Конечные группы; подгруппы

Для каждой группы из следующего списка найдите порядок группы и порядок каждого её элемента. Какое соотношение вы видите между порядками элементов группы и порядком самой группы?

Пусть $\mathbb {Q}$ --- группа рациональных чисел относительно сложения, а $\mathbb {Q}^*$ --- группа ненулевых рациональных чисел относительно умножения. Перечислите элементы $\left\langle \frac{1}{2}\right\rangle$ в $\mathbb {Q}$ и в $\mathbb {Q}^*$.

Пусть $\mathbb {Q}$ и $\mathbb {Q}^*$ определены как в упражнении 3.2. Найдите порядок каждого элемента в $\mathbb {Q}$ и в $\mathbb {Q}^*$.

Для каждого элемента группы $a$ докажите, что $\left|a\right| = \left|a^{-1}\right|$.

Пусть $a$ принадлежит группе и $\left|a\right| = m$. Если $n$ взаимно просто с $m$, покажите, что $a$ можно представить как $n$-ю степень некоторого элемента группы.

Приведите пример группы $G$ относительно сложения, имеющей непустое подмножество $H$, замкнутое относительно групповой операции,, которое не является подгруппой $G$. Сделайте то же самое для группы $G$ относительно умножения.

Не вычисляя порядков, объясните, почему два элемента в каждой из следующих пар элементов $\mathbb {Z}_{30}$ должны иметь одинаковый порядок: $\left\{ 2, 28\right\}$, $\left\{ 8, 22\right\}$. Сделайте то же самое для пар элементов $U(15)$: $\left\{ 2, 8\right\}$, $\left\{ 7, 13\right\}$.

В группе $\mathbb {Z}_{12}$ найдите $\left|a\right|$, $\left|b\right|$ и $\left|a+b\right|$ в каждом случае.

Если $a$, $b$ и $c$ --- элементы группы, $\left|a\right| = 6$, $\left|b\right| = 7$, выразите $(a^4c^{-2}b^4)^{-1}$ без отрицательных показателей степени.

Известно, что $\left\{ e, a, a^2, b, ab, a^2b\right\}$ --- группа, в которой $\left|a\right| = 3$, $\left|b\right| = 2$ и $ba = a^2b$. Определите, каким из шести элементов являются $aba^2$ и $a^2bab$.

Найдите неабелеву подгруппу порядка $6$ в $D_6$.

Является ли $K = \left\{ x^2 \mid x \in D_4\right\}$ подгруппой $D_4$? Является ли $K = \left\{ x^3 \mid x \in D_3\right\}$ подгруппой $D_3$? А в $D_6$?

Что можно сказать о подгруппе $D_4$, содержащей $R_{270}$ и отражение? Что можно сказать о подгруппе $D_4$, содержащей $H$ и $D$? Что можно сказать о подгруппе $D_4$, содержащей $H$ и $V$?

Сколько подгрупп порядка $4$ имеет $D_4$?

Определите все элементы конечного порядка в $\mathbb {R}^*$, группе ненулевых действительных чисел относительно умножения.

Дополните утверждение: «Элемент группы $x$ обратен самому себе тогда и только тогда, когда $\left|x\right| =$ .»

Для любых элементов группы $a$ и $x$ докажите, что $\left|xax^{-1}\right| = \left|a\right|$. На это упражнение имеется ссылка в главе 23.

Докажите, что если $a$ --- единственный элемент порядка $2$ в группе, то $a$ принадлежит центру группы.

Докажите, что ни одна группа не является объединением двух собственных подгрупп. Остаётся ли утверждение верным, если заменить слово «двух» словом «трёх»?

Пусть $G$ --- группа и $n$ --- нечётное положительное целое число, такое что $x^n = e$ для всех $x$ из $G$. Если $a$ и $b$ принадлежат $G$ и $a^2 = b^2$, докажите, что $a = b$.

Для каждого делителя $k > 1$ числа $n$ положим $U_k(n) = \left\{ x \in U(n) \mid x \bmod k = 1\right\}$. Перечислите элементы $U_4(20)$, $U_5(20)$, $U_5(30)$ и $U_{10}(30)$. Докажите, что $U_k(n)$ является подгруппой $U(n)$. (На это упражнение имеется ссылка в главе 8.)

Пусть $a$ --- элемент группы и $a^6 = e$. Каковы возможные значения $\left|a\right|$? Обоснуйте свой ответ.

Если $a$ --- элемент группы бесконечного порядка, докажите, что $a^m \neq a^n$ при $m \neq n$.

Для любых элементов группы $a$ и $b$ докажите, что $\left|ab\right| = \left|ba\right|$. Объясните, почему отсюда следует, что $\left|abab\right| = \left|baba\right|$. Верно ли, что $\left|aba\right| = \left|bab\right|$?

