Расширения полей

Опишите элементы $\mathbb {Q}(\sqrt[3]{5})$.

Докажите, что $\mathbb {Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbb {Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$.

Найдите поле разложения $x^{3}-1$ над $\mathbb {Q}$. Представьте ответ в виде $\mathbb {Q}(a)$.

Пусть $E$ --- расширение поля $F$, а $a$ и $b$ принадлежат $E$. Докажите, что $F(a, b) = F(a)(b) = F(b)(a)$.

Найдите поле разложения $x^{4}+x^{2}+1 = (x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)$ над $\mathbb {Q}$.

Докажите, что $\mathbb {Q}(2^{1/3}) = \mathbb {Q}(2^{2/3})$.

Пусть $F$ --- поле, а $a$ и $b$ принадлежат $F$, причём $a \neq 0$. Если $c$ принадлежит некоторому расширению поля $F$, докажите, что $F(c) = F(ac+b)$. ($F$ «поглощает» свои собственные элементы.)

Пусть $F = \mathbb {Z}_{2}$ и $f(x) = x^{3}+x+1 \in F[x]$. Предположим, что $a$ --- нуль $f(x)$ в некотором расширении поля $F$. Сколько элементов имеет $F(a)$? Выразите каждый элемент $F(a)$ через $a$. Выпишите полную таблицу умножения для $F(a)$.

Пусть $F(a)$ --- поле, описанное в упражнении 8. Выразите каждое из $a^{5}, a^{-2}$ и $a^{100}$ в виде $c_{2}a^{2}+c_{1}a+c_{0}$.

Пусть $F(a)$ --- поле, описанное в упражнении 8. Покажите, что $a^{2}$ и $a^{2}+a$ являются нулями $x^{3}+x+1$.

Опишите элементы $\mathbb {Q}(\pi )$.

Пусть $F = \mathbb {Q}(\pi^{3})$. Найдите базис $F(\pi )$ над $F$.

Представьте $x^{7}-x$ в виде произведения линейных множителей над $\mathbb {Z}_{3}$. Сделайте то же для $x^{10}-x$.

Найдите все кольцевые автоморфизмы $\mathbb {Q}(\sqrt{5})$. Найдите все кольцевые автоморфизмы $\mathbb {Q}(\sqrt[3]{5})$.

Пусть $F$ --- поле характеристики $p$ и $f(x) = x^{p}-a \in F[x]$. Покажите, что $f(x)$ неприводим над $F$ или $f(x)$ разлагается на линейные множители над $F$.

Предположим, что $\beta$ --- нуль $f(x) = x^{4}+x+1$ в некотором расширении $E$ поля $\mathbb {Z}_{2}$. Представьте $f(x)$ в виде произведения линейных множителей в $E[x]$.

Найдите $a, b, c$ из $\mathbb {Q}$ такие, что $(1+\sqrt[3]{4})/(2-\sqrt[3]{2}) = a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}$.

Заметим, что такие $a, b, c$ существуют, поскольку $(1+\sqrt[3]{4})/(2-\sqrt[3]{2}) \in \mathbb {Q}(\sqrt[3]{2}) = \left\{ a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4} \mid a, b, c \in \mathbb {Q}\right\}$.

Выразите $(3+4\sqrt{2})^{-1}$ в виде $a+b\sqrt{2}$, где $a, b \in \mathbb {Q}$.

Покажите, что $\mathbb {Q}(4-i) = \mathbb {Q}(1+i)$, где $i = \sqrt{-1}$.

Найдите многочлен $p(x)$ из $\mathbb {Q}^{x}$ такой, что $\mathbb {Q}(\sqrt{1+\sqrt{5}})$ изоморфно как кольцо $\mathbb {Q}^{x}/ \left\langle p(x)\right\rangle$.

Пусть $f(x) \in F[x]$ и $a \in F$. Покажите, что $f(x)$ и $f(x+a)$ имеют одно и то же поле разложения над $F$.

Напомним, что два многочлена $f(x)$ и $g(x)$ из $F[x]$ называются взаимно простыми, если не существует многочлена положительной степени из $F[x]$, который делит и $f(x)$, и $g(x)$. Покажите, что если $f(x)$ и $g(x)$ взаимно просты в $F[x]$, то они взаимно просты и в $K[x]$, где $K$ --- любое расширение поля $F$.

Определите все подполя $\mathbb {Q}(\sqrt{2})$.

Опишите элементы расширения поля $\mathbb {Q}(\sqrt[4]{2})$ над полем $\mathbb {Q}(\sqrt{2})$.

Что можно сказать о порядке поля разложения $x^{5}+x^{4}+1 = (x^{2}+x+1)(x^{3}+x+1)$ над $\mathbb {Z}_{2}$?

Найдите поле разложения $x^{4}+1$ над $\mathbb {Q}$.

Представьте $x^{3}+2x+1$ в виде произведения линейных многочленов над некоторым расширением поля $\mathbb {Z}_{3}$.

Представьте $x^{8}-x$ в виде произведения неприводимых многочленов над $\mathbb {Z}_{2}$.

Докажите или опровергните, что $\mathbb {Q}(\sqrt{3})$ и $\mathbb {Q}(\sqrt{-3})$ изоморфны как кольца.

Для любого простого $p$ найдите поле характеристики $p$, которое не является совершенным.

Если $\beta$ --- нуль $x^{2}+x+2$ над $\mathbb {Z}_{5}$, найдите другой нуль.

Покажите, что $x^{4}+x+1$ над $\mathbb {Z}_{2}$ не имеет кратных нулей ни в каком расширении поля $\mathbb {Z}_{2}$.

