Введение в кольца

Приведите пример конечного некоммутативного кольца. Приведите пример бесконечного некоммутативного кольца без единицы.

Покажите, что подкольцо $R = \left\{ 0, 2, 4, 6, 8\right\}$ кольца $\mathbb {Z}_{10}$ имеет единицу и каждый ненулевой элемент является обратимым элементом $R$. Заметьте, что ни один из этих элементов не является обратимым элементом в $\mathbb {Z}_{10}$.

Приведите пример подмножества кольца, которое является подгруппой относительно сложения, но не является подкольцом.

Покажите на примере, что для фиксированных ненулевых элементов $a$ и $b$ кольца уравнение $ax = b$ может иметь более одного решения. Как это соотносится с группами?

Какие из следующих подмножеств $\mathbb {Z}^{x}$ являются подкольцами?

Найдите такое целое $n$, чтобы кольца $\mathbb {Z}_n$ не обязательно обладали следующими свойствами, которыми обладает кольцо целых чисел.

Покажите, что три свойства, перечисленные в упражнении 12.6, верны для $\mathbb {Z}_p$, где $p$ простое.

Покажите, что кольцо коммутативно, если оно обладает свойством: из $ab = ca$ следует $b = c$ при $a \neq 0$. (Внешнее сокращение влечёт коммутативность''.) Покажите, что то же верно, если из $ab = bc$ следует $a = c$ при $b \neq 0$. (Внутреннее сокращение влечёт коммутативность''.)

Докажите, что пересечение любого семейства подколец кольца $R$ является подкольцом $R$.

Проверьте, что примеры 8--13 этой главы верны в сформулированном виде.

Докажите правила 3--6 теоремы 12.1.

Теорема 12.1 (Правила умножения): пусть $a$, $b$ и $c$ принадлежат кольцу $R$. Тогда (1) $a0 = 0a = 0$; (2) $a(-b) = (-a)b = -(ab)$; (3) $(-a)(-b) = ab$; (4) $a(b-c) = ab - ac$ и $(b-c)a = ba - ca$. Кроме того, если $R$ имеет единичный элемент 1, то (5) $(-1)a = -a$; (6) $(-1)(-1) = 1$.

Пусть $a$, $b$ и $c$ являются элементами коммутативного кольца, причём $a$ --- обратимый элемент. Докажите, что $b$ делит $c$ тогда и только тогда, когда $ab$ делит $c$.

Опишите все подкольца кольца целых чисел.

Пусть $a$ и $b$ принадлежат кольцу $R$, а $m$ --- целое число. Докажите, что $m \cdot (ab) = (m \cdot a)b = a(m \cdot b)$.

Покажите, что если $m$ и $n$ --- целые числа, а $a$ и $b$ --- элементы кольца, то $(m \cdot a)(n \cdot b) = (mn) \cdot (ab)$. (Это упражнение упоминается в главах 13 и 15.)

Покажите, что если $n$ --- целое число, а $a$ --- элемент кольца, то $n \cdot (-a) = -(n \cdot a)$.

Покажите, что кольцо, являющееся циклическим относительно сложения, коммутативно.

Пусть $r$ --- фиксированный элемент кольца $R$. Пусть $S = \left\{ x \in R \mid rx = 0\right\}$. Покажите, что $S$ является подкольцом $R$.

Пусть $R$ --- кольцо. Центром $R$ называется множество $\left\{ x \in R \mid ax = xa \text{ для всех } a \text{ из } R\right\}$. Докажите, что центр кольца является подкольцом.

Найдите строго убывающую последовательность подколец $R_0 \subset R_1 \subset R_2 \cdots$ такую, что $R_0 = \mathbb {Z}$ и $\bigcap_{i=0}^{\infty } R_i = \left\{ 0\right\}$.

Предположим, что $R_1, R_2, \ldots , R_n$ --- кольца, содержащие ненулевые элементы. Покажите, что $R_1 \oplus R_2 \oplus \cdots \oplus R_n$ имеет единицу тогда и только тогда, когда каждое $R_i$ имеет единицу. (Эта группа называется группой обратимых элементов $R$.)

