Конечные простые группы

Докажите, что не существует простой группы порядка $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Докажите, что не существует простой группы порядка $280 = 2^{3} \cdot 5 \cdot 7$.

Докажите, что не существует простой группы порядка $216 = 2^{3} \cdot 3^{3}$.

Докажите, что не существует простой группы порядка $300 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}$.

Докажите, что не существует простой группы порядка $525 = 3 \cdot 5^{2} \cdot 7$.

Докажите, что не существует простой группы порядка $315 = 3^{2} \cdot 5 \cdot 7$.

Докажите, что не существует простой группы порядка $528 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 11$.

Докажите, что не существует простой группы порядка $540 = 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5$.

Докажите, что не существует простой группы порядка $396 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 11$.

Докажите, что не существует простой группы порядка $n$, где $201 \leq n \leq 235$ и $n$ не является простым числом.

Не используя обобщённую теорему Кэли или её следствия, докажите, что не существует простой группы порядка 112.

Используя простоту $A_{n}$ при $n \geq 5$, докажите, что при $n \geq 5$ группа $A_{n}$ является единственной подгруппой индекса 2 в $S_{n}$.

Используя простоту $A_{n}$ при $n \geq 5$, докажите, что при $n \geq 5$ группа $A_{n}$ является собственной подгруппой наибольшего порядка в $A_{n+1}$.

Покажите, что не существует простой группы порядка $pqr$, где $p$, $q$ и $r$ --- простые числа ($p$, $q$ и $r$ не обязательно различны).

Покажите, что $A_{5}$ не содержит подгруппы порядка 30, 20 или 15.

Докажите, что $A_{6}$ не имеет подгруппы порядка 120, 90 или 72.

Докажите, что не существует простой группы порядка $120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$. (На это упражнение ссылаются в этой главе.)

Докажите, что если $G$ --- конечная группа и $H$ --- собственная нормальная подгруппа наибольшего порядка, то $G/H$ проста.

Предположим, что $H$ --- подгруппа конечной группы $G$ и что $\left|H\right|$ и $(\left[G : H\right] - 1)!$ взаимно просты. Докажите, что $H$ нормальна в $G$. Что это говорит о подгруппе индекса 2 в конечной группе?

Предположим, что $p$ --- наименьшее простое число, делящее $\left|G\right|$. Покажите, что любая подгруппа индекса $p$ в $G$ нормальна в $G$.

Докажите, что единственная нетривиальная собственная нормальная подгруппа $S_{5}$ есть $A_{5}$. (На это упражнение ссылаются в главе 30.)

Докажите, что простая группа порядка 60 имеет подгруппу порядка 6 и подгруппу порядка 10.

Докажите, что $A_{4}$ не проста.

Покажите, что перестановки $(12)$ и $(12345)$ порождают $S_{5}$.

Предположим, что подгруппа $H$ группы $S_{5}$ содержит 5-цикл и 2-цикл. Покажите, что $H = S_{5}$. (На это упражнение ссылаются в главе 30.)

Предположим, что $G$ --- конечная простая группа, содержащая подгруппы $H$ и $K$ такие, что $\left[G : H\right]$ и $\left[G : K\right]$ просты. Покажите, что $\left|H\right| = \left|K\right|$.

Покажите, что (с точностью до изоморфизма) $A_{5}$ --- единственная простая группа порядка 60. (На это упражнение ссылаются в этой главе.)

Докажите, что простая группа не может иметь подгруппы индекса 4.

Докажите, что не существует простой группы порядка $p^{2}q$, где $p$ и $q$ --- нечётные простые числа и $q > p$.

Если простая группа $G$ имеет подгруппу $K$, которая является нормальной подгруппой двух различных максимальных подгрупп, докажите, что $K = \left\{ e\right\}$.

Покажите, что конечная группа чётного порядка с циклической силовской 2-подгруппой не проста.

Покажите, что $S_{5}$ не содержит подгруппы порядка 40 или 30.

Покажите, что $\operatorname {PSL}(2, \mathbb {Z}_{7}) = \operatorname {SL}(2, \mathbb {Z}_{7})/Z(\operatorname {SL}(2, \mathbb {Z}_{7}))$, имеющая порядок 168, является простой группой. (На это упражнение ссылаются в этой главе.)

Докажите, что если существует нетривиальный гомоморфизм из конечной группы $G$ в $S_{n}$, причём $\left|G\right| > n!$, то $G$ не проста.

Используя методы этой главы, докажите, что группа порядка 36 имеет нормальную подгруппу порядка 3 или нормальную подгруппу порядка 9. Обобщается ли ваше рассуждение до доказательства утверждения: группа порядка $4p^{n}$, где $p$ --- нечётное простое число, имеет нормальную подгруппу порядка $p^{n-1}$ или нормальную подгруппу порядка $p^{n}$?

Пусть $G$ --- группа порядка 24. Используя методы этой главы, докажите, что $G$ имеет нормальную подгруппу порядка 8 или нормальную подгруппу порядка 4. Обобщается ли ваше рассуждение до доказательства утверждения: группа порядка $p^{n}q$, где $p$ и $q$ --- различные простые числа и $p^{2} > q$, имеет нормальную подгруппу порядка $p^{n-1}$ или $p^{n}$?

Используя теорему 24.3 (обобщённую теорему Кэли: если $G$ --- группа, $H$ --- подгруппа $G$, а $S$ --- группа всех перестановок левых смежных классов по $H$ в $G$, то существует гомоморфизм из $G$ в $S$, ядро которого лежит в $H$ и содержит всякую нормальную подгруппу $G$, содержащуюся в $H$), докажите, что если $G$ --- конечная группа и $H$ --- подгруппа $G$ с $\left[G : H\right] = p$, где $p$ --- наименьший простой делитель $\left|G\right|$, то $H$ нормальна в $G$.