Симметрия и подсчёт

Определите число способов раскрасить четыре вершины квадрата двумя цветами. (Разрешается раскрасить все четыре вершины одним цветом.)

Определите число различных ожерелий, которые можно составить из 13 белых и 3 чёрных бусин.

Определите число способов раскрасить вершины равностороннего треугольника пятью цветами так, чтобы использовались по меньшей мере два цвета.

Молекулу бензола можно моделировать как шесть атомов углерода, расположенных в вершинах правильного шестиугольника в плоскости. К каждому атому углерода может быть присоединён один из трёх радикалов: $\mathrm{NH_{2}}$, $\mathrm{COOH}$ или $\mathrm{OH}$. Сколько таких соединений возможно? (Не различайте одинарные и двойные связи между атомами.)

Предположим, что в упражнении 4 для радикалов разрешены только $\mathrm{NH_{2}}$ и $\mathrm{COOH}$. Сколько соединений возможно?

Определите число способов раскрасить грани правильного додекаэдра (правильного 12-гранника) тремя цветами.

Определите число способов раскрасить рёбра квадрата шестью цветами так, чтобы ни один цвет не использовался более чем для одного ребра.

Определите число способов раскрасить рёбра квадрата шестью цветами без ограничения на число использований одного цвета.

Определите число различных ожерелий из 11 бусин, которые можно составить, используя два цвета.

Определите число способов раскрасить грани куба тремя цветами.

Предположим, что торт разрезан на шесть одинаковых кусков. Сколькими способами можно раскрасить торт $n$ цветами, если каждый кусок получает один цвет?

Сколькими способами можно раскрасить пять вершин пятиконечной короны, если имеются три цвета краски?

Пусть $G$ --- конечная группа, а $\operatorname {sym}(G)$ --- группа всех перестановок на $G$. Для каждого $g$ из $G$ пусть $\phi_{g}$ обозначает элемент $\operatorname {sym}(G)$, заданный равенством $\phi_{g}(x) = gxg^{-1}$ для всех $x$ из $G$. Покажите, что $G$ действует на себе посредством действия $g \to \phi_{g}$. Приведите пример, в котором отображение $g \to \phi_{g}$ не является инъективным.

Пусть $G$ --- конечная группа, $H$ --- подгруппа $G$, а $S$ --- множество левых смежных классов $H$ в $G$. Для каждого $g$ из $G$ пусть $\gamma_{g}$ обозначает элемент $\operatorname {sym}(S)$, заданный равенством $\gamma_{g}(xH) = gxH$. Покажите, что $G$ действует на $S$ посредством действия $g \to \gamma_{g}$.

Для данного квадрата пусть $L_{1}$ --- серединный перпендикуляр к верхней и нижней сторонам квадрата, а $L_{2}$ --- серединный перпендикуляр к левой и правой сторонам. Покажите, что $D_{4}$ действует на $\left\{ L_{1}, L_{2}\right\}$, и определите ядро отображения $g \to \gamma_{g}$.