Если $A$ принадлежит $\operatorname {GL}(2, \mathbb {R})$ и $\left|A\right|$ конечно, что можно сказать о $\det A$?

Пусть $a$ и $b$ --- элементы группы и $\left|b\right| = 4$. Если $a^n = b$, найдите положительное целое число $k$, такое что $a^{-1} = a^k$.

Покажите, что $U(14) = \left\langle 3\right\rangle = \left\langle 5\right\rangle$. Верно ли, что $U(14) = \left\langle 11\right\rangle$? Покажите, что $U(20) \neq \left\langle k\right\rangle$ ни для какого $k$ из $U(20)$.

Пусть $n$ --- чётное положительное целое число, а $H$ --- подгруппа $\mathbb {Z}_n$. Докажите, что либо все элементы $H$ чётны, либо ровно половина элементов $H$ чётна.

Пусть $n$ --- чётное положительное целое число, а $H$ --- подгруппа $\mathbb {Z}_n$ нечётного порядка. Докажите, что каждый элемент $H$ является чётным целым числом.

Докажите, что для каждой подгруппы $D_n$ либо все её элементы являются поворотами, либо ровно половина её элементов является поворотами.

Пусть $H$ --- подгруппа $D_n$ нечётного порядка. Докажите, что каждый элемент $H$ является поворотом.

Докажите, что группа с двумя коммутирующими элементами порядка $2$ должна иметь подгруппу порядка $4$.

Для каждого чётного целого $n$ покажите, что $D_n$ имеет подгруппу порядка $4$.

Пусть $H$ --- собственная подгруппа $\mathbb {Z}$ относительно сложения, содержащая $18$, $30$ и $40$. Определите $H$.

Пусть $H$ --- собственная подгруппа $\mathbb {Z}$ относительно сложения, содержащая $12$, $30$ и $54$. Каковы возможные значения $H$?

Пусть $H$ --- подгруппа $\mathbb {Z}$ относительно сложения, содержащая $250$ и $350$. Каковы возможные значения $H$?

Докажите, что группа диэдра порядка $6$ не имеет подгруппы порядка $4$.

Если $H$ и $K$ --- подгруппы $G$, покажите, что $H \cap K$ является подгруппой $G$. (Видите ли вы, что то же доказательство показывает: пересечение любого числа подгрупп $G$, конечного или бесконечного, также является подгруппой $G$?)

Пусть $H_1$ и $H_2$ --- подгруппы $D_n$ порядка $4$. Какой подгруппой является $H_1 \cap H_2$?

Сколько подгрупп порядка $6$ имеет $D_6$? Сколько таких подгрупп имеет $D_{12}$? Обобщите результат на $D_n$, где $n$ --- положительное целое, кратное $6$.

Пусть $G$ --- группа. Покажите, что $Z(G) = \bigcap_{a \in G} C(a)$.

Напомним, что $Z(G) = \left\{ a \in G \mid ax = xa \text{ для всех } x \text{ из } G\right\}$ есть центр $G$, а для $a \in G$ централизатор $C(a) = \left\{ g \in G \mid ga = ag\right\}$ есть множество всех элементов, коммутирующих с $a$.

Пусть $G$ --- группа и $a \in G$. Докажите, что $C(a) = C(a^{-1})$.

Для любого элемента группы $a$ и любого целого $k$ покажите, что $C(a) \subseteq C(a^k)$. Используйте этот факт, чтобы дополнить утверждение: «В группе, если $x$ коммутирует с $a$, то .» Верно ли обратное?

Если $a$ и $b$ --- различные элементы группы, докажите, что либо $a^2 \neq b^2$, либо $a^3 \neq b^3$.

Пусть $S$ --- подмножество группы, а $H$ --- пересечение всех подгрупп $G$, содержащих $S$.

В группе $\mathbb {Z}$ найдите

Докажите теорему 3.6.

Теорема 3.6 («$C(a)$ является подгруппой») утверждает: для каждого $a$ в группе $G$ централизатор $a$, $C(a) = \left\{ g \in G \mid ga = ag\right\}$, является подгруппой $G$.

Если $H$ --- подгруппа $G$, то под централизатором $C(H)$ подгруппы $H$ понимается множество $\left\{ x \in G \mid xh = hx \text{ для всех } h \in H\right\}$. Докажите, что $C(H)$ является подгруппой $G$.

Обязан ли централизатор элемента группы быть коммутативным? Обязан ли центр группы быть коммутативным?

