Группы

Какие из следующих бинарных операций обладают свойством замкнутости?

Какие из следующих бинарных операций ассоциативны?

Какие из следующих бинарных операций коммутативны?

Какие из следующих множеств замкнуты относительно указанной операции?

В каждом случае найдите обратный элемент относительно заданной операции.

В каждом случае выполните указанную операцию.

Какие из следующих множеств являются группами относительно умножения матриц?

Имеет ли множество целых чисел нейтральный элемент относительно вычитания (то есть операции $a - b$)?

Покажите, что уравнение $5x = 3$ по модулю $20$ не имеет целочисленного решения, а уравнение $3x = 5$ имеет.

Перечислите элементы $U(20)$ и найдите обратный к каждому из них.

Для элементов группы $a$, $b$ и $c$ придумайте наглядное название свойства $(abc)^{-1} = c^{-1}b^{-1}a^{-1}$.

Укажите две причины, по которым множество нечётных целых чисел не является группой относительно сложения.

Покажите, что $\left\{ 1, 2, 3\right\}$ не является группой относительно умножения по модулю $4$, а $\left\{ 1, 2, 3, 4\right\}$ является группой относительно умножения по модулю $5$.

Покажите, что группа $\operatorname {GL}(2, \mathbb {R})$ из примера 9 не абелева, предъявив пару матриц $A$ и $B$ из $\operatorname {GL}(2, \mathbb {R})$, для которых $AB \neq BA$.

Пусть $a$ — элемент группы и $a^{12} = e$. Представьте обратный к каждому из элементов $a, a^6, a^8$ и $a^{11}$ в виде $a^k$ с положительным целым $k$.

Покажите, что множество $\left\{ 5, 15, 25, 35\right\}$ является группой относительно умножения по модулю $40$. Каков её нейтральный элемент? Видите ли вы какую-либо связь между этой группой и $U(8)$?

Перепишите каждое из следующих выражений из мультипликативной записи в аддитивную. Считайте операцию коммутативной.

Для элементов группы $a$, $b$ и $c$ запишите $(ab)^3$ и $(ab^{-2}c)^{-2}$ без скобок.

Пусть $a$ и $b$ — элементы группы, причём $a^5 = e$ и $b^7 = e$. Запишите $a^{-2}b^{-4}$ и $(a^2b^4)^{-2}$ без отрицательных показателей степени.

Перечислите элементы множеств $K = \left\{ x^2 \mid x \in D_4\right\}$ и $L = \left\{ x \in D_4 \mid x^2 = e\right\}$.

Докажите, что множество всех матриц размера $2 \times 2$ с элементами из $\mathbb {R}$ и определителем $+1$ является группой относительно умножения матриц.

Покажите, что для любого целого $n > 2$ в $U(n)$ имеется не менее двух элементов, удовлетворяющих равенству $x^2 = 1$.

Преподаватель абстрактной алгебры собирался передать машинистке список девяти целых чисел, образующих группу относительно умножения по модулю $91$. Однако одно из девяти чисел случайно пропустили, и список приобрёл вид $1, 9, 16, 22, 53, 74, 79, 81$. Какое число пропущено? (Это действительно произошло!)

Пусть $G$ — группа, в которой для любых элементов $x, y, z$ из $xy = zx$ следует $y = z$. Докажите, что $G$ абелева. («Сокращение слева и справа» влечёт коммутативность.)

Пусть $a$ и $b$ — элементы абелевой группы, а $n$ — любое целое число. Покажите, что $(ab)^n = a^n b^n$. Верно ли это для неабелевых групп?

Проведите аналогию между равенством $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ и порядком надевания и снятия носков и ботинок. Найдите различные неединичные элементы $a$ и $b$ некоторой неабелевой группы, для которых $(ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1}$. Приведите пример, показывающий, что в группе возможно $(ab)^{-2} \neq b^{-2}a^{-2}$. Какое название подошло бы для свойства группы $(abc)^{-1} = c^{-1}b^{-1}a^{-1}$?

Докажите, что группа $G$ абелева тогда и только тогда, когда $(ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1}$ для всех $a$ и $b$ из $G$.

Докажите, что в группе $(a^{-1})^{-1} = a$ для любого $a$.

Докажите, что для любых элементов группы $a$ и $b$ и любого целого числа $n$ выполняется $(a^{-1}ba)^n = a^{-1}b^na$.

