Конечные поля

Найдите $[\operatorname {GF}(729):\operatorname {GF}(9)]$ и $[\operatorname {GF}(64):\operatorname {GF}(8)]$.

Если $m$ делит $n$, докажите, что $[\operatorname {GF}(p^n):\operatorname {GF}(p^m)] = n/m$.

Нарисуйте решётку подполей $\operatorname {GF}(64)$.

Пусть $a$ --- корень $x^3 + x^2 + 1$ в некотором поле расширения $\mathbb {Z}_2$. Найдите мультипликативную обратную к $a + 1$ в $\mathbb {Z}_2(a)$. Решите уравнение $(a + 1)x + a = a^2 + 1$ относительно $x$ вида $c_2 a^2 + c_1 a + c_0$, где $c_2$, $c_1$ и $c_0$ принадлежат $\mathbb {Z}_2$.

Каково наименьшее поле, имеющее ровно три собственных подполя?

Докажите, что каждый элемент, отличный от единицы, в $\operatorname {GF}(32)^*$ является образующим $\operatorname {GF}(32)^*$.

Пусть $a$ --- корень $f(x) = x^2 + 2x + 2$ в некотором поле расширения $\mathbb {Z}_3$. Найдите другой корень $f(x)$ в $\mathbb {Z}_3(a)$.

Пусть $a$ --- корень $f(x) = x^3 + x + 1$ в некотором поле расширения $\mathbb {Z}_2$. Найдите остальные корни $f(x)$ в $\mathbb {Z}_2(a)$.

Для каждого положительного целого $i$ докажите, что отображение $\operatorname {GF}(p^n)$ в себя, заданное формулой $\phi (x) = x^{p^i}$, является автоморфизмом поля.

Пусть $S$ --- конечное подмножество поля, содержащее хотя бы один ненулевой элемент. Если $S$ замкнуто относительно сложения и умножения, докажите, что $S$ является полем.

Покажите, что $1$ --- единственный элемент $\operatorname {GF}(2^n)$, являющийся корнем $x^2 + 1$.

Сколько элементов циклической группы $\operatorname {GF}(81)^*$ являются образующими?

Пусть $f(x)$ --- неприводимый кубический многочлен над $\mathbb {Z}_2$. Докажите, что поле разложения $f(x)$ над $\mathbb {Z}_2$ имеет порядок $8$.

Докажите, что кольца $\mathbb {Z}_3[x]/ \left\langle x^2+x+2\right\rangle$ и $\mathbb {Z}_3[x]/ \left\langle x^2+2x+2\right\rangle$ изоморфны. Объясните, почему $\mathbb {Z}_3[x]/ \left\langle x^2 + x + 2\right\rangle$ не изоморфно как кольцо $\mathbb {Z}_3[x]/ \left\langle x^2 + 2x + 1\right\rangle$.

Сколько элементов $a$ в $\operatorname {GF}(64)$ обладают свойством $\mathbb {Z}_2(a) = \operatorname {GF}(64)$?

Известно, что $a$ в $\operatorname {GF}(16)$ является корнем неприводимого многочлена степени $4$ над $\mathbb {Z}_2$; найдите остальные три корня. Известно, что $a^7$ в $\operatorname {GF}(16)$ является корнем неприводимого многочлена степени $4$ над $\mathbb {Z}_2$; найдите остальные три корня.

Если $p$ --- простое число, а конечное поле $F$ имеет подполя порядков $p^4$ и $p^6$, какие ещё подполя обязано иметь $F$?

Если $g(x)$ --- неприводимый делитель $x^8 - x$ над $\mathbb {Z}_2$ и $\deg g(x) = m$, каковы возможные значения $m$?

Пусть $a$ --- элемент $\operatorname {GF}(8)$, отличный от $0$ и $1$. Докажите, что $\mathbb {Z}_2(a) = \operatorname {GF}(8)$.

Пусть $a$ --- элемент $\operatorname {GF}(32)$, отличный от $0$ и $1$. Докажите, что $a$ является корнем неприводимого многочлена пятой степени над $\mathbb {Z}_2$.

Пусть $a$ --- элемент $\operatorname {GF}(2^n)$. Если $a^{16} = a^4$, докажите, что $a^4 = a$.

Пусть $p$ --- простое число, а $a$ --- корень неприводимого многочлена $g(x)$ над $\mathbb {Z}_p$ степени $n$. Если $b$ принадлежит $\mathbb {Z}_p(a)$ и $b$ является корнем $g(x)$, докажите, что $\mathbb {Z}_p(b) = \mathbb {Z}_p(a)$.

