Гомоморфизмы колец

Докажите теорему 15.1.

Теорема 15.1 (Свойства гомоморфизмов колец): пусть $\phi$ --- гомоморфизм колец из кольца $R$ в кольцо $S$. Пусть $A$ --- подкольцо $R$, а $B$ --- идеал $S$.

1. Для любого $r \in R$ и любого положительного целого $n$ имеем $\phi (nr) = n\phi (r)$ и $\phi (r^n) = (\phi (r))^n$.

2. $\phi (A) = \left\{ \phi (a) \mid a \in A\right\}$ есть подкольцо $S$.

3. Если $A$ — идеал и $\phi$ сюръективно на $S$, то $\phi (A)$ — идеал.

4. $\phi^{-1}(B) = \left\{ r \in R \mid \phi (r) \in B\right\}$ есть идеал $R$.

5. Если $R$ коммутативно, то $\phi (R)$ коммутативно.

6. Если $R$ имеет единицу 1, $S \neq \left\{ 0\right\}$ и $\phi$ сюръективно, то $\phi (1)$ есть единица $S$, а обратимые элементы $R$ переходят в обратимые элементы $S$.

7. $\phi$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда $\phi$ сюръективно и $\ker \phi = \left\{ r \in R \mid \phi (r) = 0\right\} = \left\{ 0\right\}$.

8. Если $\phi$ — изоморфизм $R$ на $S$, то $\phi^{-1}$ — изоморфизм $S$ на $R$.

Докажите теорему 15.2.

Докажите теорему 15.3.

Теорема 15.3 (Первая теорема об изоморфизме для колец): пусть $\phi$ --- гомоморфизм колец из $R$ в $S$. Тогда отображение из $R/\ker \phi$ в $\phi (R)$, заданное правилом $r + \ker \phi \to \phi (r)$, является изоморфизмом. В обозначениях: $R/\ker \phi \approx \phi (R)$.

Докажите теорему 15.4.

Покажите, что соответствие $x \to 5x$ из $\mathbb {Z}_5$ в $\mathbb {Z}_{10}$ не сохраняет сложение.

Покажите, что соответствие $x \to 3x$ из $\mathbb {Z}_4$ в $\mathbb {Z}_{12}$ не сохраняет умножение.

Покажите, что отображение $\phi : D \to F$ в доказательстве теоремы 15.6 является гомоморфизмом колец.

Теорема 15.6 (Поле частных): пусть $D$ --- область целостности. Тогда существует поле $F$ (называемое полем частных $D$), содержащее подкольцо, изоморфное $D$.

В доказательстве $S = \left\{ (a,b) \mid a, b \in D, b \neq 0\right\}$, с отношением эквивалентности $(a,b) \equiv (c,d)$, если $ad = bc$; $F$ есть множество классов эквивалентности множества $S$ по $\equiv$, а $x/y$ обозначает класс эквивалентности, содержащий $(x,y)$. Сложение и умножение на $F$ определены формулами $a/b + c/d = (ad+bc)/(bd)$ и $a/b \cdot c/d = (ac)/(bd)$. Отображение $\phi : D \to F$ задано правилом $\phi (x) = x/1$.

Докажите, что всякий гомоморфизм колец $\phi$ из $\mathbb {Z}_n$ в себя имеет вид $\phi (x) = ax$, где $a^2 = a$.

Предположим, что $\phi$ --- гомоморфизм колец из $\mathbb {Z}_m$ в $\mathbb {Z}_n$. Докажите, что если $\phi (1) = a$, то $a^2 = a$. Приведите пример, показывающий, что обратное утверждение неверно.

Докажите, что кольцо $R$ из примера 10 главы 14 изоморфно кольцу $S = \left\{ \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{bmatrix} \mid a_i \in \mathbb {Z}_2\right\}$.

(Пример 10 главы 14: пусть $R = \left\{ \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{bmatrix} \mid a_i \in \mathbb {Z}\right\}$ и $I$ --- подмножество $R$, состоящее из матриц с чётными элементами. Тогда $I$ есть идеал $R$, а фактор-кольцо $R/I$ имеет 16 элементов.)

Для кольца $R$ из примера 11 определите число изоморфизмов групп и число изоморфизмов колец из $\mathbb {Z}_5$ в $R$.

