторое положительное целое число.

Докажите, что конечная группа является объединением собственных подгрупп тогда и только тогда, когда группа нециклическая.

Покажите, что группа положительных рациональных чисел относительно умножения нециклическая. Почему отсюда следует, что группа ненулевых рациональных чисел относительно умножения нециклическая?

Рассмотрите множество $\left\{ 4, 8, 12, 16\right\}$. Покажите, построив таблицу Кэли, что это множество является группой относительно умножения по модулю 20. Каков нейтральный элемент? Является ли группа циклической? Если да, найдите все её образующие элементы.

Приведите пример группы, имеющей ровно 7 подгрупп (включая тривиальную подгруппу и саму группу). Обобщите на случай ровно $n$ подгрупп для любого положительного целого $n$.

Предположим, что $a$ и $b$ принадлежат группе $G$, $a$ и $b$ коммутируют, а $\left|a\right|$ и $\left|b\right|$ конечны. Каковы возможные значения $\left|ab\right|$?

Предположим, что $a$ и $b$ --- коммутирующие элементы группы. Если $\left|a\right|$ конечен, а $\left|b\right|$ бесконечен, докажите, что $\left|ab\right|$ бесконечен.

Для положительного целого $k$ и абелевой группы $G$ докажите, что $G^k = \left\{ x^k \mid x \in G\right\}$ есть подгруппа $G$. Если $G$ абелева и $\left|G\right| = 40$, докажите, что $G^3 = G$, $G^{15} = G^5$ и $G^{28} = G^4$. Обобщите на случай $\left|G\right| = n$ и произвольного положительного целого $k$.

Пусть $a$ принадлежит группе и $\left|a\right| = 100$. Найдите $\left|a^{98}\right|$ и $\left|a^{70}\right|$.

Пусть $F$ и $F'$ --- различные отражения в $D_{21}$. Каковы возможные значения $\left|FF'\right|$?

Предположим, что $H$ --- циклическая подгруппа группы $G$ и $\left|H\right| = 10$. Если $a$ принадлежит $G$ и $a^6$ принадлежит $H$, каковы возможные значения $\left|a\right|$?

Какие из следующих чисел могут быть точным числом элементов порядка 21 в группе: 21600, 21602, 21604?

Если $G$ --- бесконечная группа, что можно сказать о числе элементов порядка 8 в группе? Обобщите.

Если $G$ --- циклическая группа порядка $n$, докажите, что для каждого элемента $a$ из $G$ выполнено $a^n = e$.

Для каждого положительного целого $n$ докажите, что $\mathbb {C}^*$, группа ненулевых комплексных чисел относительно умножения, имеет ровно $\phi (n)$ элементов порядка $n$.

Докажите или опровергните, что $H = \left\{ n \in \mathbb {Z} \mid n \text{ делится и на } 8 \text{, и на } 10\right\}$ есть подгруппа $\mathbb {Z}$. Что произойдёт, если делится и на 8, и на 10'' заменить на делится на 8 или на 10''?

Предположим, что $G$ --- конечная группа со свойством, что каждый элемент, отличный от нейтрального, имеет простой порядок (например, $D_3$ и $D_5$). Если $Z(G)$ нетривиален, докажите, что каждый элемент $G$, отличный от нейтрального, имеет один и тот же порядок.

Докажите, что бесконечная группа должна иметь бесконечное число подгрупп.

Пусть $p$ --- простое число. Если группа имеет более $p - 1$ элементов порядка $p$, почему группа не может быть циклической?

Предположим, что $G$ --- циклическая группа и 6 делит $\left|G\right|$. Сколько элементов порядка 6 имеет $G$? Если 8 делит $\left|G\right|$, сколько элементов порядка 8 имеет $G$? Если $a$ --- один элемент порядка 8, перечислите остальные элементы порядка 8.

Перечислите все элементы $\mathbb {Z}_{40}$ порядка 10. Пусть $\left|x\right| = 40$. Перечислите все элементы порядка 10 в $\left\langle x\right\rangle$.

Переформулируйте следствие теоремы 4.4 так, чтобы оно включало случай, когда группа имеет бесконечный порядок.

(Напомним следствие теоремы 4.4 для конечных групп: в конечной группе число элементов порядка $d$ кратно $\phi (d)$.)

Определите порядки элементов $D_{33}$ и число элементов каждого порядка.