Пусть $R$ --- коммутативное кольцо с единицей, а $U(R)$ обозначает множество обратимых элементов $R$. Докажите, что $U(R)$ является группой относительно умножения в $R$. (Эта группа называется группой обратимых элементов $R$.)

Найдите $U(\mathbb {Z}^{i})$ (см. пример 11).

Если $R_1, R_2, \ldots , R_n$ --- коммутативные кольца с единицей, покажите, что $U(R_1 \oplus R_2 \oplus \cdots \oplus R_n) = U(R_1) \oplus U(R_2) \oplus \cdots \oplus U(R_n)$.

Найдите $U(\mathbb {Z}^{x})$. (Это упражнение упоминается в главе 17.)

Найдите $U(R[x])$.

Покажите, что обратимый элемент кольца делит каждый элемент кольца.

В $\mathbb {Z}_6$ покажите, что $4 \mid 2$; в $\mathbb {Z}_8$ покажите, что $3 \mid 7$; в $\mathbb {Z}_{15}$ покажите, что $9 \mid 12$.

Предположим, что $a$ и $b$ принадлежат коммутативному кольцу $R$ с единицей. Если $a$ --- обратимый элемент $R$ и $b^2 = 0$, покажите, что $a + b$ является обратимым элементом $R$.

Пусть $a$ принадлежит кольцу $R$ с единицей и $a^n = 0$ для некоторого положительного целого $n$. (Такой элемент называется нильпотентным.) Докажите, что $1 - a$ имеет мультипликативно обратный элемент в $R$.

Покажите, что нильпотентные элементы коммутативного кольца образуют подкольцо.

Предположим, что существует целое $n > 1$ такое, что $x^n = x$ для всех элементов $x$ некоторого кольца. Если $m$ --- положительное целое число и $a^m = 0$ для некоторого $a$, покажите, что $a = 0$.

Приведите пример элементов кольца $a$ и $b$, обладающих свойствами $ab = 0$, но $ba \neq 0$.

Пусть $n$ --- целое число, большее 1. В кольце, в котором для всех $x$ выполнено $x^n = x$, покажите, что $ab = 0$ влечёт $ba = 0$.

Докажите, что для любого целого $n > 1$ множество $R = \left\{ \begin{bmatrix} 0 & a \\ 0 & b \end{bmatrix} \mid a, b \in \mathbb {Z}_n\right\}$ является некоммутативным кольцом порядка $n^2$. Обобщите на некоммутативные кольца порядка $n^m$ при $m > 1$.

Предположим, что $R$ --- кольцо, такое что $x^3 = x$ для всех $x$ в $R$.

Предположим, что $R$ --- кольцо, такое что $x^4 = x$ для всех $x$ в $R$. Докажите, что $2x = 0$ для всех $x$ в $R$.

Предположим, что $a$ принадлежит кольцу и $a^4 = a^2$. Докажите, что $a^{2n} = a^2$ для всех $n \geq 1$.

Найдите целое $n > 1$ такое, что $a^n = a$ для всех $a$ в $\mathbb {Z}_6$. Сделайте то же для $\mathbb {Z}_{10}$. Покажите, что такого $n$ не существует для $\mathbb {Z}_m$, когда $m$ делится на квадрат некоторого простого числа.

Пусть $m$ и $n$ --- положительные целые числа, а $k$ --- наименьшее общее кратное $m$ и $n$. Покажите, что $m\mathbb {Z} \cap n\mathbb {Z} = k\mathbb {Z}$.

Объясните, почему каждая подгруппа $\mathbb {Z}_n$ относительно сложения также является подкольцом $\mathbb {Z}_n$.

Является ли $\mathbb {Z}_6$ подкольцом $\mathbb {Z}_{12}$?

Предположим, что $R$ --- кольцо с единицей 1 и $a$ --- элемент $R$, такой что $a^2 = 1$. Пусть $S = \left\{ ara \mid r \in R\right\}$. Докажите, что $S$ является подкольцом $R$. Содержит ли $S$ элемент 1?

Пусть $M_2(\mathbb {Z})$ --- кольцо всех матриц размера $2 \times 2$ над целыми числами и $R = \left\{ \begin{bmatrix} a & a+b \\ a+b & b \end{bmatrix} \mid a, b \in \mathbb {Z}\right\}$. Докажите или опровергните, что $R$ является подкольцом $M_2(\mathbb {Z})$.

