Образующие и соотношения

Пусть $S$ --- множество различных символов. Покажите, что отношение, определённое в этой главе на $W(S)$, является отношением эквивалентности.

Пусть $n$ --- чётное целое число. Докажите, что $D_{n}/Z(D_{n})$ изоморфна $D_{n/2}$.

Проверьте, что множество $K$ из примера 2 замкнуто относительно умножения слева на $b$.

Покажите, что $\left\langle a, b \mid a^{5} = b^{2} = e, ba = a^{2}b\right\rangle$ изоморфна $\mathbb {Z}_{2}$.

Докажите теорему 25.3 (теорему Дика) и её следствие. Теорема 25.3: пусть

и

. Тогда $\bar{G}$ является гомоморфным образом $G$. Следствие (наибольшая группа, удовлетворяющая определяющим соотношениям): если $K$ --- группа, удовлетворяющая определяющим соотношениям конечной группы $G$, и $\left|K\right| \geq \left|G\right|$, то $K$ изоморфна $G$.

Пусть $G$ --- группа $\left\{ \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\right\}$ с умножением, определённым как в упражнении 54 главы 9 (то есть $i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1$, $ij=k$, $jk=i$, $ki=j$, $ji=-k$, $kj=-i$, $ik=-j$). Покажите, что $G$ изоморфна $\left\langle a, b \mid a^{2} = b^{2} = (ab)^{2}\right\rangle$. (Отсюда и название «кватернионы».)

В любой группе покажите, что $\left\langle a, b\right\rangle = \left\langle a, ab\right\rangle$. (На это упражнение ссылаются в доказательстве теоремы 25.5.)

Пусть $\alpha = (12)(34)$ и $\beta = (24)$. Покажите, что группа, порождённая $\alpha$ и $\beta$, изоморфна $D_{4}$.

Докажите, что $G = \left\langle x, y \mid x^{2} = y^{n} = e, xyx = y^{-1}\right\rangle$ изоморфна $D_{n}$. (На это упражнение ссылаются в доказательстве теоремы 25.5.)

Каково минимальное число образующих, необходимое для $\mathbb {Z}_{2} \oplus \mathbb {Z}_{2} \oplus \mathbb {Z}_{2}$? Найдите задание этой группы образующими и соотношениями.

Предположим, что $x^{2} = y^{2} = e$ и $yz = zxy$. Покажите, что $xy = yx$.

Пусть $G = \left\langle a, b \mid a^{2} = b^{4} = e, ab = b^{3}a\right\rangle$.

Пусть $G = \left\langle a, b \mid a^{2} = b^{2} = (ab)^{2}\right\rangle$.

Пусть $G$ --- группа, заданная следующей таблицей. Покажите, что $G$ изоморфна $D_{n}$.

Пусть $G = \left\langle x, y \mid x = (xy)^{3}, y = (xy)^{4}\right\rangle$. Какой известной группе изоморфна $G$?

Пусть $G = \left\langle z \mid z^{6} = 1\right\rangle$ и $H = \left\langle x, y \mid x^{2} = y^{3} = 1, xy = yx\right\rangle$. Покажите, что $G$ и $H$ изоморфны.

Пусть $G = \left\langle x, y \mid x^{8} = y^{2} = e, yxyx^{3} = e\right\rangle$. Покажите, что $\left|G\right| \leq 16$. Предполагая, что $\left|G\right| = 16$, найдите центр $G$ и порядок $xy$.

Докажите, что каждый элемент $Q_{6}$, дициклической группы порядка 12, определённой в этой главе, можно записать в виде $a^{i}$ или $a^{i}b$, где $0 \leq i < 6$, и что $a^{3} = b^{2}$ есть единственный элемент порядка 2.

Докажите, что каждый элемент $Q_{6}$, дициклической группы порядка 12, определённой в этой главе, можно записать в виде $a^{i}$ или $a^{i}b$, где $0 \leq i < 6$, и что $a^{3} = b^{2}$ есть единственный элемент порядка 2.

Пусть $G = \left\langle s, t \mid sts = tst\right\rangle$. Покажите, что перестановки $(23)$ и $(13)$ удовлетворяют определяющим соотношениям $G$. Объясните, почему отсюда следует, что $G$ неабелева.

В $D_{12} = \left\langle x, y \mid x^{2} = y^{12} = e, xyx = y^{-1}\right\rangle$ докажите, что подгруппа $H = \left\langle x, y^{3}\right\rangle$ (изоморфная $D_{4}$) не является нормальной подгруппой.

Пусть $G = \left\langle x, y \mid x^{2n} = e, x^{n} = y^{2}, y^{-1}xy = x^{-1}\right\rangle$. Покажите, что $Z(G) = \left\{ e, x^{n}\right\}$. Предполагая, что $\left|G\right| = 4n$, покажите, что $G/ZG)$ изоморфна $D_{n}$. (Группа $G$ называется дициклической группой порядка $4n$.)

Пусть $G = \left\langle a, b \mid a^{6} = b^{3} = e, b^{-1}ab = a^{3}\right\rangle$. Сколько элементов имеет $G$? Какой известной группе изоморфна $G$?

Пусть $G = \left\langle x, y \mid x^{4} = y^{4} = e, xyxy^{-1} = e\right\rangle$. Покажите, что $\left|G\right| \leq 16$. Предполагая, что $\left|G\right| = 16$, найдите центр $G$ и покажите, что $G/ \left\langle y^{2}\right\rangle$ изоморфна $D_{4}$.

Определите порядки элементов $D_{\infty }$.

Пусть $G = \left\langle 1 \; a \; b, \; 0 \; 1 \; c, \; 0 \; 0 \; 1 \mid a, b, c \in \mathbb {Z}_{2}\right\rangle$, то есть группа верхнетреугольных матриц размера $3 \times 3$

относительно умножения матриц. Докажите, что $G$ изоморфна $D_{4}$.

Пусть $G = \left\langle a, b, c, d \mid ab = c, bc = d, cd = a, da = b\right\rangle$. Определите $\left|G\right|$.

Пусть $G = \left\langle a, b \mid a^{2} = e, b^{2} = e, aba = bab\right\rangle$. Какой известной группе изоморфна $G$?

Пусть $G = \left\langle a, b \mid a^{3} = e, b^{2} = e, aba^{-1}b^{-1} = e\right\rangle$. Какой известной группе изоморфна $G$?

Приведите пример неабелевой группы, имеющей ровно три элемента конечного порядка.

Ссылаясь на пример 7 этой главы, выпишите как можно больше букв, эквивалентных $\theta$.

Предположим, что группа порядка 8 имеет ровно пять элементов порядка 2. Определите группу.