Области целостности

Проверьте справедливость утверждений примеров с 1 по 8.

Пример 1: Кольцо целых чисел является областью целостности. Пример 2: Кольцо гауссовых целых чисел $\mathbb {Z}^{i} = \left\{ a+bi \mid a, b \in \mathbb {Z}\right\}$ является областью целостности. Пример 3: Кольцо $\mathbb {Z}^{x}$ многочленов с целыми коэффициентами является областью целостности. Пример 4: Кольцо $\mathbb {Z}^{\sqrt{2}} = \left\{ a+b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb {Z}\right\}$ является областью целостности. Пример 5: Кольцо $\mathbb {Z}_p$ целых чисел по модулю простого $p$ является областью целостности. Пример 6: Кольцо $\mathbb {Z}_n$ целых чисел по модулю $n$ не является областью целостности, если $n$ не простое. Пример 7: Кольцо $M_2(\mathbb {Z})$ матриц размера $2 \times 2$ над целыми числами не является областью целостности. Пример 8: $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ не является областью целостности.

Какие из примеров 1--5 являются полями?

Докажите, что коммутативное кольцо со свойством сокращения (относительно умножения) не имеет делителей нуля.

Перечислите все делители нуля в $\mathbb {Z}_{20}$. Видите ли вы связь между делителями нуля в $\mathbb {Z}_{20}$ и обратимыми элементами $\mathbb {Z}_{20}$?

Докажите, что каждый ненулевой элемент $\mathbb {Z}_n$ является либо обратимым элементом, либо делителем нуля.

Найдите ненулевой элемент кольца, который не является ни делителем нуля, ни обратимым элементом.

Пусть $R$ --- конечное коммутативное кольцо с единицей. Докажите, что каждый ненулевой элемент $R$ является либо делителем нуля, либо обратимым элементом. Что произойдёт, если отбросить условие конечности $R$?

Пусть $a \neq 0$ принадлежит коммутативному кольцу. Докажите, что $a$ является делителем нуля тогда и только тогда, когда $a^2 b = 0$ для некоторого $b \neq 0$.

Найдите элементы $a$, $b$ и $c$ в кольце $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ такие, что $ab$, $ac$ и $bc$ являются делителями нуля, но $abc$ не является делителем нуля.

Опишите все делители нуля и обратимые элементы $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Q} \oplus \mathbb {Z}$.

Пусть $d$ --- целое число. Докажите, что $\mathbb {Z}^{\sqrt{d}} = \left\{ a+b\sqrt{d} \mid a, b \in \mathbb {Z}\right\}$ является областью целостности. (Это упражнение упоминается в главе 18.)

В $\mathbb {Z}_7$ дайте разумную интерпретацию выражениям $1/2$, $-2/3$, $\sqrt{-3}$ и $-1/6$.

Приведите пример коммутативного кольца без делителей нуля, которое не является областью целостности.

Найдите два элемента $a$ и $b$ в кольце такие, что и $a$, и $b$ являются делителями нуля, $a + b \neq 0$, а $a + b$ не является делителем нуля.

Пусть $a$ принадлежит кольцу $R$ с единицей и $a^n = 0$ для некоторого положительного целого $n$. (Такой элемент называется нильпотентным.) Докажите, что $1 - a$ имеет мультипликативную обратную в $R$.

Докажите, что нильпотентные элементы коммутативного кольца образуют подкольцо.

Докажите, что 0 --- единственный нильпотентный элемент области целостности.

Элемент кольца $a$ называется идемпотентом, если $a^2 = a$. Докажите, что единственными идемпотентами в области целостности являются 0 и 1.

Пусть $a$ и $b$ --- идемпотенты коммутативного кольца. Покажите, что каждый из следующих элементов также является идемпотентом: $ab$, $a - ab$, $a + b - ab$, $a + b - 2ab$. Если $a$ --- элемент кольца со свойством $a^2 = -a$, что можно сказать о $-a$?

Докажите, что $\mathbb {Z}_n$ имеет ненулевой нильпотентный элемент тогда и только тогда, когда $n$ делится на квадрат некоторого простого числа.

Пусть $R$ --- кольцо непрерывных вещественнозначных функций на $[-1,1]$. Докажите, что в $R$ имеются делители нуля.

Докажите, что если $a$ --- идемпотент кольца, то $a^n = a$ для всех положительных целых $n$.

