Кольца многочленов

Пусть $f(x) = 4x^{3}+2x^{2}+x+3$ и $g(x) = 3x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+x+4$, где $f(x), g(x) \in \mathbb {Z}_{5}[x]$. Вычислите $f(x)+g(x)$ и $f(x) \cdot g(x)$.

В $\mathbb {Z}_{3}[x]$ покажите, что различные многочлены $x^{4}+x$ и $x^{2}+x$ задают одну и ту же функцию из $\mathbb {Z}_{3}$ в $\mathbb {Z}_{3}$.

Покажите, что $x^{2}+3x+2$ имеет четыре нуля в $\mathbb {Z}_{6}$.

Если $R$ --- коммутативное кольцо, покажите, что характеристика $R[x]$ совпадает с характеристикой $R$.

Докажите, что теорема 16.2 и её следствия верны для $D[x]$, где $D$ --- область целостности, а старший коэффициент $g(x)$ является обратимым элементом.

Теорема 16.2 (алгоритм деления для $F[x]$): пусть $F$ --- поле и $f(x), g(x) \in F[x]$, причём $g(x) \neq 0$. Тогда существуют единственные многочлены $q(x)$ и $r(x)$ из $F[x]$ такие, что $f(x) = g(x)q(x)+r(x)$ и либо $r(x) = 0$, либо $\deg r(x) < \deg g(x)$. Её следствия: следствие 1 (теорема об остатке) --- для $a \in F$ и $f(x) \in F[x]$ значение $f(a)$ является остатком при делении $f(x)$ на $x-a$; следствие 2 (теорема о множителе) --- $a$ является нулём $f(x)$ тогда и только тогда, когда $x-a$ является множителем $f(x)$.

Перечислите все многочлены степени 2 из $\mathbb {Z}_{2}[x]$. Какие из них равны как функции из $\mathbb {Z}_{2}$ в $\mathbb {Z}_{2}$?

Докажите, что каждый элемент кольца полиномиальных функций из $\mathbb {Z}_{3}$ в $\mathbb {Z}_{3}$ с обычными определениями сложения и умножения можно записать в виде $ax^{2}+bx+c$, где $a, b, c \in \mathbb {Z}_{3}$. Обобщите на $\mathbb {Z}_{p}$, где $p$ простое.

Докажите, что кольцо полиномиальных функций с коэффициентами из $\mathbb {Z}_{3}$ и обычными определениями сложения и умножения не является областью целостности. Почему это утверждение не противоречит теореме 16.1?

Теорема 16.1 ($D$ --- область целостности влечёт, что $D[x]$ --- область целостности): если $D$ --- область целостности, то $D[x]$ --- область целостности.

Представьте $x^{3}+x^{2}-2$ в виде произведения линейных множителей в $\mathbb {Z}_{3}[x]$.

Для любого положительного целого $n$ сколько существует многочленов степени $n$ над $\mathbb {Z}_{2}$? Сколько существует различных полиномиальных функций из $\mathbb {Z}_{2}$ в $\mathbb {Z}_{2}$?

Пусть $f(x) = 5x^{4}+3x^{3}+1$ и $g(x) = 3x^{2}+2x+1$ принадлежат $\mathbb {Z}_{7}[x]$. Найдите частное и остаток при делении $f(x)$ на $g(x)$.

Найдите многочлен с вещественными коэффициентами, имеющий $i$ и $2+i$ своими нулями.

Если $\varphi : R \rightarrow S$ --- гомоморфизм колец, определим $\bar{\varphi }: R[x] \rightarrow S[x]$ посредством $(a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0}) \rightarrow \varphi (a_{n})x^{n}+\cdots +\varphi (a_{0})$. Покажите, что $\bar{\varphi }$ является гомоморфизмом колец. (Это упражнение упоминается в главах 17 и 31.)

Если кольца $R$ и $S$ изоморфны, покажите, что $R[x]$ и $S[x]$ изоморфны. (Обратное неверно.)

Докажите, что $\mathbb {Z}_{4}[x]$ содержит бесконечно много обратимых элементов и бесконечно много нильпотентных элементов.

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ --- кубические многочлены с целыми коэффициентами, такие, что $f(a) = g(a)$ для четырёх целых значений $a$. Докажите, что $f(x) = g(x)$. Обобщите.

Покажите, что многочлен $2x+1$ из $\mathbb {Z}_{4}[x]$ имеет мультипликативный обратный в $\mathbb {Z}_{4}[x]$.

Покажите, что теорема 16.4 неверна для всякого коммутативного кольца, имеющего делитель нуля.

