Делимость в областях целостности

Для кольца $\mathbb {Z}^{\sqrt{d}} = \left\{ a+b\sqrt{d} \mid a, b \in \mathbb {Z}\right\}$, где $d \neq 1$ и $d$ не делится на квадрат простого числа, докажите, что норма $N(a+b\sqrt{d}) = \left|a^{2}-db^{2}\right|$ удовлетворяет четырём утверждениям, сформулированным перед примером 1. (На это упражнение ссылаются в данной главе.)

Четыре утверждения: $N(x) = 0$ тогда и только тогда, когда $x = 0$; $N(xy) = N(x)N(y)$ для любых $x$ и $y$; $x$ является обратимым элементом тогда и только тогда, когда $N(x) = 1$; и если $N(x)$ простое, то $x$ неприводим в $\mathbb {Z}^{\sqrt{d}}$.

В области целостности покажите, что $a$ и $b$ ассоциированы тогда и только тогда, когда $\left\langle a\right\rangle = \left\langle b\right\rangle$.

Покажите, что объединение цепи $I_{1} \subset I_{2} \subset \cdots$ идеалов кольца $R$ является идеалом $R$. (На это упражнение ссылаются в данной главе.)

В области целостности покажите, что произведение неприводимого элемента и обратимого элемента неприводимо.

Пусть $a$ и $b$ принадлежат области целостности и $b \neq 0$. Покажите, что $\left\langle ab\right\rangle$ является собственным подмножеством $\left\langle b\right\rangle$ тогда и только тогда, когда $a$ не является обратимым элементом. На это упражнение ссылаются в данной главе.

Пусть $D$ --- область целостности. Определим $a \sim b$, если $a$ и $b$ ассоциированы. Покажите, что это задаёт отношение эквивалентности на $D$.

В обозначениях примера 7 (кольцо гауссовых целых $\mathbb {Z}^{i} = \left\{ a+bi \mid a, b \in \mathbb {Z}\right\}$ с $d(a+bi) = a^{2}+b^{2}$) покажите, что $d(xy) = d(x)d(y)$.

Пусть $D$ --- евклидово кольцо с функцией $d$. Докажите, что $u$ является обратимым элементом в $D$ тогда и только тогда, когда $d(u) = d(1)$.

Пусть $D$ --- евклидово кольцо с функцией $d$. Покажите, что если $a$ и $b$ ассоциированы в $D$, то $d(a) = d(b)$.

Пусть $D$ --- область главных идеалов и $p \in D$. Докажите, что $\left\langle p\right\rangle$ является максимальным идеалом в $D$ тогда и только тогда, когда $p$ неприводим.

Пусть $d$ --- целое число, меньшее $-1$, которое не делится на квадрат простого числа. Докажите, что единственными обратимыми элементами $\mathbb {Z}^{\sqrt{d}}$ являются $+1$ и $-1$.

Пусть $D$ --- область главных идеалов. Покажите, что каждый собственный идеал $D$ содержится в максимальном идеале $D$.

В $\mathbb {Z}^{\sqrt{-5}}$ покажите, что $21$ не разлагается единственным образом в произведение неприводимых элементов.

Покажите, что $1-i$ неприводим в $\mathbb {Z}^{i}$.

Покажите, что $\mathbb {Z}^{\sqrt{-6}}$ не является факториальным кольцом. Почему отсюда следует, что $\mathbb {Z}^{\sqrt{-6}}$ не является областью главных идеалов?

Приведите пример факториального кольца с подкольцом, в котором разложение на множители не единственно.

В $\mathbb {Z}^{i}$ покажите, что $3$ неприводимо, а $2$ и $5$ нет.

Докажите, что $7$ неприводимо в $\mathbb {Z}^{\sqrt{6}}$, хотя $N(7)$ не является простым числом.

Докажите, что если $p$ --- простое число в $\mathbb {Z}$, представимое в виде $a^{2}+b^{2}$, то $a+bi$ неприводимо в $\mathbb {Z}^{i}$. Найдите три простых числа с этим свойством и соответствующие неприводимые элементы.

Докажите, что $\mathbb {Z}^{\sqrt{-3}}$ не является областью главных идеалов.

В $\mathbb {Z}^{\sqrt{-5}}$ докажите, что $1+3\sqrt{-5}$ неприводимо, но не просто.

В $\mathbb {Z}^{\sqrt{5}}$ докажите, что и $2$, и $1+\sqrt{5}$ неприводимы, но не просты.

Докажите, что $\mathbb {Z}^{\sqrt{5}}$ не является факториальным кольцом.

Пусть $F$ --- поле. Покажите, что в $F[x]$ ненулевой простой идеал является максимальным идеалом.

Проследите рассуждение из примера 7 и найдите $q$ и $r$ в $\mathbb {Z}^{i}$ такие, что $3-4i = (2+5i)q+r$ и $d(r) < d(2+5i)$.