Определите все элементы кольца, являющиеся одновременно нильпотентными элементами и идемпотентами.

Найдите идемпотент в $\mathbb {Z}_5[i] = \left\{ a+bi \mid a,b \in \mathbb {Z}_5\right\}$.

Используйте таблицу 13.1, чтобы найти образующий циклической группы $\mathbb {Z}_3[i]^*$.

Найдите все обратимые элементы, делители нуля, идемпотенты и нильпотентные элементы в $\mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_6$.

Определите все элементы кольца, являющиеся одновременно обратимыми элементами и идемпотентами.

Пусть $R$ --- множество всех вещественнозначных функций, определённых на всех вещественных числах, с операциями сложения и умножения функций.

(Критерий подполей) Пусть $F$ --- поле, а $K$ --- подмножество $F$, содержащее по меньшей мере два элемента. Докажите, что $K$ является подполем $F$, если для любых $a, b$ ($b \neq 0$) из $K$ элементы $a - b$ и $ab^{-1}$ принадлежат $K$.

Пусть $d$ --- положительное целое число. Докажите, что $\mathbb {Q}^{\sqrt{d}} = \left\{ a+b\sqrt{d} \mid a,b \in \mathbb {Q}\right\}$ является полем.

Пусть $R$ --- кольцо с единицей 1. Если произведение любой пары ненулевых элементов $R$ ненулевое, докажите, что из $ab = 1$ следует $ba = 1$.

Пусть $R = \left\{ 0,2,4,6,8\right\}$ с операциями сложения и умножения по модулю 10. Докажите, что $R$ является полем.

Сформулируйте подходящее определение подобласти (то есть «под»-области целостности). Пусть $D$ --- область целостности с единицей 1. Покажите, что $P = \left\{ n \cdot 1 \mid n \in \mathbb {Z}\right\}$ (то есть все целые кратные 1) является подобластью $D$. Покажите, что $P$ содержится в каждой подобласти $D$. Что можно сказать о порядке $P$?

Докажите, что не существует области целостности, содержащей ровно шесть элементов. Можно ли приспособить ваш аргумент, чтобы показать, что не существует области целостности ровно с четырьмя элементами? А с 15 элементами? Используйте эти наблюдения, чтобы высказать предположение об общем результате о числе элементов в конечной области целостности.

Пусть $F$ --- поле порядка $2^n$. Докажите, что $\operatorname {char} F = 2$. Остаётся ли ваше доказательство верным, если заменить 2 любым простым числом $p$?

Определите все элементы области целостности, обратные самим себе относительно умножения.

Охарактеризуйте те области целостности, для которых 1 является единственным элементом, обратным самому себе относительно умножения.

Определите все целые $n > 1$, для которых $(n-1)!$ является делителем нуля в $\mathbb {Z}_n$.

Пусть $a$ и $b$ принадлежат области целостности.

Найдите пример области целостности и различных положительных целых чисел $m$ и $n$ таких, что $a^m = b^m$ и $a^n = b^n$, но $a \neq b$.

Пусть $F$ --- поле порядка 32. Покажите, что единственными подполями $F$ являются само $F$ и $\left\{ 0,1\right\}$.

Постройте таблицу умножения для $\mathbb {Z}_2[i]$, кольца гауссовых целых чисел по модулю 2. Является ли это кольцо полем? Является ли оно областью целостности?

Покажите, что $\mathbb {Z}_7[\sqrt{3}] = \left\{ a+b\sqrt{3} \mid a,b \in \mathbb {Z}_7\right\}$ является полем. Для произвольного положительного целого числа $k$ и любого простого числа $p$ найдите необходимое и достаточное условие того, чтобы $\mathbb {Z}_p[\sqrt{k}] = \left\{ a+b\sqrt{k} \mid a,b \in \mathbb {Z}_p\right\}$ было полем.

Ненулевые элементы $\mathbb {Z}_3[i]$ образуют абелеву группу порядка 8 относительно умножения. Изоморфна ли она $\mathbb {Z}_8$, $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_2$ или $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$?

Покажите, что конечное коммутативное кольцо без делителей нуля, содержащее по меньшей мере два элемента, имеет единицу.

Пусть $a$ и $b$ принадлежат коммутативному кольцу и $ab$ является делителем нуля. Покажите, что либо $a$, либо $b$ является делителем нуля.

