Группы симметрий

Покажите, что изометрия $\mathbb {R}^{n}$ инъективна.

Покажите, что параллельные переносы $\mathbb {R}^{n}$ образуют группу.

Приведите плоскую фигуру, группа плоских симметрий которой равна $\mathbb {Z}_{5}$.

Покажите, что группа вращений трёхгранной призмы в $\mathbb {R}^{3}$ (то есть призмы с равносторонними основаниями, как на следующем рисунке) изоморфна $D_{3}$.

Каков порядок полной группы симметрий трёхгранной призмы в $\mathbb {R}^{3}$?

Каков порядок группы симметрий четырёхгранной призмы в $\mathbb {R}^{3}$ (прямоугольного параллелепипеда с квадратными основаниями, не являющегося кубом)?

Каков порядок группы симметрий $n$-гранной призмы в $\mathbb {R}^{3}$?

Покажите, что группа симметрий в $\mathbb {R}^{3}$ прямоугольного параллелепипеда с размерами $2''\times 3''\times 4''$ изоморфна $\mathbb {Z}_{2}\oplus \mathbb {Z}_{2}\oplus \mathbb {Z}_{2}$.

Опишите группу симметрий отрезка, рассматриваемого как

(Из колонки ``Ask Marilyn'' журнала Parade Magazine от 11 декабря 1994 года.) Буквы алфавита можно разделить на следующие категории:

1. FGJLNPQRSZ

2. BCDEK

3. AMTUVWY

4. HIOX По какому признаку определены эти категории?

Сколько в точности элементов порядка $4$ имеет группа из примера 1?

Почему инверсия не перечислена среди четырёх видов изометрий в $\mathbb {R}^{2}$?

Объясните, почему инверсия относительно точки в $\mathbb {R}^{3}$ не может быть осуществлена вращением в $\mathbb {R}^{3}$.

Отражением относительно прямой $L$ в $\mathbb {R}^{3}$ называется изометрия, переводящая каждую точку $Q$ в точку $Q'$ так, что $L$ является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему $Q$ и $Q'$. Опишите вращение, оказывающее то же действие.

В $\mathbb {R}^{2}$ вращение оставляет неподвижной точку; в $\mathbb {R}^{3}$ вращение оставляет неподвижной прямую. Что оставляет неподвижным вращение в $\mathbb {R}^{4}$? Обобщите эти наблюдения на $\mathbb {R}^{n}$.

Покажите, что изометрия плоскости сохраняет углы.

Покажите, что изометрия плоскости полностью определяется образами трёх неколлинеарных точек.

Предположим, что изометрия плоскости оставляет неподвижными три неколлинеарные точки. Что это за изометрия?

Предположим, что изометрия плоскости оставляет неподвижной ровно одну точку. Какого типа должна быть эта изометрия?

Пусть $A$ и $B$ --- повороты на $180^{\circ }$ вокруг точек $a$ и $b$ соответственно. Что представляет собой преобразование $A$, за которым следует $B$? Как составное движение связано с точками $a$ и $b$?