Алгебраические расширения

Докажите теоремы 20.2 и 20.3.

Теорема 20.2 (свойство единственности): если $a$ алгебраичен над полем $F$, то существует единственный нормированный неприводимый многочлен $p(x)$ из $F[x]$ такой, что $p(a) = 0$. (Этот $p(x)$ называется минимальным многочленом элемента $a$ над $F$.)

Теорема 20.3 (свойство делимости): пусть $a$ алгебраичен над $F$, а $p(x)$ --- минимальный многочлен элемента $a$ над $F$. Если $f(x) \in F[x]$ и $f(a) = 0$, то $p(x)$ делит $f(x)$ в $F[x]$.

Пусть $E$ --- алгебраическое замыкание поля $F$. Покажите, что всякий многочлен из $F[x]$ разлагается на линейные множители в $E$.

Докажите, что $\mathbb {Q}(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{2}, \ldots )$ является алгебраическим расширением $\mathbb {Q}$, но не является конечным расширением $\mathbb {Q}$. (На это упражнение ссылаются в этой главе.)

Пусть $E$ --- алгебраическое расширение $F$. Если всякий многочлен из $F[x]$ разлагается на линейные множители в $E$, докажите, что $E$ алгебраически замкнуто.

Пусть $F$ --- поле, и всякий неприводимый многочлен из $F[x]$ линеен. Покажите, что $F$ алгебраически замкнуто.

Предположим, что $f(x)$ и $g(x)$ неприводимы над $F$ и что $\deg f(x)$ и $\deg g(x)$ взаимно просты. Если $a$ --- корень $f(x)$ в некотором расширении $F$, покажите, что $g(x)$ неприводим над $F(a)$.

Пусть $a$ и $b$ принадлежат $\mathbb {Q}$ и $b \neq 0$. Покажите, что $\mathbb {Q}(\sqrt{a}) = \mathbb {Q}(\sqrt{b})$ тогда и только тогда, когда существует $c \in \mathbb {Q}$ такое, что $a = bc^2$.

Найдите степень и базис $\mathbb {Q}(\sqrt{3} + \sqrt{5})$ над $\mathbb {Q}(\sqrt{15})$. Найдите степень и базис $\mathbb {Q}(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{2})$ над $\mathbb {Q}$.

Если $[F(a):F] = 5$, найдите $[F(a^3):F]$. Применимы ли ваши рассуждения в равной мере, если заменить $a^3$ на $a^2$ или $a^4$?

Предположим, что $E$ --- расширение $F$ простой степени. Покажите, что для всякого $a$ из $E$ либо $F(a) = F$, либо $F(a) = E$.

Пусть $E$ и $F$ --- поля, причём $[E : F] = n$. Если $f(x)$ неприводим над $F$ и степень $f(x)$ не делит $n$, докажите, что $f(x)$ не имеет корней в $E$.

Пусть $E$ --- расширение поля $F$ и $[E : F] = n$, где $n$ нечётно. Если $a \in E$, докажите, что $F(a^2) = F(a)$.

Пусть $F$ --- поле, $f(x) \in F[x]$, а $a$ --- корень $f(x)$ в некотором расширении поля $F$. Если $b$ и $c$ принадлежат $F$ и $b \neq 0$, найдите $g(x) \in F[x]$, для которого $ab + c$ является корнем.

Пусть $\beta$ трансцендентен над $F$, а $n$ --- положительное целое число. Определите $[F(\beta ) : F(\beta^n)]$. При $n = 4$ запишите $3\beta^5 + a\beta^{-3}$ как линейную комбинацию базисных элементов с коэффициентами из $F(\beta^4)$.

Если $F$ --- поле характеристики $0$ и $a_1, a_2, \ldots , a_n$ алгебраичны над $F$, докажите, что существует элемент $c$ в $F(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ такой, что $F(a_1, a_2, \ldots , a_n) = F(c)$.

Объясните, почему $11\sqrt{12} - 7\sqrt{45}$ можно представить в виде $a + b(\sqrt{3} + \sqrt{5}) + c(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 + d(\sqrt{3} + \sqrt{5})^3$, где $a$, $b$, $c$ и $d$ рациональны.

Определите $[\mathbb {Q}(\sqrt[6]{2}) : \mathbb {Q}]$; $[\mathbb {Q}(\sqrt[6]{2}) : \mathbb {Q}(\sqrt{2})]$; $[\mathbb {Q}(\sqrt[6]{2}) : \mathbb {Q}(\sqrt[3]{2})]$.

Определите базис $\mathbb {Q}(\sqrt[6]{2})$ над $\mathbb {Q}$. Определите базис $\mathbb {Q}(\sqrt[6]{2})$ над $\mathbb {Q}(\sqrt{2})$. Определите базис $\mathbb {Q}(\sqrt[6]{2})$ над $\mathbb {Q}(\sqrt[3]{2})$.

