Геометрические построения

Если $a$ и $b$ --- построимые числа и $a \geq b > 0$, дайте геометрическое доказательство того, что $a+b$ и $a-b$ построимы.

Если $a$ и $b$ построимы, дайте геометрическое доказательство того, что $ab$ построимо. (Указание: рассмотрите следующую фигуру. На общей базовой прямой от общей левой конечной точки отложены отрезки длины $1$ и $b$, причём $b>1$; из той же точки под углом к базовой прямой проведён второй луч, на котором отложен отрезок длины $a$. Соедините конец отрезка длины $1$ на базовой прямой с концом отрезка длины $a$ на втором луче, затем через конец отрезка длины $b$ проведите прямую, параллельную этому отрезку; она пересечёт второй луч (продолженный) в точке, удалённой от общей начальной точки на расстояние $ab$. Заметьте, что все отрезки на рисунке можно построить немаркированной линейкой и циркулем.)

Докажите, что если $c$ --- построимое число, то и $\sqrt{\left|c\right|}$ построимо. (Указание: рассмотрите следующую полуокружность с диаметром $1+\left|c\right|$: отложите отрезок длины $1$ и, продолжая тот же диаметр, отрезок длины $\left|c\right|$; из точки, разделяющей их, восстановите перпендикуляр длины $d$ до полуокружности и соедините эту точку полуокружности с обоими концами диаметра. Получаются два прямоугольных треугольника с общим катетом длины $d$: у одного катеты $1$ и $d$, у другого --- $\left|c\right|$ и $d$. Угол при левом конце диаметра в треугольнике с катетом $1$ и угол при вершине на полуокружности между отрезком длины $d$ и гипотенузой, идущей к правому концу диаметра, в треугольнике с катетом $\left|c\right|$ равны $\alpha$.) (На это упражнение ссылаются в главе 31.)

Если $a$ и $b$ ($b\neq 0$) --- построимые числа, дайте геометрическое доказательство того, что $a/b$ построимо. (Указание: рассмотрите следующую фигуру. Из общей точки, обозначенной $0$, на базовой прямой отмечена точка на расстоянии $a$; на втором луче, выходящем из $0$ под углом к базовой прямой, отмечена точка на расстоянии $1$ и далее на том же луче --- точка на расстоянии $b$. Соедините отметку длины $b$ на втором луче с отметкой длины $a$ на базовой прямой, затем через отметку длины $1$ проведите прямую, параллельную этому отрезку; она пересечёт базовую прямую в точке, удалённой от $0$ на расстояние $a/b$.)

Докажите, что $\sin \theta$ построим тогда и только тогда, когда построим $\cos \theta$.

Докажите, что угол $\theta$, измеряемый в градусах, построим тогда и только тогда, когда построим $\sin \theta$.

Докажите, что $\cos 2\theta$ построим тогда и только тогда, когда построим $\cos \theta$.

Докажите, что угол $30^{\circ }$ построим.

Докажите, что угол $45^{\circ }$ можно разделить на три равные части с помощью немаркированной линейки и циркуля.

Докажите, что угол $40^{\circ }$ непостроим.

Покажите, что точка пересечения двух прямых в плоскости поля $F$ принадлежит плоскости $F$.

Покажите, что точки пересечения окружности в плоскости поля $F$ и прямой в плоскости $F$ принадлежат плоскости $F$ или плоскости $F(\sqrt{\alpha })$, где $\alpha \in F$ и $\alpha$ положительно. Приведите пример окружности и прямой в плоскости $\mathbb {Q}$, точки пересечения которых не принадлежат плоскости $\mathbb {Q}$.

Докажите, что $8x^3-6x-1$ неприводим над $\mathbb {Q}$.

Используя факт, что $8\cos^3(2\pi /7)+4\cos^2(2\pi /7)-4\cos (2\pi /7)-1=0$, докажите, что правильный семиугольник нельзя построить немаркированной линейкой и циркулем.

Покажите, что правильный $9$-угольник нельзя построить немаркированной линейкой и циркулем.

Покажите, что если правильный $n$-угольник построим, то построим и правильный $2n$-угольник.

Покажите, что с помощью немаркированной линейки и циркуля невозможно построить квадрат, площадь которого равна площади круга радиуса $1$. Можно использовать факт, что $\pi$ трансцендентно над $\mathbb {Q}$.

Используя факт, что $4\cos^2(2\pi /5)+2\cos (2\pi /5)-1=0$, докажите, что правильный пятиугольник построим.

Можно ли ``утроить'' куб?

Можно ли ``учетверить'' куб?

Можно ли ``возвести круг в куб''?

Если $a$, $b$ и $c$ построимы, покажите, что вещественные корни уравнения $ax^2+bx+c$ построимы.