Основная теорема о конечных абелевых группах

Каково наименьшее положительное целое число $n$, для которого существуют две неизоморфные группы порядка $n$? Назовите эти две группы.

Каково наименьшее положительное целое число $n$, для которого существуют три неизоморфные абелевы группы порядка $n$? Назовите эти три группы.

Каково наименьшее положительное целое число $n$, для которого существуют ровно четыре неизоморфные абелевы группы порядка $n$? Назовите эти четыре группы.

Вычислите число элементов порядка 2 в каждой из групп $\mathbb {Z}_{16}$, $\mathbb {Z}_8 \oplus \mathbb {Z}_2$, $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_4$ и $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$. То же самое сделайте для элементов порядка 4.

Докажите, что любая абелева группа порядка 45 содержит элемент порядка 15. Всякая ли абелева группа порядка 45 содержит элемент порядка 9?

Покажите, что существуют две абелевы группы порядка 108, имеющие ровно одну подгруппу порядка 3.

Покажите, что существуют две абелевы группы порядка 108, имеющие ровно четыре подгруппы порядка 3.

Покажите, что существуют две абелевы группы порядка 108, имеющие ровно 13 подгрупп порядка 3.

Пусть $G$ --- абелева группа порядка 120 и $G$ имеет ровно три элемента порядка 2. Определите класс изоморфизма $G$.

Найдите все абелевы группы порядка 360 с точностью до изоморфизма.

Докажите, что всякую конечную абелеву группу можно представить в виде (внешнего) прямого произведения циклических групп порядков $n_1, n_2, \ldots , n_t$, где $n_{i+1}$ делит $n_i$ при $i = 1, 2, \ldots , t-1$. (На это упражнение имеется ссылка в данной главе.)

Пусть порядок некоторой конечной абелевой группы делится на 10. Докажите, что группа имеет циклическую подгруппу порядка 10.

Покажите на примере, что если порядок конечной абелевой группы делится на 4, то группа не обязана иметь циклическую подгруппу порядка 4.

На основе упражнений 12 и 13 сделайте общий вывод о существовании циклических подгрупп конечной абелевой группы.

Сколько существует абелевых групп с точностью до изоморфизма

Как соотносится число абелевых групп порядка $n$ с точностью до изоморфизма с числом абелевых групп порядка $m$ с точностью до изоморфизма, если

С точностью до изоморфизма, сколько существует аддитивных абелевых групп порядка 16, обладающих свойством $x+x+x+x = 0$ для всех $x$ группы?

Пусть $p_1, p_2, \ldots , p_n$ --- различные простые числа. Сколько существует с точностью до изоморфизма абелевых групп порядка $p_1^4 p_2^4 \cdots p_n^4$?

Группа симметрий прямоугольника, не являющегося квадратом, есть абелева группа порядка 4. Изоморфна ли она $\mathbb {Z}_4$ или $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$?

Проверьте следствие основной теоремы о конечных абелевых группах в случае, когда группа имеет порядок 1080, а делитель равен 180.

Множество $\left\{ 1, 9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81\right\}$ образует группу относительно умножения по модулю 91. Определите класс изоморфизма этой группы.

Пусть $G$ --- конечная абелева группа, имеющая ровно одну подгруппу для каждого делителя $\left|G\right|$. Покажите, что $G$ циклическая.

Охарактеризуйте те целые числа $n$, для которых единственными абелевыми группами порядка $n$ являются циклические.

Охарактеризуйте те целые числа $n$, для которых любая абелева группа порядка $n$ принадлежит ровно одному из четырёх классов изоморфизма.

Обратитесь к примеру 1 этой главы и объясните, почему для определения класса изоморфизма $G$ нет необходимости вычислять порядки последних пяти перечисленных элементов.

Пример 1: Пусть $G = \left\{ 1, 8, 12, 14, 18, 21, 27, 31, 34, 38, 44, 47, 51, 53, 57, 64\right\}$ относительно умножения по модулю 65. Так как $G$ имеет порядок 16, она изоморфна одной из групп $\mathbb {Z}_{16}$, $\mathbb {Z}_8 \oplus \mathbb {Z}_2$, $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_4$, $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$, $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$. Использование онлайн-калькулятора модульной арифметики для определения порядков элементов $G$ даёт таблицу:

Пусть $G = \left\{ 1, 7, 17, 23, 49, 55, 65, 71\right\}$ относительно умножения по модулю 96. Представьте $G$ как внешнее и внутреннее прямое произведение циклических групп.

Пусть $G = \left\{ 1, 7, 43, 49, 51, 57, 93, 99, 101, 107, 143, 149, 151, 157, 193, 199\right\}$ относительно умножения по модулю 200. Представьте $G$ как внешнее и внутреннее прямое произведение циклических групп.

Множество $G = \left\{ 1, 4, 11, 14, 16, 19, 26, 29, 31, 34, 41, 44\right\}$ является группой относительно умножения по модулю 45. Запишите $G$ как внешнее и внутреннее прямое произведение циклических групп простостепенного порядка.

