Введение в теорию Галуа

Пусть $E$ --- поле, содержащее $\mathbb {Q}$. Покажите, что любой автоморфизм $E$ действует тождественно на $\mathbb {Q}$. (На это упражнение есть ссылка в данной главе.)

Определите группу автоморфизмов поля $\operatorname {GF}(4)$.

Пусть $E$ --- расширение поля $F$. Покажите, что группа автоморфизмов $E$, оставляющих неподвижным $F$, действительно является группой. (На это упражнение есть ссылка в данной главе.)

Зная, что группа автоморфизмов $\mathbb {Q}(\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{7})$ изоморфна $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$, определите число подполей $\mathbb {Q}(\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{7})$, имеющих степень $4$ над $\mathbb {Q}$.

Пусть $E$ --- расширение поля $F$, а $H$ --- подгруппа $\operatorname {Gal}(E/F)$. Покажите, что неподвижное поле $H$ действительно является полем. (На это упражнение есть ссылка в данной главе.)

Пусть $E$ --- поле разложения $x^4 + 1$ над $\mathbb {Q}$. Найдите $\operatorname {Gal}(E/\mathbb {Q})$. Найдите все подполя $E$. Найдите автоморфизмы $E$, неподвижными полями которых являются $\mathbb {Q}(\sqrt{2})$, $\mathbb {Q}(\sqrt{-2})$ и $\mathbb {Q}(i)$. Существует ли автоморфизм $E$, неподвижным полем которого является $\mathbb {Q}$?

Пусть $f(x) \in F[x]$, а нули $f(x)$ равны $a_1, a_2, \ldots , a_n$. Если $K = F(a_1, a_2, \ldots , a_n)$, покажите, что $\operatorname {Gal}(K/F)$ изоморфна группе перестановок элементов $a_i$.

Покажите, что порядок группы Галуа многочлена степени $n$ делит $n!$.

Ссылаясь на пример 6, покажите, что автоморфизм $\phi$ имеет порядок $6$. Покажите, что $\omega + \omega^{-1}$ неподвижен относительно $\phi^3$, а $\omega^3 + \omega^5 + \omega^6$ неподвижен относительно $\phi^2$. (На это упражнение есть ссылка в данной главе.)

Пусть $E = \mathbb {Q}(\sqrt{2}, \sqrt{5})$. Каков порядок группы $\operatorname {Gal}(E/\mathbb {Q})$? Каков порядок $\operatorname {Gal}(\mathbb {Q}(\sqrt{10})/\mathbb {Q})$?

Пусть $F$ --- поле характеристики $0$, а $E$ --- поле разложения некоторого многочлена над $F$. Если $\operatorname {Gal}(E/F)$ изоморфна $\mathbb {Z}_{20} \oplus \mathbb {Z}_2$, определите число подполей $L$ поля $E$, содержащих $F$ и удовлетворяющих условиям

Определите группу Галуа $x^2 - 10x + 21$ над $\mathbb {Q}$. (Определение см. в упражнении 7.)

Определите группу Галуа $x^2 + 9$ над $\mathbb {R}$. (Определение см. в упражнении 7.)

Пусть $F$ --- поле характеристики $0$, а $E$ --- поле разложения некоторого многочлена над $F$. Если $\operatorname {Gal}(E/F)$ изоморфна $D_6$, докажите, что существует ровно три поля $L$ такие, что $E \supseteq L \supseteq F$ и $[E : L] = 6$.

Пусть $E$ --- поле разложения некоторого многочлена над $\operatorname {GF}(p)$. Если $\operatorname {Gal}(E/\operatorname {GF}(p)) = p^6$, сколько существует полей, строго лежащих между $E$ и $\operatorname {GF}(p)$?

Пусть $p$ --- простое число. Предположим, что $\left|\operatorname {Gal}(E/F)\right| = p^2$. Изобразите все возможные решётки подполей для полей между $E$ и $F$.

Пусть $F$ --- поле характеристики $0$, а $E$ --- поле разложения некоторого многочлена над $F$. Если $\operatorname {Gal}(E/F)$ изоморфна $A_4$, покажите, что не существует подполя $K$ поля $E$ такого, что $[K : F] = 2$.

Определите группу Галуа $x^3 = 1$ над $\mathbb {Q}$ и $x^3 - 2$ над $\mathbb {Q}$. (Определение см. в упражнении 7.)

Пусть $K$ --- поле разложения некоторого многочлена над полем $F$ характеристики $0$. Если $[K : F] = p^2q$, где $p$ и $q$ --- различные простые числа, покажите, что $K$ имеет подполя $L_1$, $L_2$ и $L_3$ такие, что $[K : L_1] = p$, $[K : L_2] = p^2$ и $[K : L_3] = q$.

Пусть $E$ --- поле разложения некоторого многочлена над полем $F$ характеристики $0$. Если $\operatorname {Gal}(E/F)$ изоморфна $D_5$, изобразите решётку подполей для полей между $E$ и $F$.

Пусть $F \subset K \subset E$ --- поля и $E$ является полем разложения некоторого многочлена из $F[x]$. Покажите на примере, что $K$ не обязано быть полем разложения некоторого многочлена из $F[x]$.

Пусть $E$ --- поле разложения некоторого многочлена над полем $F$ характеристики $0$. Если $[E : F]$ конечно, покажите, что между $E$ и $F$ имеется лишь конечное число полей.

Пусть $E$ --- поле разложения некоторого многочлена над полем $F$ характеристики $0$. Если $\operatorname {Gal}(E/F)$ --- абелева группа порядка $10$, изобразите решётку подполей для полей между $E$ и $F$.

Пусть $\omega$ --- невещественное комплексное число такое, что $\omega^5 = 1$. Если $\phi$ --- автоморфизм $\mathbb {Q}(\omega )$, переводящий $\omega$ в $\omega^4$, найдите неподвижное поле $\left\langle \phi \right\rangle$.

Определите класс изоморфизма группы $\operatorname {Gal}(\operatorname {GF}(64)/ \operatorname {GF}(2))$.

Определите класс изоморфизма группы $\operatorname {Gal}(\operatorname {GF}(729)/ \operatorname {GF}(9))$.

На упражнения 27, 28 и 29 есть ссылки в данной главе.

Покажите, что $S_5$ неразрешима.

Покажите, что диэдральные группы разрешимы.

Покажите, что группа порядка $p^n$, где $p$ простое, разрешима.

Покажите, что $S_n$ разрешима при $n \le 4$.

Завершите доказательство теоремы 30.3, показав, что данный ряд групп удовлетворяет определению разрешимости.

Покажите, что подгруппа разрешимой группы разрешима.

Пусть $N$ --- нормальная подгруппа $G$, а $K/N$ --- нормальная подгруппа $G/N$. Докажите, что $K$ является нормальной подгруппой $G$. (На это упражнение есть ссылка в данной главе.)

Покажите, что любой автоморфизм $\operatorname {GF}(p^n)$ действует тождественно на $\operatorname {GF}(p)$.

Если $G$ --- конечная разрешимая группа, покажите, что существуют подгруппы $G$

такие, что $H_{i+1}/H_i$ имеет простой порядок.

Покажите, что многочлен $x^5 - 6x + 3$ над $\mathbb {Q}$ неразрешим в радикалах.