Круговые расширения

Определите минимальный многочлен числа $\cos (\pi /3) + i\sin (\pi /3)$ над $\mathbb {Q}$.

Разложите $x^{12} - 1$ в произведение неприводимых многочленов над $\mathbb {Z}$.

Разложите $x^8 - 1$ в произведение неприводимых многочленов над $\mathbb {Z}_2$, $\mathbb {Z}_3$ и $\mathbb {Z}_5$.

Для любого $n > 1$ докажите, что сумма всех корней $n$-й степени из единицы равна $0$.

Для любого $n > 1$ докажите, что произведение корней $n$-й степени из единицы равно $(-1)^{n+1}$.

Пусть $\omega$ --- первообразный корень 12-й степени из единицы над $\mathbb {Q}$. Найдите минимальный многочлен для $\omega^4$ над $\mathbb {Q}$.

Пусть $F$ --- конечное расширение $\mathbb {Q}$. Докажите, что в $F$ содержится лишь конечное число корней из единицы.

Для любого $n > 1$ докажите, что неприводимое разложение над $\mathbb {Z}$ многочлена $x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1$ имеет вид $\prod \Phi_d(x)$, где произведение берётся по всем положительным делителям $d$ числа $n$, большим $1$.

Если $2^n + 1$ является простым для некоторого $n \ge 1$, докажите, что $n$ есть степень $2$. (Простые числа вида $2^n + 1$ называются простыми числами Ферма.)

Докажите, что $\Phi_n(0) = 1$ для всех $n > 1$.

Докажите, что если поле содержит корни $n$-й степени из единицы при нечётном $n$, то оно содержит и корни $2n$-й степени из единицы.

Пусть $m$ и $n$ --- взаимно простые положительные целые числа. Докажите, что поле разложения $x^{mn} - 1$ над $\mathbb {Q}$ совпадает с полем разложения $(x^m - 1)(x^n - 1)$ над $\mathbb {Q}$.

Докажите, что $\Phi_{2n}(x) = \Phi_n(-x)$ для всех нечётных целых $n > 1$.

Докажите, что если $p$ простое, а $k$ --- положительное целое число, то

Используйте это, чтобы найти $\Phi_8(x)$ и $\Phi_{27}(x)$.

Докажите утверждение, сделанное в доказательстве теоремы 31.5: существует цепочка подгрупп $H_0 \subset H_1 \subset \cdots \subset H_t$ с $\left|H_{i+1} : H_i\right| = 2$ при $i = 0, 1, 2, \ldots , t - 1$. (На это упражнение ссылаются в этой главе.)

Докажите, что $x^9 - 1$ и $x^7 - 1$ имеют изоморфные группы Галуа над $\mathbb {Q}$. (См. определение в упражнении 7 главы 30: если $K = F(a_1, \ldots , a_n)$ является полем разложения над $F$ многочлена $f(x)$, то $\operatorname {Gal}(K/F)$ называется группой Галуа многочлена $f(x)$.)

Пусть $p$ --- простое число, не делящее $n$. Докажите, что $\Phi_{pn}(x) = \Phi_n(x^p)/\Phi_n(x)$.

Докажите, что группы Галуа многочленов $x^{10} - 1$ и $x^8 - 1$ над $\mathbb {Q}$ не изоморфны.

Пусть $E$ --- поле разложения $x^5 - 1$ над $\mathbb {Q}$. Покажите, что существует единственное поле $K$ со свойством $\mathbb {Q} \subset K \subset E$.

Пусть $E$ --- поле разложения $x^6 - 1$ над $\mathbb {Q}$. Покажите, что не существует поля $K$ со свойством $\mathbb {Q} \subset K \subset E$.

Если $p > 2$ --- простое число вида $2m + 1$, докажите, что $m$ есть степень $2$.

Пусть $\omega = \cos (2\pi /15) - i\sin (2\pi /15)$. Найдите три элемента порядка $2$ группы $\operatorname {Gal}(\mathbb {Q}(\omega )/\mathbb {Q})$.