Теоремы Силова

Покажите, что сопряжённость является отношением эквивалентности на группе.

Если $a$ --- элемент группы, докажите, что каждый элемент $\operatorname {cl}(a)$ имеет тот же порядок, что и $a$.

Пусть $a$ --- элемент группы чётного порядка. Докажите, что $a^2$ не принадлежит $\operatorname {cl}(a)$.

Вычислите все классы сопряжённости для группы кватернионов (см. упражнение 54 главы 9).

Покажите, что функция $T$, определённая в доказательстве теоремы 23.1, корректно определена, инъективна и отображает множество левых смежных классов на класс сопряжённости элемента $a$.

(Теорема 23.1, число сопряжённых с $a$: пусть $G$ --- конечная группа и $a$ --- элемент $G$. Тогда $\left|\operatorname {cl}(a)\right| = \left|G : C(a)\right|$, где $C(a)$ --- централизатор элемента $a$. В доказательстве $T$ есть функция, переводящая смежный класс $xC(a)$ в сопряжённый элемент $xax^{-1}$.)

Покажите, что $\operatorname {cl}(a) = \left\{ a\right\}$ тогда и только тогда, когда $a \in Z(G)$.

Покажите, что $\mathbb {Z}_2$ --- единственная группа, имеющая ровно два класса сопряжённости.

Что можно сказать о числе элементов порядка $7$ в группе порядка $168 = 8 \cdot 3 \cdot 7$?

Пусть $H$ --- подгруппа группы $G$. Докажите, что число сопряжённых с $H$ подгрупп в $G$ равно $\left|G:N(H)\right|$. (На это упражнение ссылаются в данной главе.)

Пусть $H$ --- собственная подгруппа конечной группы $G$. Покажите, что $G$ не является объединением всех сопряжённых с $H$ подгрупп.

Если $G$ --- группа нечётного порядка и $x \in G$, покажите, что $x^{-1}$ не принадлежит $\operatorname {cl}(x)$.

Определите уравнение классов для неабелевых групп порядков $39$ и $55$.

Определите, какие из приведённых ниже равенств могли бы быть уравнением классов из доказательства теоремы 23.2 (утверждающей, что нетривиальная конечная группа порядка, являющегося степенью простого, имеет нетривиальный центр). Для каждого пункта приведите обоснование.

Определите уравнение классов для $D_6$.

Пусть $G$ --- группа порядка $48$. Покажите, что пересечение любых двух различных силовских 2-подгрупп $G$ имеет порядок $8$.

Если $a$ и $b$ --- элементы группы, а $i$ и $k$ --- положительные целые числа, докажите, что из $bab^{-1} = a^i$ следует $b^k a b^{-k} = a^{i^k}$.

Пусть $K$ --- силовская $p$-подгруппа конечной группы $G$. Докажите, что если $x \in N(K)$ и порядок $x$ является степенью $p$, то $x \in K$. (На это упражнение ссылаются в данной главе.)

Пусть $G$ --- группа вида $\left\{ a^ib^j \mid i = 0, 1, \ldots , 6,\ j = 0, 1, 2\right\}$ и $ba = ab^2$. Представьте $aba^2b$ в виде $a^ib^j$.

Пусть $G$ --- группа и $\left|G\right| = p^n m$, где $p$ простое и $p > m$. Докажите, что силовская $p$-подгруппа $G$ нормальна в $G$.

Пусть $H$ --- силовская $p$-подгруппа $G$. Докажите, что $H$ --- единственная силовская $p$-подгруппа $G$, содержащаяся в $N(H)$.

Пусть $G$ --- группа порядка $168$. Если в $G$ имеется более одной силовской 7-подгруппы, сколько именно их имеется?

Покажите, что всякая группа порядка $56$ имеет собственную нетривиальную нормальную подгруппу.

Каково наименьшее составное (то есть непростое и большее $1$) целое число $n$, для которого существует единственная группа порядка $n$?