Теорема 16.4 (используемая здесь для сравнения): $F[x]$ является областью главных идеалов, если $F$ --- поле.

(Правило степени) Пусть $D$ --- область целостности и $f(x), g(x) \in D[x]$. Докажите, что $\deg (f(x) \cdot g(x)) = \deg f(x)+\deg g(x)$. Покажите на примере, что для коммутативного кольца $R$ возможно $\deg f(x)g(x) < \deg f(x)+\deg g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ --- ненулевые элементы $R[x]$. (Это упражнение упоминается в этой главе, главах 17 и 18.)

Докажите, что единственными идемпотентными элементами в $\mathbb {Z}_{4}[x]$ являются $0$ и $1$.

Пусть $f(x)$ принадлежит $F[x]$, где $F$ --- поле. Пусть $a$ является нулём $f(x)$ кратности $n$, и $f(x) = (x-a)^{n}q(x)$. Если $b \neq a$ является нулём $q(x)$, покажите, что кратность $b$ как нуля $q(x)$ совпадает с его кратностью как нуля $f(x)$. (Это упражнение упоминается в этой главе.)

Докажите, что $x^{3}-x^{2}-4$ имеет нуль в каждом поле.

Пусть $R$ --- коммутативное кольцо. Для любого $r \in R$ докажите, что отображение из $R[x]$ в $R$, заданное формулой $\varphi (f(x)) = f(r)$, является гомоморфизмом колец. Это отображение называется гомоморфизмом подстановки.

Если $f(x) \in \mathbb {C}^{x}$ и $f(i) = 0$, докажите, что $f(i^{3}) = 0$.

Для каких простых $p$ многочлен $x-2$ является множителем $f(x) = x^{4}-2x-2$ над $\mathbb {Z}_{p}$?

Пусть $b$ --- обратимый элемент коммутативного кольца. Если $b$ является нулём $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$, докажите, что $b^{-1}$ является нулём $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}$.

Докажите, что для любого простого $p$ группа $U(p)$ циклическая.

Теорема 16.3 (многочлен степени $n$ имеет не более $n$ нулей): многочлен степени $n$ над полем имеет не более $n$ нулей с учётом кратностей.

Покажите, что кольцо $\mathbb {Z}_{4}[x]$ содержит бесконечно много элементов мультипликативного порядка $2$.

Приведите пример коммутативного кольца, содержащего многочлен степени 1, имеющий пять различных нулей.

Пусть $n > 1$ --- составное целое число. Покажите, что существует многочлен $f(x) \in \mathbb {Z}_{n}[x]$ степени $n-1$, имеющий $n$ различных нулей. (Сравните с теоремой 16.3, утверждающей, что многочлен степени $n$ над полем имеет не более $n$ нулей с учётом кратностей; смысл этого упражнения в том, что $\mathbb {Z}_n$ не является полем, когда $n$ не простое.)

Для любого поля $F$ напомним, что $F(x)$ обозначает поле частных кольца $F[x]$. Докажите, что в $F(x)$ нет элемента, квадрат которого равен $x$.

Приведите пример многочлена положительной степени из $\mathbb {Z}_{5}[x]$, обладающего свойством $f(a) = 1$ для всех $a \in \mathbb {Z}_{5}$.

Пусть $D$ --- область целостности. Докажите, что ни один непостоянный элемент $D[x]$ не может иметь мультипликативного обратного в $D[x]$.

Представьте $x^{3}+2x^{2}-x-2$ в виде произведения линейных многочленов над $\mathbb {Z}_{3}$.

Докажите, что $x^{3}-2x^{2}-9$ имеет нуль в каждом поле.

Пусть $F$ --- поле, а $f(x)$ и $g(x)$ --- ненулевые элементы $F[x]$. Докажите, что $\left\langle f(x)\right\rangle = \left\langle g(x)\right\rangle$ тогда и только тогда, когда $f(x) = cg(x)$ для некоторого $c$ из $F$.

Пусть $F$ --- поле и $I$ --- идеал $\left\{ f(x) \in F[x] \mid f(1) = 0 \text{ и } f(2) = 0\right\}$. Найдите элемент $g(x) \in F[x]$, такой что $I = \left\langle g(x)\right\rangle$.

Если единственным нильпотентным элементом в $\mathbb {Z}_{n}$ является $0$, докажите, что ни один элемент положительной степени в $\mathbb {Z}_{n}[x]$ не является идемпотентом.

Найдите все нули $x^{9}+1$ в $\mathbb {Z}_{17}[x]$.

