Разложение многочленов на множители

Проверьте утверждение, сделанное в примере 2 (многочлен $f(x) = 2x^{2}+4$ неприводим над $\mathbb {R}$, но приводим над $\mathbb {C}$).

Пусть $D$ --- область целостности, а $F$ --- поле, содержащее $D$. Если $f(x) \in D[x]$ и $f(x)$ неприводим над $F$, но приводим над $D$, что можно сказать о разложении $f(x)$ над $D$?

Покажите, что непостоянный многочлен из $\mathbb {Z}^{x}$, неприводимый над $\mathbb {Z}$, примитивен. (На это упражнение ссылаются в данной главе.)

Пусть $f(x) = x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0} \in \mathbb {Z}^{x}$. Если $r$ рационально и $x-r$ делит $f(x)$, покажите, что $r$ целое.

Пусть $F$ --- поле, а $a$ --- ненулевой элемент $F$.

Пусть $F$ --- поле и $f(x) \in F[x]$. Покажите, что при определении неприводимости $f(x)$ над $F$ можно считать, что $f(x)$ нормирован. (Это предположение полезно при проверке неприводимости с помощью компьютера.)

Предположим, что существует действительное число $r$ такое, что $r+1/r$ есть нечётное целое число. Докажите, что $r$ иррационально.

Покажите, что уравнение $x^{2}-7y^{2} = 3$ не имеет решений в целых числах.

Объясните, как проверка неприводимости по модулю $p$ (теорема 17.3) может быть использована для проверки неприводимости элементов $\mathbb {Q}^{x}$.

Пусть $f(x) \in \mathbb {Z}_{p}[x]$ и $f(x)$ неприводим над $\mathbb {Z}_{p}$, где $p$ --- простое число. Если $\deg f(x) = n$, докажите, что $\mathbb {Z}_{p}[x]/ \left\langle f(x)\right\rangle$ является полем с $p^{n}$ элементами.

Постройте поле порядка $25$.

Постройте поле порядка $27$.

Покажите, что $x^{3}+x^{2}+x+1$ приводим над $\mathbb {Q}$. Противоречит ли этот факт следствию к теореме 17.4?

Следствие (неприводимость $p$-го циклотомического многочлена): для любого простого $p$ $p$-й циклотомический многочлен $\Phi_{p}(x) = (x^{p}-1)/(x-1) = x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +x+1$ неприводим над $\mathbb {Q}$.

Определите, какие из приведённых ниже многочленов неприводимы над $\mathbb {Q}$.

Обращаясь к полю из примера 10 и обозначая смежный класс только его представителем, найдите представителей для $(x^{2}+x)^{2}$ и $(x^{2}+x)^{-1}$.

Пусть $F$ обозначает поле из примера 10, а $F^{*}$ --- мультипликативная подгруппа $F$. Докажите, что для любого элемента $a$ из $F^{*}$, отличного от единицы, циклическая подгруппа, порождённая $a$, совпадает с $F^{*}$. Верно ли то же для поля $F$, если $\left|F\right| = 32$? А если $\left|F\right| = 16$?

Что можно заключить о многочлене $f(x)$ из $\mathbb {Z}^{x}$, если $f(x)$ неприводим над $\mathbb {Z}_{p}[x]$ для некоторого простого $p$ (то есть когда коэффициенты $f(x)$ приведены по модулю $p$)? Что можно заключить о многочлене $f(x)$ из $\mathbb {Z}^{x}$, если $f(x)$ приводим над $\mathbb {Z}_{p}[x]$ для каждого простого $p$ (то есть когда коэффициенты $f(x)$ приведены по модулю $p$)?

Пусть $f(x) \in \mathbb {Z}_{2}[x]$ и $\deg f(x) = 5$. Если ни $0$, ни $1$ не являются корнями $f(x)$, объясните, почему для доказательства неприводимости $f(x)$ над $\mathbb {Z}_{2}$ достаточно показать, что $x^{2}+x+1$ не является множителем $f(x)$.

Для поля $\mathbb {Z}_{7}[x]/I$, где $I = \left\langle x^{2}+2\right\rangle$, найдите мультипликативные порядки $x+I$ и $x+1+I$. Найдите мультипликативно обратный элемент для $x+I$.

Пусть $F$ --- поле и $f(x) \in F[x]$ приводим над $F$, причём $\deg f(x) > 1$. Докажите, что $F[x]/ \left\langle f(x)\right\rangle$ не является областью целостности.

Покажите, что $x^{4}+1$ неприводим над $\mathbb {Q}$.

Пусть $f(x) = ax^{4}+bx^{2}+c \in \mathbb {Z}^{x}$. Если $p(x)$ является множителем $f(x)$ в $\mathbb {Z}^{x}$, докажите, что $p(-x)$ также является множителем $f(x)$ в $\mathbb {Z}^{x}$.

Пусть $f(x) = x^{3}+6 \in \mathbb {Z}_{7}[x]$. Запишите $f(x)$ как произведение неприводимых многочленов над $\mathbb {Z}_{7}$.

