Идеалы и факторкольца

Проверьте, что множество, определённое в примере 3, является идеалом.

Проверьте, что множество $A$ из примера 4 является идеалом и что $A = \left\langle x\right\rangle$.

Проверьте, что множество $I$ из примера 5 является идеалом и что, если $J$ --- любой идеал $R$, содержащий $a_1, a_2, \ldots , a_n$, то $I \subseteq J$. (Следовательно, $\left\langle a_1, a_2, \ldots , a_n\right\rangle$ есть наименьший идеал $R$, содержащий $a_1, a_2, \ldots , a_n$.)

Найдите подкольцо $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$, не являющееся идеалом $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$.

Пусть $S = \left\{ a+bi \mid a,b \in \mathbb {Z}, b \text{ чётно}\right\}$. Покажите, что $S$ является подкольцом $\mathbb {Z}^{i}$, но не является идеалом $\mathbb {Z}^{i}$.

Найдите все максимальные идеалы в

Пусть $n = st$, где $s$ и $t$ --- делители $n$, большие 1. Докажите, что $\left\langle s\right\rangle$ является максимальным идеалом в $\mathbb {Z}_n$ тогда и только тогда, когда $s$ простое.

Предположим, что $R$ --- кольцо вида $\left\langle a\right\rangle$ для некоторого $a$ из $R$. Докажите, что характеристика $R$ равна аддитивному порядку $a$.

Предположим, что $R$ --- коммутативное кольцо и $a$ принадлежит $R$. Если $\left\{ 0\right\}$ является максимальным идеалом $R$, докажите, что $aR = \left\{ ar \mid r \in R\right\} = \left\{ 0\right\}$ или что $a$ принадлежит $aR$.

В $\mathbb {Z}^{x}$ докажите, что $\left\langle 2x,3\right\rangle = \left\langle x,3\right\rangle$.

Пусть $a$ принадлежит коммутативному кольцу $R$. Покажите, что $aR = \left\{ ar \mid r \in R\right\}$ является идеалом $R$. Если $R$ --- кольцо чётных целых чисел, перечислите элементы $4R$.

Докажите, что пересечение любого множества идеалов кольца является идеалом.

Если $n$ --- целое число, большее 1, покажите, что $\left\langle n\right\rangle = n\mathbb {Z}$ является простым идеалом $\mathbb {Z}$ тогда и только тогда, когда $n$ простое. (На это упражнение ссылаются в данной главе.)

Если $A$ и $B$ --- идеалы кольца, покажите, что сумма $A$ и $B$, $A + B = \left\{ a+b \mid a \in A, b \in B\right\}$, является идеалом.

В кольце целых чисел найдите положительное целое число $a$ такое, что

Если $A$ и $B$ --- идеалы кольца, покажите, что произведение $A$ и $B$,

является идеалом.

Найдите положительное целое число $a$ такое, что

Пусть $A$ и $B$ --- идеалы кольца. Докажите, что $AB \subseteq A \cap B$.

Если $A$ --- идеал кольца $R$ и 1 принадлежит $A$, докажите, что $A = R$. (На это упражнение ссылаются в данной главе.)

Если $A$ и $B$ --- идеалы коммутативного кольца $R$ с единицей и $A + B = R$, покажите, что $A \cap B = AB$.

Если идеал $I$ кольца $R$ содержит обратимый элемент, покажите, что $I = R$.

Если $R$ --- конечное коммутативное кольцо с единицей, докажите, что каждый простой идеал $R$ является максимальным идеалом $R$.

Приведите пример кольца, имеющего ровно два максимальных идеала.

Предположим, что $R$ --- коммутативное кольцо и $\left|R\right| = 30$. Если $I$ --- идеал $R$ и $\left|I\right| = 10$, докажите, что $I$ является максимальным идеалом.

Пусть $R$ и $I$ таковы, как описано в примере 10. Докажите, что $I$ является идеалом $R$.

Докажите, что $I = \left\{ f(x) \in \mathbb {Z}^{x} \mid f(1) \text{ чётно}\right\}$ является идеалом $\mathbb {Z}^{x}$.

Пусть $n > 1$ --- целое число. Для кольца $R$ из примера 10 положим $I = \left\{ \begin{bmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{bmatrix} \mid b_i \text{ кратно } n\right\}$. Докажите, что $I$ является идеалом $R$. Сколько элементов содержит $I$?