Докажите, что $\mathbb {Q}^{x}/ \left\langle x^{2}+1\right\rangle$ изоморфно как кольцо подполю комплексных чисел $\mathbb {Q}(i) = \left\{ a+bi \mid a, b \in \mathbb {Q}\right\}$.

Покажите, что $x+1$ является делителем $f(x) = x^{25}+1$ в $\mathbb {Z}_{37}$, но $(x+1)^{2}$ им не является.

Предположим, что $f(x) \in \mathbb {Z}_{5}[x]$ --- непостоянный многочлен со свойством $f(a) = 2$ для всех $a \in \mathbb {Z}_{5}$. Какова наименьшая возможная степень $f(x)$?

Пусть $F$ --- поле, а $f(x)$ и $g(x)$ принадлежат $F[x]$ и не равны одновременно нулю. Если не существует многочлена положительной степени из $F[x]$, делящего как $f(x)$, так и $g(x)$, докажите, что существуют многочлены $h(x)$ и $k(x)$ из $F[x]$ со свойством $f(x)h(x)+g(x)k(x) = 1$. (Это упражнение упоминается в главе 19.)

Если $F$ --- поле, $f(x)$ и $g(x)$ принадлежат $F[x]$ и не равны одновременно нулю, то многочлен $d(x)$ из $F[x]$ называется наибольшим общим делителем $f(x)$ и $g(x)$, если $d(x)$ делит как $f(x)$, так и $g(x)$ и $d(x)$ имеет максимальную степень среди всех таких многочленов. Докажите, что для любых $f(x)$ и $g(x)$ из $F[x]$, не равных одновременно нулю, $\left\langle f(x), g(x)\right\rangle = \left\langle d(x)\right\rangle$, где $d(x)$ --- наибольший общий делитель $f(x)$ и $g(x)$. Докажите, что для любых $f(x)$ и $g(x)$ из $F[x]$, не равных одновременно нулю, существует единственный нормированный многочлен, являющийся наибольшим общим делителем $f(x)$ и $g(x)$.

В $\mathbb {Z}^{x}$ докажите, что идеал $I = \left\langle x, 2\right\rangle$ не является главным идеалом.

Пусть $F$ --- бесконечное поле и $f(x), g(x) \in F[x]$. Если $f(a) = g(a)$ для бесконечно многих элементов $a$ поля $F$, покажите, что $f(x) = g(x)$.

Пусть $F$ --- поле и $p(x) \in F[x]$. Если $f(x), g(x) \in F[x]$, $\deg f(x) < \deg p(x)$ и $\deg g(x) < \deg p(x)$, покажите, что из $f(x)+ \left\langle p(x)\right\rangle = g(x)+ \left\langle p(x)\right\rangle$ следует $f(x) = g(x)$. (Это упражнение упоминается в главе 19.)

Найдите многочлен с целыми коэффициентами, имеющий $1/2$ и $-1/3$ своими нулями.

Докажите, что для любого фиксированного положительного целого $n$ число элементов поля, имеющих мультипликативный порядок не более $n$, не превосходит $1+2+\cdots +n$.

Пусть $f(x) \in \mathbb {R}^{x}$. Предположим, что $f(a) = 0$, но $f'(a) \neq 0$, где $f'(x)$ --- производная $f(x)$. Покажите, что $a$ является нулём $f(x)$ кратности $1$.

Покажите, что следствие 2 теоремы 16.2 верно над любым коммутативным кольцом с единицей.

Следствие 2 (теорема о факторе): пусть $F$ --- поле, $a \in F$ и $f(x) \in F[x]$. Тогда $a$ является нулём $f(x)$ тогда и только тогда, когда $x-a$ является делителем $f(x)$.

Покажите, что теорема 16.3 верна для многочленов над областями целостности.

Теорема 16.3 (многочлен степени $n$ имеет не более $n$ нулей): многочлен степени $n$ над полем имеет не более $n$ нулей с учётом кратности.

Пусть $F$ --- поле и

Покажите, что $I$ является идеалом $F[x]$, и найдите образующий идеала $I$.

Пусть $F$ --- поле и $f(x) = a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0} \in F[x]$. Докажите, что $x-1$ является делителем $f(x)$ тогда и только тогда, когда $a_{n}+a_{n-1}+\cdots +a_{0} = 0$.

Для любого простого $p$ докажите, что кольцо $\mathbb {Z}_{p^{2}}[x]$ имеет бесконечно много обратимых элементов.

Найдите бесконечно много многочленов $f(x)$ из $\mathbb {Z}_{3}[x]$ таких, что $f(a) = 0$ для всех $a$ из $\mathbb {Z}_{3}$.