Каковы степени неприводимых множителей $x^{27} - x$ над $\mathbb {Z}_3$ и сколько множителей каждой степени имеется?

Докажите, что в конечном поле $F$ характеристики $2$ каждый элемент представим как квадрат элемента из $F$.

Каково наименьшее поле, содержащее $\operatorname {GF}(p^n)$ в качестве собственного подполя?

Для любого простого $p$ докажите, что $x^{p^n} - x + 1$ не имеет корней в $\operatorname {GF}(p^n)$.

Пусть $F_1, F_2, F_3, \ldots$ --- бесконечно много полей, причём $F_1 \subset F_2 \subset F_3 \subset \cdots$. Покажите, что $F = \cup_{i=1}^{\infty } F_i$ является полем.

Определите возможные конечные поля, наибольшим собственным подполем которых является $\operatorname {GF}(2^5)$.

Когда $x^9 - x$ представлено как произведение неприводимых многочленов над $\mathbb {Z}_3$, каковы степени множителей и сколько множителей каждой степени имеется?

Найдите наименьшее поле, имеющее ровно $6$ подполей.

Покажите, что $x$ является образующим циклической группы $(\mathbb {Z}_3[x]/ \left\langle x^3 + 2x + 1\right\rangle )^*$.

Пусть $\operatorname {GF}(5^n) = \mathbb {Z}_5(a)$, где $n$ --- положительное целое. Найдите наименьшее положительное целое $k$, такое что $a^k = 2$.

Покажите, что $x$ не является образующим циклической группы $(\mathbb {Z}_3[x]/ \left\langle x^3 + 2x + 2\right\rangle )^*$. Найдите один такой образующий.

Если $f(x)$ --- неприводимый кубический многочлен над $\mathbb {Z}_3$, докажите, что либо $x$, либо $2x$ является образующим циклической группы $(\mathbb {Z}_3[x]/ \left\langle f(x)\right\rangle )^*$.

Докажите часть о единственности в теореме 21.3, используя теоретико-групповой аргумент.

Предположим, что $a$ и $b$ принадлежат $\operatorname {GF}(81)^*$, причём $\left|a\right| = 5$ и $\left|b\right| = 16$. Покажите, что $ab$ является образующим $\operatorname {GF}(81)^*$.

Покажите, что множество $K$ в доказательстве теоремы 21.4 является подполем. На это упражнение ссылаются в доказательстве теоремы 21.4.

(Теорема 21.4, «Подполя конечного поля»: для каждого делителя $m$ числа $n$ поле $\operatorname {GF}(p^n)$ имеет единственное подполе порядка $p^m$; более того, это все подполя $\operatorname {GF}(p^n)$. В доказательстве для делителя $m$ числа $n$ полагают $K = \left\{ x \in \operatorname {GF}(p^n) \mid x^{p^m} = x\right\}$.)

Покажите, что любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклична.

Используйте чисто теоретико-групповой аргумент, чтобы показать: если $F$ --- поле порядка $p^n$, то каждый элемент $F^*$ является корнем $x^{p^n} - x$. (На это упражнение ссылаются в доказательстве теоремы 21.1.)

Нарисуйте решётки подполей $\operatorname {GF}(3^{18})$ и $\operatorname {GF}(2^{30})$.

Как решётка подполей $\operatorname {GF}(2^{30})$ соотносится с решёткой подполей $\operatorname {GF}(3^{30})$?

Если $p(x)$ --- многочлен из $\mathbb {Z}_p[x]$ без кратных корней, покажите, что $p(x)$ делит $x^{p^n} - x$ для некоторого $n$.

Предположим, что $p$ --- простое число и $p \neq 2$. Пусть $a$ --- неквадрат в $\mathbb {Z}_p$, то есть $a$ не имеет вида $b^2$ ни для какого $b$ из $\mathbb {Z}_p$. Покажите, что $a$ является неквадратом в $\operatorname {GF}(p^n)$ при нечётном $n$ и что $a$ является квадратом в $\operatorname {GF}(p^n)$ при чётном $n$.

Пусть $f(x)$ --- неприводимый кубический многочлен над $\mathbb {Z}_p$, где $p$ --- простое число. Докажите, что поле разложения $f(x)$ над $\mathbb {Z}_p$ имеет порядок $p^3$.