(Пример 11: пусть $R = \left\{ 0,2,4,6,8\right\}$ со сложением и умножением по модулю 10. Заметим, что 6 есть единица и, поскольку $5x = 0$ для всех $x$, характеристика $R$ равна 5. Поэтому отображение $\phi (n) = n \cdot 6 = 6n$ является изоморфизмом с $\ker \phi = \left\langle 5\right\rangle$. Следовательно, $R \approx \mathbb {Z}/ \left\langle 5\right\rangle \approx \mathbb {Z}_5$ и $R$ есть поле.)

Докажите, что пересечение любого семейства подполей поля $F$ является подполем $F$. (На это упражнение ссылаются в данной главе.)

Пусть $\mathbb {Z}_3[i] = \left\{ a+bi \mid a,b \in \mathbb {Z}_3\right\}$ (см. пример 9 главы 13). Покажите, что поле $\mathbb {Z}_3[i]$ изоморфно как кольцо полю $\mathbb {Z}_3[x]/ \left\langle x^2+1\right\rangle$.

Пусть

Покажите, что $\phi : \mathbb {C} \to S$, заданное формулой

является изоморфизмом колец.

Пусть $\mathbb {Z}^{\sqrt{2}} = \left\{ a+b\sqrt{2} \mid a,b \in \mathbb {Z}\right\}$ и

Покажите, что $\mathbb {Z}^{\sqrt{2}}$ и $H$ изоморфны как кольца.

Рассмотрите отображение из $M_2(\mathbb {Z})$ в $\mathbb {Z}$, заданное формулой

Докажите или опровергните, что это гомоморфизм колец.

Пусть $R = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb {Z}\right\}$. Докажите или опровергните, что отображение $\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} \to a$ является гомоморфизмом колец.

Является ли отображение из $\mathbb {Z}_5$ в $\mathbb {Z}_{30}$, заданное формулой $x \to 6x$, гомоморфизмом колец? Заметьте, что образ единицы есть единица образа, но не единица $\mathbb {Z}_{30}$.

Является ли отображение из $\mathbb {Z}_{10}$ в $\mathbb {Z}_{10}$, заданное формулой $x \to 2x$, гомоморфизмом колец?

Опишите ядро гомоморфизма, данного в примере 3.

(Пример 3: пусть $\mathbb {R}^{x}$ обозначает кольцо всех многочленов с вещественными коэффициентами. Отображение $f(x) \to f(1)$ является гомоморфизмом колец из $\mathbb {R}^{x}$ на $\mathbb {R}$.)

Какому известному кольцу изоморфны кольца из упражнения 47 главы 12?

(Упражнение 47 главы 12: $R = \left\{ \begin{bmatrix} 0 & a \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \mid a \in \mathbb {Z}\right\}$ и $S = \left\{ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ a & 0 \end{bmatrix} \mid a \in \mathbb {Z}\right\}$ --- подкольца $M_2(\mathbb {Z})$, в которых произведение любых двух элементов равно нулю.)

Напомним, что элемент кольца $a$ называется идемпотентом, если $a^2 = a$. Докажите, что гомоморфизм колец переводит идемпотент в идемпотент.

Определите все гомоморфизмы колец из $\mathbb {Z}_{25}$ в $\mathbb {Z}_{20}$.

Определите все гомоморфизмы колец из $\mathbb {Z}_6$ в $\mathbb {Z}_6$. Определите все гомоморфизмы колец из $\mathbb {Z}_{20}$ в $\mathbb {Z}_{30}$.

Определите все изоморфизмы колец из $\mathbb {Z}_n$ в себя.

Определите все гомоморфизмы колец из $\mathbb {Z}$ в $\mathbb {Z}$.

Пусть $\phi$ --- гомоморфизм колец из $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ в $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$. Каковы возможные значения $\phi ((1,0))$?

Определите все гомоморфизмы колец из $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ в $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$.

В $\mathbb {Z}$ пусть $A = \left\langle 2\right\rangle$ и $B = \left\langle 8\right\rangle$. Покажите, что группа $A/B$ изоморфна группе $\mathbb {Z}_4$, но кольцо $A/B$ не изоморфно как кольцо кольцу $\mathbb {Z}_4$.

Докажите, что $\mathbb {R}^{x}/ \left\langle x^2\right\rangle$ изоморфно как кольцо множеству $\left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & a \end{bmatrix} \mid a, b \in \mathbb {R}\right\}$.

Докажите, что кольцо $\mathbb {Z}_3[x]/ \left\langle x^2+1\right\rangle$ изоморфно полю $\mathbb {Z}_3[i]$.