Проверяя, верно ли $\left\langle 2\right\rangle = U(25)$, объясните, почему достаточно проверить, что $2^{10} \neq 1$ и $2^4 \neq 1$.

Если $G$ --- абелева группа и содержит циклические подгруппы порядков 4 и 5, циклические подгруппы каких ещё порядков должна содержать $G$? Обобщите.

Если $G$ --- абелева группа и содержит циклические подгруппы порядков 4 и 6, циклические подгруппы каких ещё порядков должна содержать $G$? Обобщите.

Докажите, что ни одна группа не может иметь ровно два элемента порядка 2.

Пользуясь тем, что $U(49)$ циклическая и имеет 42 элемента, определите число образующих элементов $U(49)$, не находя ни одного из них.

Пусть $a$ и $b$ --- элементы группы. Если $\left|a\right| = 10$ и $\left|b\right| = 21$, покажите, что $\left\langle a\right\rangle \cap \left\langle b\right\rangle = \left\{ e\right\}$.

Пусть $a$ и $b$ принадлежат группе. Если $\left|a\right|$ и $\left|b\right|$ взаимно просты, покажите, что $\left\langle a\right\rangle \cap \left\langle b\right\rangle = \left\{ e\right\}$.

Пусть $a$ и $b$ принадлежат группе. Если $\left|a\right| = 24$ и $\left|b\right| = 10$, каковы возможные значения $\left| \left\langle a\right\rangle \cap \left\langle b\right\rangle \right|$?

Пусть $a$ и $b$ принадлежат группе. Если $\left|a\right| = 12$, $\left|b\right| = 22$ и $\left\langle a\right\rangle \cap \left\langle b\right\rangle \neq \left\{ e\right\}$, докажите, что $a^6 = b^{11}$.

Пусть $G$ --- абелева группа порядка 15. Докажите, что $G$ не может иметь 14 элементов порядка 3.

Докажите, что $\mathbb {Z}_n$ имеет чётное число образующих элементов, если $n > 2$. Что это говорит о $\phi (n)$?

Если $\left|a^5\right| = 12$, каковы возможные значения $\left|a\right|$? Если $\left|a^4\right| = 12$, каковы возможные значения $\left|a\right|$?

Предположим, что $\left|x\right| = n$. Найдите необходимое и достаточное условие на $r$ и $s$, при котором $\left\langle x^r\right\rangle \subseteq \left\langle x^s\right\rangle$.

Пусть $a$ --- элемент группы, такой что $\left|a\right| = 48$. В каждом пункте найдите делитель $k$ числа 48 такой, что

Найдите циклическую подгруппу порядка 4 в $D_{60}$ и нециклическую подгруппу порядка 4 в $D_{60}$.

Пусть $G$ --- абелева группа и $H = \left\{ x \in G \mid \left|x\right| \text{ нечётен}\right\}$. Докажите, что $H$ есть подгруппа $G$.

Пусть $G$ --- абелева группа и $H = \left\{ x \in G \mid \left|x\right| \text{ равно 1 или чётно}\right\}$. Приведите пример, показывающий, что $H$ не обязательно является подгруппой $G$.

Пусть $G$ --- группа и $H$ --- подгруппа $G$. Докажите, что $HZ(G) = \left\{ hz \mid h \in H,\ z \in Z(G)\right\}$ есть подгруппа $G$.

Для каждого целого $n$, большего 2, докажите, что группа $U(n^2 - 1)$ нециклическая.

Для каждого целого $n > 2$ покажите, что $U(n^2 - 1)$ имеет подгруппу порядка 4.

Докажите, что $U(2^n)$ ($n \geq 3$) нециклическая.

Докажите, что для любого простого $p$ и положительного целого $n$ выполнено $\phi (p^n) = p^n - p^{n-1}$.

Пусть $\phi$ --- функция Эйлера. Для любого положительного целого $n$ докажите, что $\left|U(\left|U(n)\right|)\right| = \phi (\phi (n))$.

Пусть $\phi$ --- функция Эйлера. Для каждого положительного целого $n$ докажите, что $n = \sum \phi (d)$, где суммирование ведётся по всем положительным делителям $d$ числа $n$.

Если $n$ --- чётное целое, докажите, что $\phi (2n) = 2\phi (n)$.

(Тренировочный экзамен GRE 2008 года) Если $x$ --- элемент циклической группы порядка 15 и ровно два из $x^3$, $x^5$ и $x^9$ равны, определите $\left|x^{13}\right|$.