Пусть $a$ принадлежит группе и $\left|a\right| = 5$. Докажите, что $C(a) = C(a^3)$. Найдите элемент $a$ некоторой группы, такой что $\left|a\right| = 6$ и $C(a) \neq C(a^3)$.

Пусть $G$ --- коммутативная группа с нейтральным элементом $e$, а $n$ --- фиксированное целое число. Докажите, что множество всех элементов $G$, удовлетворяющих $x^n = e$, является подгруппой $G$. Приведите пример группы $G$, в которой множество всех элементов, удовлетворяющих $x^2 = e$, не образует подгруппу $G$. (На это упражнение имеется ссылка в главе 11.)

В каждом случае найдите элементы $a$ и $b$ некоторой группы, такие что $\left|a\right| = \left|b\right| = 2$ и

Рассмотрим элемент $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ из $\operatorname {SL}(2, \mathbb {R})$. Каков порядок $A$? Если рассматривать $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ как элемент $\operatorname {SL}(2, \mathbb {Z}_p)$, где $p$ простое, каков порядок $A$?

Рассмотрим элементы $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ и $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$ из $\operatorname {SL}(2, \mathbb {R})$. Найдите $\left|A\right|$, $\left|B\right|$ и $\left|AB\right|$. Удивляет ли вас ответ?

Пусть $a$ --- элемент группы порядка $n$, а $d$ --- положительный делитель $n$. Докажите, что $\left|a^d\right| = n/d$.

Приведите пример элементов $a$ и $b$ группы, таких что $a$ имеет конечный порядок, $b$ --- бесконечный порядок, а $ab$ --- конечный порядок.

Докажите, что группа чётного порядка должна иметь нечётное число элементов порядка $2$.

Для любого положительного целого $n$ и любого угла $\theta$ покажите, что в группе $\operatorname {SL}(2, \mathbb {R})$

Используйте эту формулу, чтобы найти порядок

(Геометрически $\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ задаёт поворот плоскости на $\theta$ градусов.)

Пусть $G$ --- группа симметрий окружности. Покажите, что $G$ имеет элементы каждого конечного порядка, а также элементы бесконечного порядка.

В группе $\mathbb {R}^*$ найдите элементы $a$ и $b$, такие что $\left|a\right| = \infty$, $\left|b\right| = \infty$ и $\left|ab\right| = 2$.

Пусть $G$ --- группа симметрий окружности. Объясните, почему $G$ содержит $D_n$ при всех $n$.

Пусть $G$ --- группа симметрий окружности. Используйте факт планиметрии: если отражения $F$ и $F'$ пересекаются под углом $\theta$ градусов, то $FF'$ есть поворот на $2\theta$ градусов; найдите отражения $F$ и $F'$, такие что $FF'$ имеет бесконечный порядок.

Пусть $H$ --- подгруппа конечной группы $G$. Предположим, что $g \in G$, а $n$ --- наименьшее положительное целое число, для которого $g^n \in H$. Докажите, что $n$ делит $\left|g\right|$.

Вычислите порядки следующих групп.

Пусть $\mathbb {R}^*$ --- группа ненулевых действительных чисел относительно умножения, а

. Приведите пример иррационального числа из $H$. Докажите, что $H$ --- подгруппа $\mathbb {R}^*$. Можно ли заменить показатель $2$ любым положительным целым числом, сохранив это свойство? Если

, где $n$ может зависеть от $x$, остаётся ли ваше доказательство того, что $H$ --- подгруппа, верным?

Найдите нециклическую подгруппу порядка $4$ в $U(40)$.

Пусть $a$ --- элемент группы и $a^m = e$. Докажите, что $\left|a\right|$ делит $m$.

Пусть $G$ --- коммутативная группа и $H = \left\{ x \in G \mid x^n = e \text{ для некоторого нечётного целого } n\right\}$, где $n$ может зависеть от $x$. Докажите, что $H$ --- подгруппа $G$.

Пусть $G$ --- коммутативная группа и $H = \left\{ x \in G \mid \left|x\right| \text{ равно } 1 \text{ или чётно}\right\}$. Приведите пример, показывающий, что $H$ не обязательно является подгруппой $G$.

Докажите, что $H = \left\{ x \in \mathbb {C}^* \mid x^n = \pm 1 \text{ для некоторого целого } n\right\}$, где $n$ может зависеть от $x$, является подгруппой ненулевых комплексных чисел относительно умножения. Пусть $K$ --- произвольная подгруппа $\mathbb {C}^*$. Работает ли ваше рассуждение, если условие $x^n = \pm 1$ заменить условием $x^n \in K$?