В $\mathbb {Z}^{\sqrt{2}} = \left\{ a+b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb {Z}\right\}$ покажите, что каждый элемент вида $(3+2\sqrt{2})^{n}$ является обратимым элементом, где $n$ --- положительное целое число.

Если $a$ и $b$ принадлежат $\mathbb {Z}^{\sqrt{d}}$, где $d$ не делится на квадрат простого числа и $ab$ является обратимым элементом, докажите, что $a$ и $b$ являются обратимыми элементами.

Для коммутативного кольца с единицей можно определить ассоциированные элементы, неприводимые элементы и простые элементы точно так же, как для областей целостности. С этими определениями покажите, что и $2$, и $3$ просты в $\mathbb {Z}_{12}$, но $2$ неприводимо, а $3$ нет.

Пусть $n$ --- положительное целое число и $p$ --- простой делитель $n$. Докажите, что $p$ является простым элементом $\mathbb {Z}_{n}$. (См. упражнение 28.)

Пусть $p$ --- простой делитель положительного целого числа $n$. Докажите, что $p$ неприводимо в $\mathbb {Z}_{n}$ тогда и только тогда, когда $p^{2}$ делит $n$. (См. упражнение 28.)

Докажите или опровергните: если $D$ --- область главных идеалов, то $D[x]$ --- область главных идеалов.

Определите обратимые элементы в $\mathbb {Z}^{i}$.

Пусть $p$ --- простой элемент области целостности. Если $p \mid a_{1}a_{2} \cdots a_{n}$, докажите, что $p$ делит некоторое $a_{i}$. (На это упражнение ссылаются в данной главе.)

Покажите, что $3x^{2}+4x+3 \in \mathbb {Z}_{5}[x]$ разлагается как $(3x+2)(x+4)$ и как $(4x+1)(2x+3)$. Объясните, почему это не противоречит следствию теоремы 18.3.

Следствие ($F[x]$ является факториальным кольцом): пусть $F$ --- поле. Тогда $F[x]$ является факториальным кольцом.

Пусть $D$ --- область главных идеалов, а $p$ --- неприводимый элемент $D$. Докажите, что $D/ \left\langle p\right\rangle$ является полем.

Покажите, что область целостности, в которой всякая строго убывающая цепь идеалов $I_{1} \supset I_{2} \supset \cdots$ должна иметь конечную длину, является полем.

Идеал $A$ коммутативного кольца $R$ с единицей называется конечно порождённым, если существуют элементы $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ из $A$ такие, что $A = \left\langle a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}\right\rangle$. Область целостности $R$ называется удовлетворяющей условию обрыва возрастающих цепей, если всякая строго возрастающая цепь идеалов $I_{1} \subset I_{2} \subset \cdots$ должна иметь конечную длину. Покажите, что область целостности $R$ удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей тогда и только тогда, когда каждый идеал $R$ конечно порождён.

Докажите или опровергните: подкольцо евклидова кольца является евклидовым кольцом.

Покажите, что для любого нетривиального идеала $I$ кольца $\mathbb {Z}^{i}$ фактор-кольцо $\mathbb {Z}^{i}/I$ конечно.

Найдите обратный к $1+\sqrt{2}$ в $\mathbb {Z}^{\sqrt{2}}$. Каков мультипликативный порядок $1+\sqrt{2}$?

В $\mathbb {Z}^{\sqrt{-7}}$ покажите, что $N(6+2\sqrt{-7}) = N(1+3\sqrt{-7})$, но $6+2\sqrt{-7}$ и $1+3\sqrt{-7}$ не ассоциированы.

Пусть $R = \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \cdots$ (множество всех последовательностей целых чисел с покоординатными сложением и умножением). Покажите, что у $R$ имеются идеалы $I_{1}, I_{2}, I_{3}, \ldots$ со свойством $I_{1} \subset I_{2} \subset I_{3} \subset \cdots$. (Таким образом, $R$ не удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей.)

Докажите, что в факториальном кольце элемент неприводим тогда и только тогда, когда он прост.

Пусть $F$ --- поле, а $R$ --- область целостности в $F[x]$, порождённая $x^{2}$ и $x^{3}$. (То есть $R$ содержится в каждой области целостности в $F[x]$, содержащей $x^{2}$ и $x^{3}$.) Покажите, что $R$ не является факториальным кольцом.

Докажите, что для всякого поля $F$ в $F[x]$ имеется бесконечно много неприводимых элементов.

Докажите, что $\mathbb {Z}^{\sqrt{-2}}$ и $\mathbb {Z}^{\sqrt{2}}$ являются факториальными кольцами.

Представьте и $13$, и $5+i$ в виде произведений неприводимых элементов из $\mathbb {Z}^{i}$.

Найдите ошибку в утверждении, показанном на рисунке 18.2.

Пусть $I$ --- ненулевой идеал области главных идеалов $R$. Докажите, что $R/I$ имеет конечное число идеалов.