Покажите, что $x^{21}+2x^{8}+1$ не имеет кратных нулей ни в каком расширении $\mathbb {Z}_{3}$.

Теорема 19.5 (Критерий кратных нулей): многочлен $f(x)$ над полем $F$ имеет кратный нуль в некотором расширении $E$ тогда и только тогда, когда $f(x)$ и $f'(x)$ имеют общий множитель положительной степени в $F[x]$.

Покажите, что $x^{19}+x^{8}+1$ имеет кратные нули в некотором расширении $\mathbb {Z}_{3}$.

Пусть $F$ --- поле характеристики $p \neq 0$. Покажите, что многочлен $f(x) = x^{p^{n}}-x$ над $F$ имеет различные нули.

Теорема 19.5 (Критерий кратных нулей): многочлен $f(x)$ над полем $F$ имеет кратный нуль в некотором расширении $E$ тогда и только тогда, когда $f(x)$ и $f'(x)$ имеют общий множитель положительной степени в $F[x]$.

Найдите поле разложения $f(x) = (x^{2}+x+2)(x^{2}+2x+2)$ над $\mathbb {Z}_{3}$. Каков порядок поля разложения? Представьте $f(x)$ в виде произведения линейных множителей над $\mathbb {Z}_{3}$.

Пусть $F$ --- поле, а $E$ --- расширение поля $F$, содержащее $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$. Докажите, что $F(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n})$ есть пересечение всех подполей $E$, содержащих $F$ и множество $\left\{ a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}\right\}$. (На это упражнение ссылаются в данной главе.)

Найдите поле разложения $x^{4}-x^{2}-2$ над $\mathbb {Z}_{3}$.

Предположим, что $f(x)$ --- неприводимый многочлен пятой степени над $\mathbb {Z}_{2}$. Докажите, что каждый нетождественный элемент является образующим циклической группы $(\mathbb {Z}_{2}[x]/ \left\langle f(x)\right\rangle )^{*}$.

Покажите, что $\mathbb {Q}(\sqrt{7}, i)$ является полем разложения для $x^{4}-6x^{2}-7$.

Предположим, что $p(x)$ --- квадратичный многочлен с рациональными коэффициентами, неприводимый над $\mathbb {Q}$. Покажите, что $p(x)$ имеет два нуля в $\mathbb {Q}^{x}/ \left\langle p(x)\right\rangle$.

Если $p(x) \in F[x]$ и $\deg p(x) = n$, покажите, что поле разложения $p(x)$ имеет не более $n!$ базисных элементов над $F$.

Пусть $p$ --- простое число, $F = \mathbb {Z}_{p}(t)$ (поле частных кольца $\mathbb {Z}_{p}[x]$) и $f(x) = x^{p}-t$. Докажите, что $f(x)$ неприводим над $F$ и имеет кратный нуль в $K = F[x]/ \left\langle x^{p}-t\right\rangle$.

Пусть $f(x)$ --- неприводимый многочлен над полем $F$. Докажите, что число различных нулей $f(x)$ в поле разложения делит $\deg f(x)$.

Пусть $n$ --- чётное положительное целое, а $F$ --- конечное поле характеристики $2$. Объясните, почему разложение $x^{n}-x$ на неприводимые множители над $F$ не может иметь вид

Пусть $F$ --- конечное поле характеристики $2$ и $f(x)$ принадлежит $F[x]$. Если разложение $f(x)$ на неприводимые множители над $F$ имеет вид $x(x-1)g_{1}(x)g_{2}(x) \cdots g_{k}(x)$, где $g_{i}(x)$ нелинейны, каково максимальное число квадратных множителей в произведении?

Каково поле разложения $f(x) = x^{3}-2$ над $\mathbb {Q}(\sqrt[3]{2})$? Каково поле разложения над $\mathbb {Q}(\sqrt{3}i)$?

Предположим, что $a$ --- нуль $x^{3}-x-1$ в некотором расширении поля $\mathbb {Z}_{3}$. Представьте $(a^{2}+a)(a^{2}+1)$ в виде $a_{2}a^{2}+a_{1}a+a_{0}$, где $a_{2}, a_{1}, a_{0} \in \mathbb {Z}_{3}$.

Существует ли расширение поля $\mathbb {Z}_{5}(\alpha )$ поля $\mathbb {Z}_{5}$, где $\alpha$ не принадлежит $\mathbb {Z}_{5}$, такое, что $\mathbb {Z}_{5}(\alpha ) = \left\{ a\alpha +b \mid a, b \in \mathbb {Z}_{5}\right\}$ и $\alpha^{2} = 2\alpha +1$? Обоснуйте ответ.

Существует ли расширение $F(\alpha )$ поля $F$, где $\alpha$ не принадлежит $F$, такое, что $F(\alpha ) = \left\{ a\alpha +b \mid a, b \in F\right\}$ и $\alpha^{2} = \alpha +2$? Обоснуйте ответ.

Предположим, что $x^{2}+1$ и $x^{2}+x+1$ не имеют нулей в поле $F$. Если $\alpha$ --- нуль $x^{2}+1$ в некотором расширении $E$ поля $F$, а $\beta$ --- нуль $x^{2}+x+1$ в $E$, докажите, что $\alpha$ не принадлежит $F(\beta )$ и $\beta$ не принадлежит $F(\alpha )$.

Приведите бесконечно много примеров расширений $F_{0}, F_{1}, F_{2}, \ldots$ поля $\mathbb {Q}$, в которых $x^{2}+1$ разлагается на линейные множители.