В $M_2(\mathbb {Z}) = \left\{ \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{bmatrix} \mid a_i \in \mathbb {Z}\right\}$ положим $A = \left\{ \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \mid a_i \in \mathbb {Z}\right\}$. Является ли $A$ подкольцом $M_2(\mathbb {Z})$? Является ли $A$ идеалом $M_2(\mathbb {Z})$?

Пусть $R = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} \mid a,b,c \in \mathbb {R}\right\}$ и $I = \left\{ \begin{bmatrix} 0 & x \\ 0 & y \end{bmatrix} \mid x,y \in \mathbb {R}\right\}$. Докажите, что $I$ является идеалом $R$ и $R/I$ является полем. Каков мультипликативный обратный элемент для $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}+I$?

Определите порядок $\mathbb {Z}^{i}/ \left\langle i\right\rangle$.

Пусть $R = \left\{ a+bi+ \left\langle 2i\right\rangle \mid a,b \in \mathbb {Z}\right\}$. Перечислите различные элементы $R$. Является ли $R$ областью целостности?

Используйте упражнение 24 из главы 0, чтобы доказать утверждение из примера 13 о том, что 1 имеет порядок 5.

В $\mathbb {Z}_5[x]$ положим $I = \left\langle x^2-1\right\rangle$. Покажите, что $R = \mathbb {Z}_5[x]/I$ имеет ровно 8 делителей нуля, не перебирая все возможности. Объясните, почему остальные ненулевые элементы $R$ являются элементами $U(R)$, группы обратимых элементов $R$. Определите класс изоморфизма $U(R)$. (То есть найдите внешнее прямое произведение групп вида $\mathbb {Z}_n$, изоморфное $U(R)$.)

(Упражнение 7 из главы 13, используемое в приведённом ниже решении: если $R$ --- конечное коммутативное кольцо с единицей, то каждый ненулевой элемент $R$, не являющийся делителем нуля, обратим.)

В $\mathbb {Z}$ положим $I = \left\langle 2\right\rangle$. Докажите, что $I[x]$ не является максимальным идеалом $\mathbb {Z}^{x}$, хотя $I$ является максимальным идеалом $\mathbb {Z}$.

Проверьте утверждение из примера 10 о мощности $R/I$.

Приведите пример коммутативного кольца, имеющего максимальный идеал, который не является простым идеалом.

Покажите, что множество $B$ во второй половине доказательства теоремы 14.4 является идеалом $R$. (На это упражнение ссылаются в данной главе.)

Пусть $A = \left\{ a_nx^n+\cdots +a_1x+a_0 \in \mathbb {Z}^{x} \mid \text{ все } a_i \text{ чётны}\right\}$. Найдите $f(x)$ в $\mathbb {Z}^{x}$ такое, что $A = \left\langle f(x)\right\rangle$.

Докажите, что единственными идеалами поля $F$ являются $\left\{ 0\right\}$ и само $F$.

Пусть $R$ --- коммутативное кольцо с единицей. Предположим, что единственными идеалами $R$ являются $\left\{ 0\right\}$ и $R$. Покажите, что $R$ является полем.

Докажите, что каждый идемпотент в коммутативном кольце с единицей, отличный от 0 и 1, является делителем нуля.

Покажите, что $R[x]/ \left\langle x^2+1\right\rangle$ является полем.

В $\mathbb {Z}^{x}$, кольце многочленов с целыми коэффициентами, положим $I = \left\{ f(x) \in \mathbb {Z}^{x} \mid f(0) = 0\right\}$. Найдите $g(x) \in \mathbb {Z}^{x}$ такое, что $I = \left\langle g(x)\right\rangle$. Является ли $I$ максимальным? (На это упражнение ссылаются в этой главе и в главе 15.)

Покажите, что $A = \left\{ (3x,y) \mid x,y \in \mathbb {Z}\right\}$ является максимальным идеалом $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$. Обобщите. Что произойдёт, если заменить $3x$ на $4x$? Обобщите.

Пусть $R$ --- кольцо непрерывных функций из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$. Покажите, что $I = \left\{ f \in R \mid f(0) = 0\right\}$ является максимальным идеалом $R$.

Пусть $R = \mathbb {Z}_8 \oplus \mathbb {Z}_{30}$. Найдите все максимальные идеалы $R$ и для каждого максимального идеала $I$ укажите мощность поля $R/I$.