Пусть $f(x) = x^{3}+x^{2}+x+1 \in \mathbb {Z}_{2}[x]$. Запишите $f(x)$ как произведение неприводимых многочленов над $\mathbb {Z}_{2}$.

Докажите, что $x^{4}+15x^{3}+7$ неприводим над $\mathbb {Q}$.

Найдите подстановкой все корни $f(x) = 3x^{2}+x+4$ над $\mathbb {Z}_{7}$. Найдите все корни $f(x)$ по квадратной формуле $(-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}) \cdot (2a)^{-1}$ (все вычисления производятся в $\mathbb {Z}_{7}$). Совпадают ли ответы? Должны ли они совпадать? Найдите подстановкой все корни $g(x) = 2x^{2}+x+3$ над $\mathbb {Z}_{5}$. Примените квадратную формулу к $g(x)$. Совпадают ли ответы? Сформулируйте необходимые и достаточные условия того, чтобы квадратная формула давала корни квадратного многочлена из $\mathbb {Z}_{p}[x]$, где $p$ --- простое число, большее $2$.

Пусть $p$ --- простое число.

Пусть $p$ --- простое число.

Покажите, что для каждого простого $p$ существует поле порядка $p^{2}$.

Докажите, что для каждого положительного целого $n$ существует бесконечно много нормированных многочленов степени $n$ из $\mathbb {Z}^{x}$, неприводимых над $\mathbb {Q}$.

Покажите, что поле, данное в примере 11 этой главы, изоморфно полю, данному в примере 9 главы 13.

Пусть $f(x) \in \mathbb {Z}_{p}[x]$. Докажите, что если $f(x)$ не имеет множителя вида $x^{2}+ax+b$, то у него нет квадратного множителя над $\mathbb {Z}_{p}$.

Найдите все нормированные неприводимые многочлены степени $2$ над $\mathbb {Z}_{3}$.

Учитывая, что $\pi$ не является корнем ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами, докажите, что $\pi^{2}$ нельзя записать в виде $a\pi +b$, где $a$ и $b$ рациональны.

(Теорема о рациональном корне) Пусть

и $a_{n} \neq 0$. Докажите, что если $r$ и $s$ --- взаимно простые целые числа и $f(r/s) = 0$, то $r \mid a_{0}$ и $s \mid a_{n}$.

Пусть $F$ --- поле и $p(x), a_{1}(x), a_{2}(x), \ldots , a_{k}(x) \in F[x]$, где $p(x)$ неприводим над $F$. Если $p(x) \mid a_{1}(x)a_{2}(x) \cdots a_{k}(x)$, покажите, что $p(x)$ делит некоторый $a_{i}(x)$. (На это упражнение ссылаются в доказательстве теоремы 17.6.)

Теорема 16.4 ($F[x]$ является областью главных идеалов): пусть $F$ --- поле. Тогда $F[x]$ является областью главных идеалов.

Пусть $F$ --- поле и $p(x) \in F[x]$. Используйте теорему 14.4, чтобы доказать: если $\left\langle p(x)\right\rangle$ является максимальным идеалом в $F[x]$, то $p(x)$ неприводим над $F$ (см. теорему 17.5).

Если $p$ --- простое число, докажите, что $x^{p-1}-x^{p-2}+x^{p-3}-\cdots -x+1$ неприводим над $\mathbb {Q}$.

Пусть $F$ --- поле и $p(x)$ неприводим над $F$. Если $E$ --- поле, содержащее $F$, и в $E$ есть элемент $a$ такой, что $p(a) = 0$, покажите, что отображение $\varphi : F[x] \rightarrow E$, заданное формулой $f(x) \rightarrow f(a)$, является гомоморфизмом колец с ядром $\left\langle p(x)\right\rangle$. (На это упражнение ссылаются в главе 19.)

Докажите, что идеал $\left\langle x^{2}+1\right\rangle$ является простым в $\mathbb {Z}^{x}$, но не является максимальным в $\mathbb {Z}^{x}$.

Пусть $F$ --- поле и $p(x)$ неприводим над $F$. Покажите, что $\left\{ a+ \left\langle p(x)\right\rangle \mid a \in F\right\}$ является подполем $F[x]/ \left\langle p(x)\right\rangle$, изоморфным $F$. (На это упражнение ссылаются в главе 19.)

Пусть $F$ --- поле и $f(x)$ --- многочлен из $F[x]$, приводимый над $F$. Докажите, что $\left\langle f(x)\right\rangle$ не является простым идеалом в $F[x]$.

Пример 1 этой главы показывает, что обратное к теореме 17.2 утверждение неверно. То есть многочлен $f(x)$ из $\mathbb {Z}^{x}$ может быть приводим над $\mathbb {Z}$, но неприводим над $\mathbb {Q}$. Сформулируйте условие на $f(x)$, при котором обратное утверждение верно.