Если $\phi$ --- гомоморфизм колец из $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ в $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$, причём $\phi ((1,0)) = (0,1)$ и $\phi ((1,1)) = (1,1)$, найдите формулу для $\phi ((a,b))$.

Покажите, что $(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z})/( \left\langle a\right\rangle \oplus \left\langle b\right\rangle )$ изоморфно как кольцо $\mathbb {Z}_a \oplus \mathbb {Z}_b$.

Определите все гомоморфизмы колец из $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ в $\mathbb {Z}$.

Докажите, что сумма квадратов трёх последовательных целых чисел не может быть квадратом.

Пусть $m$ --- положительное целое число, а $n$ --- целое число, полученное из $m$ некоторой перестановкой цифр $m$. (Например, 72345 является перестановкой 35274.) Покажите, что $m-n$ делится на 9.

Пусть $n$ --- целое число с десятичной записью $a_ka_{k-1}\cdots a_1a_0$. Докажите, что $n$ делится на 11 тогда и только тогда, когда $a_0-a_1+a_2-\cdots (-1)^ka_k$ делится на 11.

Покажите, что число 7,176,825,942,116,027,211 делится на 9, но не делится на 11.

Если $m$ и $n$ --- положительные целые числа, докажите, что отображение из $\mathbb {Z}_m$ в $\mathbb {Z}_n$, заданное формулой $\phi (x) = x \bmod n$, является гомоморфизмом колец тогда и только тогда, когда $n$ делит $m$.

Пусть $n$ --- целое число с десятичной записью $a_ka_{k-1}\cdots a_1a_0$. Докажите, что $n$ делится на 3 тогда и только тогда, когда $a_k+a_{k-1}+\cdots +a_1+a_0$ делится на 3.

Пусть $n$ --- целое число с десятичной записью $a_ka_{k-1}\cdots a_1a_0$. Докажите, что $n$ делится на 4 тогда и только тогда, когда $a_1a_0$ делится на 4.

Для любого целого $n > 1$ докажите, что $\mathbb {Z}_n[x]/ \left\langle x\right\rangle$ изоморфно $\mathbb {Z}_n$.

Для любого целого $n > 1$ докажите, что $\left\langle x\right\rangle$ является максимальным идеалом в $\mathbb {Z}_n[x]$ тогда и только тогда, когда $n$ простое.

Приведите пример гомоморфизма колец из коммутативного кольца $R$ в кольцо $S$, который переводит делитель нуля из $R$ в единицу кольца $S$.

Докажите, что любой автоморфизм поля $F$ является тождественным отображением на простом подполе.

Устно вычислите $(2 \cdot 10^{75}+2)^{100} \bmod 3$ и $(10^{100}+1)^{99} \bmod 3$.

Определите все гомоморфизмы колец из $\mathbb {Q}$ в $\mathbb {Q}$.

Пусть $R$ и $S$ --- коммутативные кольца с единицей. Если $\phi$ --- гомоморфизм из $R$ на $S$ и характеристика $R$ ненулевая, докажите, что характеристика $S$ делит характеристику $R$.

Пусть $R$ --- коммутативное кольцо простой характеристики $p$. Покажите, что отображение Фробениуса $x \to x^p$ является гомоморфизмом колец из $R$ в $R$. Если $R$ является полем, докажите, что это отображение есть изоморфизм.

Существует ли гомоморфизм колец из вещественных чисел в некоторое кольцо, ядром которого являются целые числа?

Покажите, что гомоморфизм из поля на кольцо, содержащее более одного элемента, должен быть изоморфизмом.

Пусть $R$ и $S$ --- коммутативные кольца с единицами. Пусть $\phi$ --- гомоморфизм колец из $R$ на $S$, а $A$ --- идеал в $S$.

Коммутативное кольцо с единицей называется кольцом главных идеалов, если каждый его идеал имеет вид $\left\langle a\right\rangle$. Покажите, что гомоморфный образ кольца главных идеалов является кольцом главных идеалов.

Пусть $R$ и $S$ --- кольца.

Пусть $R$ и $S$ --- коммутативные кольца. Если $I$ является максимальным идеалом $R$, докажите, что $I \oplus S$ является максимальным идеалом $R \oplus S$.

Покажите, что $\mathbb {Z}_{mn}$ изоморфно как кольцо $\mathbb {Z}_m \oplus \mathbb {Z}_n$, когда $m$ и $n$ взаимно просты.