Сколько элементов содержится в $\mathbb {Z}^{i}/ \left\langle 3+i\right\rangle$? Обоснуйте свой ответ.

В кольце гауссовых целых $\mathbb {Z}^{i} = \left\{ a+bi \mid a,b \in \mathbb {Z}\right\}$ положим $I = \left\{ a+bi \mid a,b \text{ чётны}\right\}$. Докажите, что $I$ является идеалом. Сколько элементов содержится в $\mathbb {Z}^{i}/I$? Является ли $\mathbb {Z}^{i}/I$ полем? Является ли $\mathbb {Z}^{i}/I$ областью целостности?

В $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ положим $I = \left\{ (a,0) \mid a \in \mathbb {Z}\right\}$. Покажите, что $I$ является простым, но не максимальным идеалом.

Пусть $R$ --- кольцо, а $I$ --- идеал $R$. Докажите, что фактор-кольцо $R/I$ коммутативно тогда и только тогда, когда $rs - sr \in I$ для всех $r$ и $s$ из $R$.

В $\mathbb {Z}^{x}$ положим $I = \left\{ f(x) \in \mathbb {Z}^{x} \mid f(0) \text{ --- чётное целое}\right\}$. Докажите, что $I = \left\langle x,2\right\rangle$. Является ли $I$ простым идеалом $\mathbb {Z}^{x}$? Является ли $I$ максимальным идеалом? Сколько элементов имеет $\mathbb {Z}^{x}/I$? (На это упражнение ссылаются в этой главе.)

В $\mathbb {Z}^{x}$ положим $I = \left\{ a_nx^n+\cdots +a_1x+4a_0 \mid \text{ все } a_i \text{ чётны при } i > 0\right\}$. Представьте $I$ в виде $\left\langle f_1(x),f_2(x)\right\rangle$, где $f_1(x)$ и $f_2(x)$ --- конкретные элементы $\mathbb {Z}^{x}$.

Докажите, что идеал $I = \left\langle x^2+1\right\rangle$ в $\mathbb {Z}^{x}$ не является максимальным, предъявив собственный идеал $J$ кольца $\mathbb {Z}^{x}$, строго содержащий $I$.

Докажите, что $I = \left\langle 2+2i\right\rangle$ не является простым идеалом $\mathbb {Z}^{i}$. Сколько элементов содержится в $\mathbb {Z}^{i}/I$? Какова характеристика $\mathbb {Z}^{i}/I$?

В $\mathbb {Z}_5[x]$ положим $I = \left\langle x^2+x+2\right\rangle$. Найдите мультипликативный обратный элемента $2x+3+I$ в $\mathbb {Z}_5[x]/I$.

Пусть $R$ --- кольцо, а $p$ --- фиксированное простое число. Покажите, что

является идеалом $R$.

Область целостности $D$ называется областью главных идеалов, если каждый идеал $D$ имеет вид $\left\langle a\right\rangle = \left\{ ad \mid d \in D\right\}$ для некоторого $a$ из $D$. Покажите, что $\mathbb {Z}$ является областью главных идеалов. (На это упражнение ссылаются в главе 18.)

Пусть $R = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix} \mid a,b,d \in \mathbb {Z}\right\}$ и $S = \left\{ \begin{bmatrix} r & s \\ 0 & t \end{bmatrix} \mid r,s,t \in \mathbb {Z}, s \text{ чётно}\right\}$. Если $S$ является идеалом $R$, что можно сказать о $r$ и $t$?

Если $R$ и $S$ являются областями главных идеалов, докажите, что $R \oplus S$ является кольцом главных идеалов. (То есть каждый идеал $R \oplus S$ имеет вид $\left\langle (r,s)\right\rangle$.)

В области главных идеалов покажите, что каждый нетривиальный простой идеал является максимальным идеалом.

Пусть $R$ --- коммутативное кольцо, а $A$ --- произвольное подмножество $R$. Покажите, что аннулятор $A$, $\operatorname {Ann}(A) = \left\{ r \in R \mid ra = 0 \text{ для всех } a \text{ из } A\right\}$, является идеалом.

Пусть $R$ --- коммутативное кольцо, а $A$ --- произвольный идеал $R$. Покажите, что нильрадикал $A$, $N(A) = \left\{ r \in R \mid r^n \in A \text{ для некоторого положительного целого } n\ (n \text{ зависит от } r)\right\}$, является идеалом $R$.