Пусть $R$ --- коммутативное кольцо без делителей нуля. Покажите, что все ненулевые элементы $R$ имеют один и тот же аддитивный порядок.

Пусть $R$ --- коммутативное кольцо без делителей нуля. Покажите, что характеристика $R$ равна 0 или является простым числом.

Пусть $x_1, x_2, \ldots , x_n$ принадлежат коммутативному кольцу простой характеристики $p$.

Пусть $R$ --- коммутативное кольцо с единицей 1 и простой характеристикой. Если $a \in R$ нильпотентен, докажите, что существует положительное целое число $k$ такое, что $(1+a)^k = 1$.

Покажите, что любое конечное поле имеет порядок $p^n$, где $p$ --- простое число.

Приведите пример бесконечной области целостности характеристики 3.

Пусть $R$ --- кольцо, а $M_2(R)$ --- кольцо матриц $2 \times 2$ с элементами из $R$. Объясните, почему эти два кольца имеют одну и ту же характеристику.

Пусть $R$ --- кольцо из $m$ элементов. Покажите, что характеристика $R$ делит $m$.

Объясните, почему конечное кольцо должно иметь ненулевую характеристику.

Найдите все решения уравнения $x^2 - x + 2 = 0$ над $\mathbb {Z}_3[i]$. (См. пример 9.)

Рассмотрите уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Если $R$ --- кольцо характеристики $m > 0$, а $S$ --- подкольцо $R$, что можно сказать о характеристике $S$?

Пусть $R$ --- область целостности, в которой $20 \cdot 1 = 0$ и $12 \cdot 1 = 0$. (Напомним, что $n \cdot 1$ означает сумму $1+1+\cdots +1$ из $n$ слагаемых.) Какова характеристика $R$?

В коммутативном кольце характеристики 2 докажите, что идемпотенты образуют подкольцо.

Для простого $p$ докажите, что если $x^2 + 1 = 0$ имеет решение в $\mathbb {Z}_p$, то $\mathbb {Z}_p[i] = \left\{ a+bi \mid a,b \in \mathbb {Z}_p\right\}$ не является полем.

Докажите, что любой идемпотент в коммутативном кольце с единицей, отличный от 0 и 1, является делителем нуля.

Покажите, что любое поле порядка 16 не имеет подполя порядка 8.

Пусть $F$ --- конечное поле из $n$ элементов. Докажите, что $x^{n-1} = 1$ для всех ненулевых $x$ из $F$.

Пусть $F$ --- поле простой характеристики $p$. Докажите, что $K = \left\{ x \in F \mid x^p = x\right\}$ является подполем $F$.

Докажите, что множество комплексных чисел $\mathbb {Q}(i) = \left\{ a+bi \mid a,b \in \mathbb {Q}\right\}$ является полем. Это поле называется полем гауссовых рациональных чисел.

Пусть $R = \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_4 \oplus \cdots$. Какова единица $R$? Какова $\operatorname {char} R$? Докажите, что для каждого положительного целого числа $n$ кольцо $R$ имеет подкольцо характеристики $n$.

Если $a$ --- идемпотент в коммутативном кольце $R$, докажите, что $a$ является единицей в идеале $\left\langle a\right\rangle$.

Пусть $S$ --- подкольцо кольца $R$, и пусть $u_S$ является единицей в $S$, $u_R$ является единицей в $R$ и $u_S \neq u_R$. Докажите, что $u_S$ и $u_R - u_S$ являются делителями нуля в $R$.

Если $a, b$ принадлежат области целостности, докажите, что $\left\langle a\right\rangle = \left\langle b\right\rangle$ тогда и только тогда, когда $a = bu$, где $u$ --- обратимый элемент.

Пусть $F$ --- поле из 27 элементов. Покажите, что для каждого элемента $a \in F$ выполняется $5a = -a$.

Пусть $a$ и $b$ принадлежат полю из 8 элементов и $a^2 + ab + b^2 = 0$. Докажите, что $a = 0$ и $b = 0$. Сделайте то же самое, когда поле имеет порядок $2^n$, где $n$ нечётно.

Пусть $F$ --- поле характеристики 2 с более чем двумя элементами. Покажите, что для некоторых $x$ и $y$ из $F$ выполняется $(x+y)^3 \neq x^3+y^3$.