Как решётка подполей $\mathbb {Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{3})$ (см. рисунок 20.4 в тексте, воспроизведённый ниже) соотносится с решёткой подгрупп $\mathbb {Z}_{12}$?

Если $F$ --- поле и $[F(a) : F] = n$, опишите элементы подпространства $F(a)$ размерности $k$, где $1 \leq k \leq n$.

Пусть $F$ --- поле, а $f(x)$ --- минимальный многочлен из $F[x]$ для $a$. Если $b$ и $c$ принадлежат $F$, найдите минимальный многочлен для $ab + c$ в $F[x]$.

Пусть $f(x) = x^3 - 2$. Чему равна $\deg f(x)$ над $\mathbb {Q}$, над $\mathbb {Q}(\sqrt[3]{2})$, над $\mathbb {Q}(\sqrt{3})$, над $\mathbb {Q}(i)$?

Учитывая, что всякий элемент $\mathbb {R}^{x}$ разлагается на линейные множители в $\mathbb {C}^{x}$, докажите, что всякий элемент $\mathbb {R}^{x}$, неприводимый над $\mathbb {R}$, линеен или квадратичен.

Докажите, что единственным подполем $\mathbb {Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{3})$ степени $2$ над $\mathbb {Q}$ является $\mathbb {Q}(\sqrt{3})$.

Приведите пример расширения поля $\mathbb {Q}$, имеющего ровно два собственных подполя.

Перечислите пять различных собственных подполей $\mathbb {Q}(\sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{5})$.

Пусть $E$ --- расширение поля $F$. Докажите, что $[E : F] = 1$ тогда и только тогда, когда $E = F$.

Пусть $F$, $K$ и $L$ --- поля, причём $F \subseteq K \subseteq L$. Если $L$ является конечным расширением $F$ и $[L : F] = [L : K]$, докажите, что $F = K$.

Не используя теорему о примитивном элементе, докажите, что если $[K:F]$ просто, то $K$ имеет примитивный элемент.

Пусть $a$ --- комплексное число, алгебраическое над $\mathbb {Q}$. Покажите, что $\sqrt{a}$ алгебраично над $\mathbb {Q}$. Показывает ли ваше рассуждение, что $\sqrt[k]{a}$ алгебраично над $\mathbb {Q}$ для всех положительных целых $k \geq 2$? Если да, то почему из этого следует, что $a^{m/n}$ алгебраично над $\mathbb {Q}$ для всех положительных целых $m$ и $n$?

Пусть $\beta$ --- корень $f(x) = x^5 + 2x + 4$ (см. пример 8 главы 17). Покажите, что ни одно из чисел $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[4]{2}$ не принадлежит $\mathbb {Q}(\beta )$.

Докажите, что $\mathbb {Q}(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}) = \mathbb {Q}(\sqrt[6]{2})$.

Пусть $a$ и $b$ --- рациональные числа. Покажите, что $\mathbb {Q}(\sqrt{a}, \sqrt{b}) = \mathbb {Q}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.

Найдите минимальный многочлен для $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ над $\mathbb {Q}$.

Пусть $K$ --- расширение $F$. Предположим, что $E_1$ и $E_2$ содержатся в $K$ и являются расширениями $F$. Если $[E_1 : F]$ и $[E_2 : F]$ оба просты, докажите, что $E_1 = E_2$ или $E_1 \cap E_2 = F$.

Найдите многочлен $g(x)$ над $\mathbb {Q}(\sqrt{3})$ наименьшей степени такой, что $g(\sqrt[4]{3}) = 0$.

Предположим, что $a$ алгебраичен над полем $F$. Докажите, что $a$ и $1 + a^{-1}$ имеют одну и ту же степень над $F$.

Если $ab$ алгебраичен над $F$ и $b \neq 0$, докажите, что $a$ алгебраичен над $F(b)$.

Пусть $E$ --- алгебраическое расширение поля $F$. Если $R$ --- кольцо и $E \supseteq R \supseteq F$, докажите, что $R$ должно быть полем.

Докажите, что $\pi^2 - 1$ алгебраичен над $\mathbb {Q}(\pi^3)$.

Если $a$ трансцендентен над $F$, докажите, что каждый элемент $F(a)$, не принадлежащий $F$, трансцендентен над $F$.

Предположим, что $E$ --- расширение $F$ и $a, b \in E$. Если $a$ алгебраичен над $F$ степени $m$, а $b$ алгебраичен над $F$ степени $n$, причем $m$ и $n$ взаимно просты, докажите, что $[F(a, b):F] = mn$.

Пусть $K$ --- расширение поля $F$ и $a \in K$. Докажите, что $[F(a):F(a^3)] \leq 3$. Найдите примеры, показывающие, что $[F(a):F(a^3)]$ может равняться $1$, $2$ или $3$.