(Определения, используемые в других упражнениях этой главы: простой идеал $A$ коммутативного кольца $R$ --- это собственный идеал $R$ такой, что из $a, b \in R$ и $ab \in A$ следует $a \in A$ или $b \in A$; максимальный идеал $R$ --- это собственный идеал $A$ такой, что если $B$ --- идеал $R$ и $A \subseteq B \subseteq R$, то $B = A$ или $B = R$.)

Пусть $R = \mathbb {Z}_{27}$. Найдите

Пусть $R = \mathbb {Z}_{36}$. Найдите

Пусть $R$ --- коммутативное кольцо. Покажите, что $R/N( \left\langle 0\right\rangle )$ не имеет ненулевых нильпотентных элементов.

Пусть $A$ --- идеал коммутативного кольца. Докажите, что $N(N(A)) = N(A)$.

Пусть $\mathbb {Z}_2[x]$ --- кольцо всех многочленов с коэффициентами из $\mathbb {Z}_2$ (то есть коэффициенты равны 0 или 1, а сложение и умножение коэффициентов выполняются по модулю 2). Покажите, что $\mathbb {Z}_2[x]/ \left\langle x^2+x+1\right\rangle$ является полем.

Пусть $R = \left\{ a+bi+ \left\langle 2i\right\rangle \mid a,b \in \mathbb {Z}\right\}$. Перечислите различные элементы $R$. Является ли $R$ областью целостности?

Покажите, что $\mathbb {Z}_3[x]/ \left\langle x^2+x+1\right\rangle$ не является полем.

Пусть $R$ --- коммутативное кольцо без единицы и $a \in R$. Опишите наименьший идеал $I$ кольца $R$, содержащий $a$ (то есть если $J$ --- любой идеал, содержащий $a$, то $I \subseteq J$).

Пусть $R$ --- кольцо непрерывных функций из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$. Пусть $A = \left\{ f \in R \mid f(0) \text{ --- чётное целое}\right\}$. Покажите, что $A$ является подкольцом $R$, но не является идеалом $R$.

Покажите, что $\mathbb {Z}^{i}/ \left\langle 1-i\right\rangle$ является полем. Сколько элементов имеет это поле?

Если $R$ является областью главных идеалов, а $I$ --- идеал $R$, докажите, что каждый идеал $R/I$ главный (см. упражнение 14.57).

Сколько элементов содержится в $\mathbb {Z}_5[i]/ \left\langle 1+i\right\rangle$?

Покажите на примере, что пересечение двух простых идеалов не обязано быть простым идеалом.

Пусть $R$ обозначает кольцо вещественных чисел. Определите все идеалы $R \oplus R$. Что произойдёт, если заменить $R$ произвольным полем $F$?

Найдите характеристику $\mathbb {Z}^{i}/ \left\langle 2+i\right\rangle$.

Покажите, что характеристика $\mathbb {Z}^{i}/ \left\langle a+bi\right\rangle$ делит $a^2+b^2$.

Докажите, что множество всех многочленов, коэффициенты которых чётны, является простым идеалом в $\mathbb {Z}^{x}$.

Пусть $R = \mathbb {Z}^{\sqrt{-5}} = \left\{ a+b\sqrt{-5} \mid a,b \in \mathbb {Z}\right\}$ и $I = \left\{ a+b\sqrt{-5} \mid a,b \in \mathbb {Z}, a-b \text{ чётно}\right\}$. Покажите, что $I$ является идеалом и является максимальным.

Пусть $R$ --- коммутативное кольцо с единицей, обладающее свойством $a^2 = a$ для всех $a$ из $R$. Пусть $I$ --- простой идеал $R$. Покажите, что $\left|R/I\right| = 2$.

Пусть $R$ --- коммутативное кольцо с единицей, а $I$ --- собственный идеал со свойством: каждый элемент $R$, не принадлежащий $I$, является обратимым элементом $R$. Докажите, что $I$ является единственным максимальным идеалом $R$.

Пусть $I_0 = \left\{ f(x) \in \mathbb {Z}^{x} \mid f(0) = 0\right\}$. Для любого положительного целого $n$ покажите, что существует последовательность строго возрастающих идеалов, такая что $I_0 \subset I_1 \subset I_2 \subset \cdots \subset I_n \subset \mathbb {Z}^{x}$.