Покажите, что если $m$ и $n$ --- различные положительные целые числа, то $m\mathbb {Z}$ не изоморфно как кольцо $n\mathbb {Z}$.

Если $\phi$ --- автоморфизм колец поля $\mathbb {Q}^{\sqrt[3]{2}} = \left\{ r+s\sqrt[3]{2}+t(\sqrt[3]{2})^2 \mid r,s,t \in \mathbb {Q}\right\}$, определите $\phi (\sqrt[3]{2})$.

Покажите, что единственный автоморфизм колец поля вещественных чисел --- тождественное отображение.

Определите все гомоморфизмы колец из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$.

Предположим, что $n$ делит $m$ и что $a$ --- идемпотент из $\mathbb {Z}_n$ (то есть $a^2 = a$). Покажите, что отображение $x \to ax$ является гомоморфизмом колец из $\mathbb {Z}_m$ в $\mathbb {Z}_n$. Покажите, что то же соответствие не обязано задавать гомоморфизм колец, если $n$ не делит $m$.

Покажите, что операция умножения, определённая в доказательстве теоремы 15.6, корректно определена.

Пусть $\mathbb {Q}^{\sqrt{2}} = \left\{ a+b\sqrt{2} \mid a,b \in \mathbb {Q}\right\}$ и $\mathbb {Q}^{\sqrt{5}} = \left\{ a+b\sqrt{5} \mid a,b \in \mathbb {Q}\right\}$. Покажите, что эти два кольца не изоморфны как кольца.

Пусть $\mathbb {Z}^{i} = \left\{ a+bi \mid a,b \in \mathbb {Z}\right\}$. Покажите, что поле частных $\mathbb {Z}^{i}$ изоморфно как кольцо $\mathbb {Q}^{i} = \left\{ r+si \mid r,s \in \mathbb {Q}\right\}$. (На это упражнение ссылаются в главе 18.)

Пусть $F$ --- поле. Покажите, что поле частных $F$ изоморфно как кольцо $F$.

Пусть $D$ --- область целостности, а $F$ --- поле частных $D$.

Покажите, что если $E$ --- любое поле, содержащее $D$, то $E$ содержит подполе, изоморфное как кольцо $F$. (Тем самым поле частных области целостности $D$ является наименьшим полем, содержащим $D$.)

Объясните, почему коммутативное кольцо с единицей, не являющееся областью целостности, не может содержаться в поле. (Сравните с Теоремой 15.6.)

Покажите, что отношение $\equiv$, определённое в доказательстве теоремы 15.6, является отношением эквивалентности.

Приведите пример кольца без единицы, содержащегося в поле.

Докажите, что множество $T$ из доказательства Следствия 3 к теореме 15.5 изоморфно как кольцо полю рациональных чисел.

(Следствие 3, «Поле содержит $\mathbb {Z}_p$ или $\mathbb {Q}$»: если $F$ --- поле характеристики $p$, то $F$ содержит подполе, изоморфное $\mathbb {Z}_p$. Если $F$ --- поле характеристики 0, то $F$ содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел. В доказательстве случая характеристики 0 поле $F$ имеет подкольцо $S$, изоморфное $\mathbb {Z}$, и $T = \left\{ ab^{-1} \mid a,b \in S, b \neq 0\right\}$.)

Для любого ненулевого комплексного числа $a+bi$ покажите, что $\mathbb {Z}^{i}/ \left\langle a+bi\right\rangle$ изоморфно как кольцо $\mathbb {Z}^{i}/ \left\langle a-bi\right\rangle$.

Пусть $f(x) \in \mathbb {R}^{x}$. Если $a+bi$ является комплексным корнем $f(x)$ (здесь $i = \sqrt{-1}$), покажите, что $a-bi$ также является корнем $f(x)$. (На это упражнение ссылаются в главе 30.)

Пусть $R = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix} \mid a, b \in \mathbb {Z}\right\}$, и пусть $\phi$ --- отображение, переводящее $\begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$ в $a - b$.

Покажите, что простое подполе поля характеристики $p$ изоморфно как кольцо $\mathbb {Z}_p$, а простое подполе поля характеристики 0 изоморфно как кольцо $\mathbb {Q}$. (На это упражнение ссылаются в этой главе.)

Пусть $n$ --- положительное целое число. Покажите, что существует изоморфизм колец из $\mathbb {Z}_2$ в подкольцо $\mathbb {Z}_{2n}$ тогда и только тогда, когда $n$ нечётно.