Пусть $a_1, a_2, \ldots , a_n$ — элементы группы. Каков обратный элемент к $a_1a_2 \ldots a_n$?

Целые числа $5$ и $15$ входят в набор из $12$ целых чисел, образующих группу относительно умножения по модулю $56$. Перечислите все $12$ чисел.

Для положительного целого $n$ обозначим через $S_n$ множество всех инъективных отображений множества $\left\{ 1, 2, \ldots , n\right\}$ в себя. Каков нейтральный элемент относительно композиции отображений? Имеет ли каждый элемент $S_n$ обратный в $S_n$ относительно этой операции? Замкнуто ли $S_n$ относительно этой операции? Является ли $S_n$ группой относительно этой операции? Сколько элементов в $S_n$?

Докажите, что любая таблица группы является латинским квадратом, то есть каждый элемент группы встречается ровно один раз в каждой строке и каждом столбце.

Приведите пример группы, содержащей ровно $105$ элементов. Приведите три примера групп из $40$ элементов.

Докажите, что множество всех матриц размера $3 \times 3$ с действительными элементами вида

является группой. (Умножение определяется равенством

Эта группа, иногда называемая группой Гейзенберга в честь физика Вернера Гейзенберга, лауреата Нобелевской премии, тесно связана с принципом неопределённости Гейзенберга в квантовой физике.)

Докажите, что в группе $(ab)^2 = a^2b^2$ тогда и только тогда, когда $ab = ba$. Докажите, что в группе $(ab)^{-2} = b^{-2}a^{-2}$ тогда и только тогда, когда $ab = ba$.

Пусть $G$ — конечная группа, а $n$ — нечётное положительное целое число. Покажите, что число элементов $x$ группы $G$, для которых $x^n = e$, нечётно. Покажите, что число элементов $x$ группы $G$, для которых $x^2 \neq e$, чётно.

Обозначим через $\mathbb {Q}^+$ множество положительных рациональных чисел. Объясните, почему соответствие на $\mathbb {Q}^+ \times \mathbb {Q}^+$, сопоставляющее паре $\left(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right)$ число $\frac{a+c}{b+d}$, не является бинарной операцией на $\mathbb {Q}^+$. (Иными словами, это соответствие некорректно определено.)

Пусть $F_1$ и $F_2$ — различные отражения в группе диэдра $D_n$. Докажите, что $F_1F_2 \neq R_0$.

Пусть $F_1$ и $F_2$ — различные отражения в группе диэдра $D_n$, причём $F_1F_2 = F_2F_1$. Докажите, что $F_1F_2 = R_{180}$.

Пусть $R$ — фиксированный поворот, а $F$ — фиксированное отражение в группе диэдра. Докажите, что $R^kFR^k = F$.

Пусть $R$ — фиксированный поворот, а $F$ — фиксированное отражение в группе диэдра. Докажите, что $FR^kF = R^{-k}$. Почему отсюда следует, что $D_n$ не абелева?

Пусть $R$ — некоторый поворот из $D_n$, а $F$ — некоторое отражение из $D_n$. Представьте $R^6FRFR^{-3}FRF$ в виде $R^k$. Представьте $FR^4FR^5FR^2$ в виде $R^kF$.

Пусть $R_\alpha$ и $R_\beta$ — повороты из $D_n$, а $F$ — отражение из $D_n$. Каким поворотом является $FR_\alpha F R_\beta$? Каким поворотом является $R_\alpha F R_\beta F$?

Докажите, что если в группе $G$ квадрат каждого элемента равен единице, то $G$ абелева. (На это упражнение имеется ссылка в главе 25.)

Покажите, что в конечной группе число неединичных элементов, удовлетворяющих уравнению $x^5 = e$, кратно $4$. Что можно сказать о числе неединичных элементов, удовлетворяющих уравнению $x^5 = e$, если не требовать конечности группы?

Перечислите шесть элементов $\operatorname {GL}(2, \mathbb {Z}_2)$. Покажите, что эта группа не абелева, найдя два неперестановочных элемента. (На это упражнение имеется ссылка в главе 7.)

Докажите утверждение из примера 20: множество $\left\{ 1, 2, \ldots , n-1\right\}$ является группой относительно умножения по модулю $n$ тогда и только тогда, когда $n$ — простое число.

Предположим, что приведённая ниже таблица является таблицей группы. Заполните пропуски.