Пусть $G$ --- нециклическая группа порядка $21$. Сколько силовских 3-подгрупп имеет $G$?

Пусть $G$ --- группа порядка $pq$, где $p$ и $q$ --- различные простые числа и $p < q$. Докажите, что силовская $q$-подгруппа нормальна в $G$. (На это упражнение ссылаются в данной главе.)

Докажите, что ни одна из групп $S_5, S_6, S_7, A_5, A_6$ и $A_7$ не может иметь нормальную подгруппу порядка $3$ или $5$.

Что теоремы Силова говорят о произвольной группе порядка $100$?

Докажите, что группа порядка $175$ абелева.

Пусть $G$ --- группа с $\left|G\right| = 595 = 5 \cdot 7 \cdot 17$. Покажите, что силовская 5-подгруппа $G$ нормальна в $G$ и содержится в $Z(G)$.

Можно построить неабелеву группу порядка $21$ вида $\left\{ a^ib^j\right\}$, где $\left|a\right| = 7$ и $\left|b\right| = 3$, а умножение определяется одним из соотношений $ba = a^2b$ или $ba = a^4b$. Используйте эту информацию, чтобы найти соотношения между $\left|a\right|$, $\left|b\right|$, $2$ и $4$.

Можно построить неабелеву группу порядка $105$ вида $a^ib^j$, где $\left|a\right| = 35$ и $\left|b\right| = 3$, а умножение определяется одним из соотношений $ba = a^{11}b$ или $ba = a^{18}b$. Используйте эту информацию, чтобы найти соотношения между $\left|a\right|$, $\left|b\right|$, $11$ и $16$.

Объясните, почему не существует группы $G$ такой, что $[G : Z(G)] = 15$.

Пусть $G$ --- конечная группа, содержащая более одного элемента, а $H$ --- пересечение всех нетривиальных подгрупп $G$. Что можно сказать о $\left|H\right|$?

Обобщите рассуждение из примера 6, получив теорему о группах порядка $p^2q$, где $p$ и $q$ --- различные простые числа.

Докажите, что группа порядка $375$ имеет подгруппу порядка $15$.

Не используя теорему 23.6, докажите, что группа порядка $15$ циклична. (На это упражнение ссылаются при обсуждении групп порядка $30$.)

Докажите, что группа порядка $105$ содержит нормальную подгруппу порядка $35$.

Докажите, что группа порядка $595$ имеет нормальную силовскую 17-подгруппу.

Пусть $G$ --- группа порядка $60$. Покажите, что $G$ имеет ровно четыре элемента порядка $5$ или ровно $24$ элемента порядка $5$. Какой из этих случаев имеет место для $A_5$?

Покажите, что центр группы порядка $60$ не может иметь порядок $4$.

Пусть $G$ --- группа порядка $60$ и $G$ имеет нормальную подгруппу $N$ порядка $2$. Покажите, что

Пусть $G$ --- группа порядка $60$. Если силовская 3-подгруппа нормальна, покажите, что силовская 5-подгруппа нормальна.

Покажите, что если $G$ --- группа порядка $168$, имеющая нормальную подгруппу порядка $4$, то $G$ имеет нормальную подгруппу порядка $28$.

Пусть $p$ простое и $\left|G\right| = p^n$. Покажите, что $G$ имеет нормальные подгруппы порядка $p^k$ для всех $k$ от $1$ до $n$ включительно.

Пусть $G$ --- группа порядка $p^n$, где $p$ простое, и $G$ имеет ровно одну подгруппу для каждого делителя $p^n$. Покажите, что $G$ циклична.

Пусть $p$ простое и $\left|G\right| = p^n$. Если $H$ --- собственная подгруппа $G$, докажите, что $N(H) > H$. (На это упражнение ссылаются в главе 24.)

Если $H$ --- конечная подгруппа группы $G$ и $x \in G$, докажите, что $\left|N(H)\right| = \left|N(xHx^{-1})\right|$.