Предположим, что $F$ --- поле порядка $1024$ и $F^* = \left\langle a\right\rangle$. Перечислите элементы каждого подполя $F$.

Покажите, что ни одно конечное поле не является алгебраически замкнутым.

Предположим, что $F$ --- поле порядка $125$ и $F^* = \left\langle a\right\rangle$. Покажите, что $a^{62} = -1$.

Предположим, что $L$ и $K$ --- подполя $\operatorname {GF}(p^n)$. Если $L$ имеет $p^s$ элементов, а $K$ --- $p^t$ элементов, сколько элементов имеет $L \cap K$?

Покажите, что конечное расширение конечного поля является простым расширением.

Пусть $F$ --- конечное поле порядка $q$, а $a$ --- ненулевой элемент $F$. Если $n$ делит $q - 1$, докажите, что уравнение $x^n = a$ либо не имеет решений в $F$, либо имеет $n$ различных решений в $F$.

Пусть $a$ --- примитивный элемент поля $\operatorname {GF}(p^n)$, где $p$ --- нечётное простое число, а $n$ --- положительное целое. Найдите наименьшее положительное целое $k$, такое что $a^k = p - 1$.

В поле $\operatorname {GF}(p^n)$ покажите, что для каждого положительного делителя $d$ числа $n$ многочлен $x^{p^n} - x$ имеет неприводимый множитель над $\operatorname {GF}(p)$ степени $d$.

Докажите, что для каждого простого $p > 2$ конечное поле $F$ порядка $p^n$ имеет ровно $(p^n - 1)/2$ элементов, представимых как квадрат элемента из $F$.

Пусть $a$ --- примитивный элемент поля $\operatorname {GF}(5^n)$, где $n$ --- положительное целое. Найдите наименьшее положительное целое $k$, такое что $a^k = 2$.

Пусть $p$ --- простое число, такое что $p \bmod 4 = 1$. Сколько элементов порядка $4$ имеется в $\operatorname {GF}(p^n)^*$?

Пусть $p$ --- простое число, такое что $p \bmod 4 = 3$. Сколько элементов порядка $4$ имеется в $\operatorname {GF}(p^n)^*$?

Пусть $a$ --- корень неприводимого квадратичного многочлена над $\mathbb {Z}_5$. Докажите, что существуют элементы $b$ и $c$ в $\mathbb {Z}_5(a)$, такие что $(3a + 2)(ba + c) = 4a + 1$.

Если $a$ --- корень неприводимого многочлена $x^4 + x + 1$ над $\mathbb {Z}_2$, докажите, что $a$ не является образующим $(\mathbb {Z}_2[x]/ \left\langle x^4 + x + 1\right\rangle )^*$.

Если $g(x)$ --- неприводимый многочлен над $\operatorname {GF}(4)$ степени $5$, что можно сказать о $\operatorname {GF}(4)[x]/ \left\langle g(x)\right\rangle$?

Если $f(x)$ --- неприводимый нелинейный многочлен над $\operatorname {GF}(8)$, имеющий корень в $\operatorname {GF}(64)$, какова степень $f(x)$? Приведите пример такого многочлена.

Пусть $a$ --- элемент $\operatorname {GF}(5^2)$, не принадлежащий $\mathbb {Z}_5$. Докажите, что

Обобщается ли ваше доказательство на $\operatorname {GF}(p^n)$ ($n \geq 2$)?

Пусть $E$ --- поле с $32$ элементами. Если $a \in E$ и минимальный многочлен $a$ над $\mathbb {Z}_2$ равен $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$, найдите остальные четыре корня $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.

Для заданного конечного поля $F_1$ найдите бесконечно много конечных полей $F_2, F_3, F_4, \ldots$, таких что $F_1 \subset F_2 \subset F_3 \subset F_4 \subset \cdots$.

Не перебирая все нормированные многочлены пятой степени из $\mathbb {Z}_3[x]$ в поисках линейных или квадратичных множителей, объясните, почему имеется ровно $44$ нормированных неприводимых многочлена степени $5$ над $\mathbb {Z}_3$.

Какое поле содержит все конечные поля характеристики $2$ в качестве подполей?

Приведите пример бесконечного поля простой характеристики, содержащего ровно одно конечное подполе.

Для фиксированного простого $p$ найдите бесконечно много примеров конечных полей $F_1, F_2, F_3, \ldots$, обладающих свойством: $\operatorname {GF}(p)$ является единственным собственным подполем $F_i$ для всех $i$.