Для каждого простого $p$ покажите, что

в $\mathbb {Z}_{p}[x]$.

(Теорема Вильсона) Для каждого целого $n > 1$ докажите, что $(n-1)! \bmod n = n-1$ тогда и только тогда, когда $n$ простое.

Для каждого простого $p$ покажите, что $(p-2)! \bmod p = 1$.

Найдите остаток от деления $98!$ на $101$.

Найдите элемент $a$ из $\mathbb {Z}_{5}$ такой, что $x+4$ является делителем $x^{48}+x^{21}+a$.

Пусть $\varphi$ --- гомоморфизм колец из $\mathbb {Q}^{x}$ в $\mathbb {Q}$, заданный формулой $\varphi (f(x)) = f(1)$. Найдите нормированный многочлен $g(x)$ из $\mathbb {Q}^{x}$ такой, что $\operatorname {Ker} \varphi = \left\langle g(x)\right\rangle$. Какому известному кольцу изоморфно $\mathbb {Q}^{x}/\operatorname {Ker} \varphi$?

Приведите пример поля, строго содержащего поле комплексных чисел $\mathbb {C}$.

Если $I$ --- идеал кольца $R$, докажите, что $I[x]$ является идеалом $R[x]$.

Приведите пример коммутативного кольца $R$ с единицей и максимального идеала $I$ кольца $R$ таких, что $I[x]$ не является максимальным идеалом $R[x]$.

Пусть $R$ --- коммутативное кольцо с единицей. Если $I$ --- простой идеал $R$, докажите, что $I[x]$ является простым идеалом $R[x]$.

Покажите, что $1$ является единственным решением $x^{25}-1 = 0$ в $\mathbb {Z}_{37}$.

Докажите, что $\mathbb {Q}^{x}/ \left\langle x^{2}-2\right\rangle$ изоморфно как кольцо $\mathbb {Q}(\sqrt{2}) = \left\{ a+b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb {Q}\right\}$.

Пусть $f(x) \in \mathbb {R}^{x}$. Если $f(a) = 0$ и $f'(a) = 0$, покажите, что $(x-a)^{2}$ делит $f(x)$.

Пусть $F$ --- поле и $I = \left\{ f(x) \in F[x] \mid f(a) = 0 \text{ для всех } a \text{ из } F\right\}$. Докажите, что $I$ является идеалом в $F[x]$. Докажите, что $I$ бесконечен, когда $F$ конечно, и $I = \left\{ 0\right\}$, когда $F$ бесконечно. Когда $F$ конечно, найдите нормированный многочлен $g(x)$ такой, что $I = \left\langle g(x)\right\rangle$.

Пусть $g(x)$ и $h(x)$ принадлежат $\mathbb {Z}^{x}$, причём $h(x)$ нормирован. Если $h(x)$ делит $g(x)$ в $\mathbb {Q}^{x}$, покажите, что $h(x)$ делит $g(x)$ в $\mathbb {Z}^{x}$. (Это упражнение упоминается в главе 31.)

Пусть $R$ --- кольцо, а $x$ --- неопределённая. Докажите, что кольца $R[x]$ и $R[x^{2}]$ изоморфны как кольца.

Пусть $f(x)$ --- непостоянный элемент $\mathbb {Z}^{x}$. Докажите, что $f(x)$ принимает бесконечно много значений в $\mathbb {Z}$.

Пусть $F$ --- поле. Найдите образующий идеала $I = \left\{ f(x) \in F(x) \mid f(0) = 0 \text{ и } f(1) = 0\right\}$. Обобщите.

Предположим, что $F$ --- поле и существует сюръективный гомоморфизм колец из $\mathbb {Z}$ в $F$. Покажите, что $F$ изоморфно $\mathbb {Z}_{p}$ для некоторого простого $p$.

Пусть $p$ --- простое, $b$ принадлежит $\mathbb {Z}_{p}$, а $f(x)$ принадлежит $\mathbb {Z}_{p}[x]$. Докажите, что если $f(b) = 0$, то $f(b^{p}) = 0$. Обобщите.

Предположим, что $f(x)$ --- многочлен с нечётными целыми коэффициентами и чётной степенью. Докажите, что $f(x)$ не имеет рациональных нулей.

Найдите остаток при делении $x^{51}$ на $x+4$ в $\mathbb {Z}_{7}[x]$.

Пусть $F$ --- поле. Покажите, что существуют $a, b \in F$ со свойством, что $x^{2}+x+1$ делит $x^{43}+ax+b$.