Пусть $H$ --- силовская 3-подгруппа конечной группы $G$, а $K$ --- силовская 5-подгруппа $G$. Если $3$ делит $\left|N(K)\right|$, докажите, что $5$ делит $\left|N(H)\right|$.

Докажите, что группа порядка $48$ имеет нормальную подгруппу порядка $16$ или нормальную подгруппу порядка $8$.

Пусть $G$ --- конечная группа и $G$ имеет единственную силовскую $p$-подгруппу для каждого простого $p$. Докажите, что $G$ является внутренним прямым произведением своих нетривиальных силовских $p$-подгрупп. Если каждая силовская $p$-подгруппа циклична, циклична ли $G$? Если каждая силовская $p$-подгруппа абелева, абелева ли $G$?

Пусть $G$ --- конечная группа и $G$ имеет ровно одну подгруппу для каждого делителя $\left|G\right|$. Докажите, что $G$ циклична.

Пусть $G$ --- конечная группа, а $H$ --- нормальная силовская $p$-подгруппа $G$. Покажите, что $\alpha (H) = H$ для всех автоморфизмов $\alpha$ группы $G$.

Если $H$ --- силовская $p$-подгруппа некоторой группы, докажите, что $N(N(H)) = N(H)$.

Пусть $p$ --- простое число, а $H$ и $K$ --- силовские $p$-подгруппы группы $G$. Докажите, что $\left|N(H)\right| = \left|N(K)\right|$.

Пусть $G$ --- группа порядка $p^2q^2$, где $p$ и $q$ --- различные простые числа, $q \nmid p^2 - 1$ и $p \nmid q^2 - 1$. Докажите, что $G$ абелева. Перечислите три пары простых чисел, удовлетворяющие этим условиям.

Пусть $H$ --- нормальная подгруппа группы $G$. Покажите, что $H$ является объединением классов сопряжённости в $G$ элементов из $H$. Верно ли это, когда $H$ не нормальна в $G$?

Пусть $G$ --- конечная группа, а $p$ --- простое число, делящее $\left|G\right|$. Если $H$ является силовской $p$-подгруппой $N(H)$, докажите, что $H$ является силовской $p$-подгруппой $G$.

Покажите, что группа порядка $12$ не может иметь девять элементов порядка $2$.

Если $\left|G\right| = 36$ и $G$ неабелева, докажите, что $G$ имеет более одной силовской 2-подгруппы или более одной силовской 3-подгруппы.

Пусть $G$ --- неабелева группа порядка $pq$, где $p$ и $q$ --- простые числа и $p < q$. Докажите, что $G$ имеет ровно $q + 1$ нетривиальных собственных подгрупп.

Определите группы порядка $45$.

Объясните, почему группа порядка $4m$, где $m$ нечётно, должна иметь подгруппу, изоморфную $\mathbb {Z}_4$ или $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$, но не может иметь одновременно подгруппу, изоморфную $\mathbb {Z}_4$, и подгруппу, изоморфную $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$. Покажите, что $S_4$ имеет подгруппу, изоморфную $\mathbb {Z}_4$, и подгруппу, изоморфную $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$.

Пусть $p$ --- наименьшее простое число, делящее порядок конечной группы $G$. Если $H$ --- циклическая силовская $p$-подгруппа $G$, докажите, что $N(H) = C(H)$.

Пусть $G$ --- группа порядка $715 = 5 \cdot 11 \cdot 13$. Пусть $H$ --- силовская 13-подгруппа $G$, а $K$ --- силовская 11-подгруппа $G$. Докажите, что $H$ содержится в $Z(G)$. Можно ли рассуждение, использованное для доказательства того, что $H$ содержится в $Z(G)$, также применить, чтобы показать, что $K$ содержится в $Z(G)$?

Если $H$ --- нормальная подгруппа конечной группы $G$ и $\left|H\right| = p^k$ для некоторого простого $p$, покажите, что $H$ содержится в каждой силовской $p$-подгруппе $G$.