Пусть $G$ --- группа, $H$ --- подгруппа $G$. Для фиксированного $x \in G$ положим $xHx^{-1} = \left\{ xhx^{-1} \mid h \in H\right\}$. Докажите:

Пусть $G = \operatorname {GL}(2, \mathbb {R})$ и $H = \left\{ A \in G \mid \det A \text{ является положительным рациональным числом}\right\}$. Докажите, что $H$ --- подгруппа $G$.

Покажите, что множество всех рациональных чисел, которые в несократимом виде имеют нечётные числитель и знаменатель, является подгруппой $\mathbb {Q}^*$ относительно умножения.

Пусть $H = \left\{ A \in \operatorname {GL}(2, \mathbb {R}) \mid \det A \text{ есть целая степень } 2\right\}$. Покажите, что $H$ --- подгруппа $\operatorname {GL}(2, \mathbb {R})$.

Пусть $H$ --- подгруппа $\mathbb {R}$ относительно сложения. Положим $K = \left\{ 2^a \mid a \in H\right\}$. Докажите, что $K$ --- подгруппа $\mathbb {R}^*$ относительно умножения.

Пусть $G$ --- группа функций из $\mathbb {R}^*$ в $\mathbb {R}^*$, в которой групповой операцией является умножение функций. Положим $H = \left\{ f \in G \mid f(2) = 1\right\}$. Докажите, что $H$ является подгруппой $G$. Можно ли заменить $2$ любым вещественным числом?

Пусть $G = \operatorname {GL}(2, \mathbb {R})$ и $H = \left\{ \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix} \mid a \text{ и } b \text{ --- ненулевые целые числа}\right\}$, где операцией служит умножение матриц. Докажите или опровергните, что $H$ является подгруппой $\operatorname {GL}(2, \mathbb {R})$.

Для любого нечётного целого $n > 3$ приведите два примера групп, имеющих ровно $n$ элементов порядка $2$.

Пусть $H = \left\{ a + bi \mid a, b \in \mathbb {R}, a^2 + b^2 = 1\right\}$. Докажите или опровергните, что $H$ является подгруппой $\mathbb {C}^*$ относительно умножения. Геометрически опишите элементы $H$.

Пусть $G$ --- конечная коммутативная группа, а $a$ и $b$ принадлежат $G$. Докажите, что множество $\left\langle a,b\right\rangle = \left\{ a^ib^j \mid i,j \in \mathbb {Z}\right\}$ является подгруппой $G$. Что можно сказать о $\left| \left\langle a,b\right\rangle \right|$ в терминах $\left|a\right|$ и $\left|b\right|$?

Пусть $n$ --- целое число, большее $1$. Найдите подгруппу порядка $4$ в $U(4n)$. Является ли найденная подгруппа циклической?

Приведите пример, показывающий, что если $H$ и $K$ --- подгруппы группы $G$, то множество $HK = \left\{ hk \mid h \in H, k \in K\right\}$ не обязано быть подгруппой $G$.

Найдите пример группы с элементами $a$ и $b$, для которых $\left|a\right| = 2$, $\left|b\right| = 10$ и $\left|ab\right| = 2$.

Если $p$ --- нечётное простое число, а $n$ --- положительное целое число, докажите, что $p^n - 1$ является единственным элементом порядка $2$ в $U(p^n)$.

Если $n$ --- целое число, не меньшее $3$, докажите, что $2^n - 1$ и $2^{n-1} \pm 1$ являются единственными элементами порядка $2$ в $U(2^n)$.

В пунктах a и b приведите примеры конечной и бесконечной групп, для каждой из которых данное множество является собственной подгруппой. В пунктах c и d приведите конечные примеры.

Пусть $H$ --- подгруппа группы $G$. Докажите, что множество $HZ(G) = \left\{ hz \mid h \in H, z \in Z(G)\right\}$ является подгруппой $G$. На это упражнение имеется ссылка в данной главе.

Если $H$ и $K$ --- нетривиальные подгруппы рациональных чисел относительно сложения, докажите, что $H \cap K$ нетривиальна.

Пусть $H$ --- нетривиальная подгруппа группы рациональных чисел относительно сложения. Докажите, что у $H$ есть нетривиальная собственная подгруппа.

Докажите, что группа порядка $n > 2$ не может иметь подгруппу порядка $n - 1$.

Пусть $G$ --- конечная группа, а $x$ --- элемент $G$. Дайте вероятностную интерпретацию $\left|C(x)\right|/\left|G\right|$. Докажите, что вероятность того, что любые два случайно выбранных элемента (они могут совпадать) из $D_4$ коммутируют, больше $.5$. Какова вероятность того, что любые два элемента из $D_8$ коммутируют?

Пусть $G$ --- конечная группа, содержащая более одного элемента. Покажите, что в $G$ есть элемент простого порядка.