Найдите пример поля $F$ и элементов $a$ и $b$ из некоторого поля расширения таких, что $F(a, b) \neq F(a)$, $F(a, b) \neq F(b)$ и $[F(a, b):F] < [F(a):F][F(b):F]$.

Пусть $E$ --- конечное расширение $\mathbb {R}$. Используйте тот факт, что $\mathbb {C}$ алгебраически замкнуто, чтобы доказать, что $E = \mathbb {C}$ или $E = \mathbb {R}$.

Предположим, что $[E:\mathbb {Q}] = 2$. Докажите, что существует целое число $d$ такое, что $E = \mathbb {Q}(\sqrt{d})$, где $d$ не делится на квадрат никакого простого числа.

Предположим, что $p(x) \in F[x]$ и $E$ --- конечное расширение $F$. Если $p(x)$ неприводим над $F$, а $\deg p(x)$ и $[E:F]$ взаимно просты, докажите, что $p(x)$ неприводим над $E$.

Пусть $E$ --- расширение поля $F$. Докажите, что $[E:F]$ конечно тогда и только тогда, когда $E = F(a_1, a_2, \ldots , a_n)$, где $a_1, a_2, \ldots , a_n$ алгебраичны над $F$.

Если $\alpha$ и $\beta$ --- действительные числа и $\alpha$ и $\beta$ трансцендентны над $\mathbb {Q}$, докажите, что либо $\alpha \beta$, либо $\alpha + \beta$ также трансцендентен над $\mathbb {Q}$.

Пусть $f(x)$ --- непостоянный элемент $F[x]$. Если $a$ принадлежит некоторому расширению $F$ и $f(a)$ алгебраичен над $F$, докажите, что $a$ алгебраичен над $F$.

Пусть $f(x) = ax^2 + bx + c \in \mathbb {Q}^{x}$. Найдите примитивный элемент для поля разложения $f(x)$ над $\mathbb {Q}$.

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ --- неприводимые многочлены над полем $F$, а $a$ и $b$ принадлежат некоторому расширению $E$ поля $F$. Если $a$ --- корень $f(x)$, а $b$ --- корень $g(x)$, докажите, что $f(x)$ неприводим над $F(b)$ тогда и только тогда, когда $g(x)$ неприводим над $F(a)$.

Пусть $a$ --- комплексный корень $x^3 - 1$. Докажите, что $\mathbb {Q}(\sqrt{a}) = \mathbb {Q}(a)$.

Пусть $f(x) \in F[x]$. Если $\deg f(x) = 2$ и $a$ --- корень $f(x)$ в некотором расширении $F$, докажите, что $F(a)$ есть поле разложения $f(x)$ над $F$.

Если $F$ --- поле и мультипликативная группа ненулевых элементов $F$ циклическая, докажите, что $F$ конечно.

Докажите, что не существует положительных рациональных чисел $r$, $s$ и $t$ таких, что $r^s = \pi^t$.

Докажите, что если $K$ --- расширение поля $F$, то $[K:F] = n$ тогда и только тогда, когда $K$ изоморфно $F^n$ как векторное пространство. (На это упражнение ссылаются в данной главе.)

Пусть $a$ --- положительное действительное число, не принадлежащее $\mathbb {Q}$, и $n$ --- целое число, большее $1$. Докажите или опровергните, что $[\mathbb {Q}(a^{1/n}):\mathbb {Q}] = n$.

Пусть $a$ и $b$ принадлежат некоторому конечному расширению поля $F$. Докажите, что $[F(a, b):F(a)] \leq [F(a, b):F]$.

Пусть $a$ --- корень неприводимого многочлена $c_{d-1}x^{d-1} + c_{d-2}x^{d-2} + \cdots + c_1 x + c_0$ над полем $F$. Представьте $a^{-1}$ в виде линейной комбинации базисных элементов $1, a, a^2, \ldots , a^{d-1}$ с коэффициентами из $F$.

Пусть $F$ --- поле, а $K$ --- поле разложения некоторого непостоянного многочлена над $F$. Докажите, что $K$ является конечным расширением $F$.

Докажите, что $\mathbb {C}$ не является полем разложения никакого многочлена из $\mathbb {Q}^{x}$.

Докажите, что $\sqrt{2}$ не является элементом $\mathbb {Q}(\pi )$. Обобщите.

Пусть $\alpha = \cos \frac{2\pi }{7} + i\sin \frac{2\pi }{7}$ и $\beta = \cos \frac{2\pi }{5} + i\sin \frac{2\pi }{5}$. Докажите, что $\beta$ не принадлежит $\mathbb {Q}(\alpha )$.

Пусть $m$ --- положительное целое число. Если $a$ трансцендентен над полем $F$, докажите, что $a^m$ трансцендентен над $F$.

Предположим, что $K$ --- расширение $F$ степени $n$. Докажите, что $K$ можно записать в виде $F(x_1, x_2, \ldots , x_n)$ для некоторых $x_1, x_2, \ldots , x_n$ из $K$.