Определите класс изоморфизма $(\mathbb {Z}_{16} \oplus \mathbb {Z}_{16})/ \left\langle (2,2)\right\rangle$.

Пусть $G$ --- подгруппа $U(200)$ порядка 16. Определите класс изоморфизма $G$.

Пусть $G$ --- абелева группа порядка 9. Каково наибольшее число элементов (не считая нейтрального), порядки которых нужно вычислить, чтобы определить класс изоморфизма $G$? А если $G$ имеет порядок 18? А 16?

Пусть $G$ --- абелева группа порядка 16, и при вычислении порядков её элементов вы встречаете элемент порядка 8 и два элемента порядка 2. Объясните, почему для определения класса изоморфизма $G$ дальнейшие вычисления не нужны.

Пусть $G$ --- абелева группа порядка 16. Предположим, что в $G$ есть элементы $a$ и $b$ такие, что $\left|a\right| = \left|b\right| = 4$ и $a^2 \neq b^2$. Определите класс изоморфизма $G$.

Докажите, что абелева группа порядка $2n$ ($n \geq 1$) должна иметь нечётное число элементов порядка 2.

Не используя теорему Лагранжа, покажите, что абелева группа нечётного порядка не может иметь элемента чётного порядка.

Пусть $G$ --- группа всех диагональных матриц размера $n \times n$, диагональные элементы которых равны $\pm 1$. Каков класс изоморфизма $G$?

Докажите утверждение, сделанное в доказательстве леммы 2: $G = \left\langle a\right\rangle K$.

Лемма 2: Пусть $G$ --- абелева группа простостепенного порядка, а $a$ --- элемент максимального порядка в $G$. Тогда $G$ можно записать в виде $\left\langle a\right\rangle \times K$. (В доказательстве $\overline{a}$ --- элемент максимального порядка в фактор-группе $\overline{G} = G/ \left\langle b\right\rangle$ для некоторого элемента $b$ порядка $p$ с $\left\langle a\right\rangle \cap \left\langle b\right\rangle = \left\{ e\right\}$; по индукции $\overline{G} = \left\langle \overline{a}\right\rangle \times \overline{K}$; $K$ есть прообраз $\overline{K}$ при естественном гомоморфизме из $G$ в $\overline{G}$, причём установлено $\left\langle a\right\rangle \cap K = \left\{ e\right\}$.)

Пусть $G$ --- конечная абелева группа. Докажите, что $G$ имеет порядок $p^n$, где $p$ простое, тогда и только тогда, когда порядок каждого элемента $G$ есть степень $p$.

Теорема Дирихле утверждает, что для каждой пары взаимно простых целых чисел $a$ и $b$ существует бесконечно много простых чисел вида $at + b$. Используйте теорему Дирихле, чтобы доказать, что всякая конечная абелева группа изоморфна подгруппе некоторой $U$-группы.

Определите класс изоморфизма $\operatorname {Aut}(\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_5)$.

Приведите пример, показывающий, что лемма 2 неверна, если $G$ неабелева.

Лемма 2: Пусть $G$ --- абелева группа простостепенного порядка, а $a$ --- элемент максимального порядка в $G$. Тогда $G$ можно записать в виде $\left\langle a\right\rangle \times K$.

Докажите, что абелева группа порядка $2^n$ циклическая тогда и только тогда, когда она имеет ровно один элемент порядка 2. Обобщите на случай абелевой группы порядка $p^n$, где $p$ простое.

Докажите, что всякая конечная абелева группа порядка не менее 3 имеет нетривиальный автоморфизм.

Напомним: экспонента конечной группы $G$ есть наименьшее положительное целое число $n$, для которого $x^n = e$ для всех $x$ из $G$. Докажите, что если $G$ конечна и абелева, то экспонента $G$ равна наибольшему порядку её элемента. Приведите пример, показывающий, что это неверно для конечных неабелевых групп.

Если $G$ --- конечная абелева группа, такая, что число решений в $G$ уравнения $x^n = e$ не превосходит $n$ для всех положительных целых $n$, докажите, что $G$ циклическая.

Если $H$ --- подгруппа конечной абелевой группы чётного порядка, содержащая все элементы $G$ чётного порядка, докажите, что $H = G$.

Проверьте утверждение, сделанное после примера 2, что класс изоморфизма группы из примера 2 можно определить, вычислив только порядки 8, 12, 18, 21 и 27.

Пример 2: Пусть $G = \left\{ 1, 8, 17, 19, 26, 28, 37, 44, 46, 53, 62, 64, 71, 73, 82, 89, 91, 98, 107, 109, 116, 118, 127, 134\right\}$ относительно умножения по модулю 135. Так как $G$ имеет порядок 24, она изоморфна одной из групп $\mathbb {Z}_8 \oplus \mathbb {Z}_3 \approx \mathbb {Z}_{24}$, $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_3 \approx \mathbb {Z}_{12} \oplus \mathbb {Z}_2$, $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_3 \approx \mathbb {Z}_6 \oplus \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$.

Дайте характеристику классов изоморфизма всех конечных абелевых групп, обладающих свойством, что каждая подгруппа группы циклическая.