Пусть $M_2(\mathbb {Z})$ --- кольцо всех матриц размера $2 \times 2$ над целыми числами и $R = \left\{ \begin{bmatrix} a & a-b \\ a-b & b \end{bmatrix} \mid a, b \in \mathbb {Z}\right\}$. Докажите или опровергните, что $R$ является подкольцом $M_2(\mathbb {Z})$.

Пусть $M_2(\mathbb {Z})$ --- кольцо всех матриц размера $2 \times 2$ над целыми числами и $R = \left\{ \begin{bmatrix} a & a \\ b & b \end{bmatrix} \mid a, b \in \mathbb {Z}\right\}$. Докажите или опровергните, что $R$ является подкольцом $M_2(\mathbb {Z})$.

Докажите или опровергните, что $R = \left\{ \begin{bmatrix} 0 & a \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \mid a \in \mathbb {Z}\right\}$ и $S = \left\{ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ a & 0 \end{bmatrix} \mid a \in \mathbb {Z}\right\}$ являются подкольцами $M_2(\mathbb {Z})$. Что необычного в $R$ и $S$?

Докажите или опровергните, что $R = \left\{ \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \mid a \in \mathbb {Z}\right\}$ и $S = \left\{ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & a \end{bmatrix} \mid a \in \mathbb {Z}\right\}$ являются подкольцами $M_2(\mathbb {Z})$.

Пусть $R = \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ и $S = \left\{ (a,b,c) \in R \mid a + b = c\right\}$. Докажите или опровергните, что $S$ является подкольцом $R$.

Предположим, что существует положительное чётное целое $n$ такое, что $a^n = a$ для всех элементов $a$ некоторого кольца. Покажите, что $-a = a$ для всех $a$ в кольце.

Пусть $R$ --- кольцо с единицей 1. Покажите, что $S = \left\{ n \cdot 1 \mid n \in \mathbb {Z}\right\}$ является подкольцом $R$.

Покажите, что $2\mathbb {Z} \cup 3\mathbb {Z}$ не является подкольцом $\mathbb {Z}$.

Найдите наименьшее подкольцо $\mathbb {Q}$, содержащее $2/3$. (То есть найдите подкольцо $S$, обладающее свойством: $S$ содержит $2/3$ и, если $T$ --- любое подкольцо, содержащее $2/3$, то $T$ содержит $S$.)

Найдите наименьшее подкольцо $\mathbb {Q}$, содержащее $2/3$.

Пусть $R$ --- кольцо. Докажите, что $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ для всех $a, b$ в $R$ тогда и только тогда, когда $R$ коммутативно.

Предположим, что $R$ --- кольцо и $a^2 = a$ для всех $a$ в $R$. Покажите, что $R$ коммутативно.

Приведите пример булева кольца с четырьмя элементами. Приведите пример бесконечного булева кольца.

Если $a$, $b$ и $c$ --- элементы кольца, всегда ли уравнение $ax + b = c$ имеет решение $x$? Если имеет, обязано ли решение быть единственным? Ответьте на те же вопросы при условии, что $a$ --- обратимый элемент.

Пусть $R$ и $S$ --- коммутативные кольца. Докажите, что $(a,b)$ является делителем нуля в $R \oplus S$ тогда и только тогда, когда $a$ или $b$ является делителем нуля, либо ровно один из $a$ и $b$ равен 0.

Покажите, что $4x^2 + 6x + 3$ является обратимым элементом в $\mathbb {Z}_8[x]$.

Пусть $R$ --- коммутативное кольцо с более чем одним элементом. Докажите, что если для каждого ненулевого элемента $a$ из $R$ выполнено $aR = R$, то $R$ имеет единицу и каждый ненулевой элемент имеет обратный.

Найдите пример коммутативного кольца $R$ с единицей, такого что $a, b \in R$, $a \neq b$, $a^n = b^n$ и $a^m = b^m$, где $n$ и $m$ --- взаимно простые положительные целые числа. (Сравните с упражнением 13.39, пункт b, в главе 13.)

Докажите, что элемент $A$ из $M_2(\mathbb {Z})$ является обратимым тогда и только тогда, когда $\det A = \pm 1$.