Гомоморфизмы групп

Докажите, что отображение из примера 2 является гомоморфизмом.

Пример 2: Пусть $\mathbb {R}^*$ --- группа ненулевых вещественных чисел относительно умножения. Тогда отображение, сопоставляющее матрице $A$ число $\det A$, является гомоморфизмом из $\operatorname {GL}(2, \mathbb {R})$ в $\mathbb {R}^*$. Ядром отображения определителя является $\operatorname {SL}(2, \mathbb {R})$.

Докажите, что отображение из примера 3 является гомоморфизмом.

Пример 3: Отображение $\phi$ из $\mathbb {R}^*$ в $\mathbb {R}^*$, заданное формулой $\phi (x) = \left|x\right|$, является гомоморфизмом с $\operatorname {Ker} \phi = \left\{ 1,-1\right\}$.

Докажите, что отображение из примера 4 является гомоморфизмом.

Пример 4: Пусть $\mathbb {R}^{x}$ обозначает группу всех многочленов с вещественными коэффициентами относительно сложения. Для любого $f$ из $\mathbb {R}^{x}$ пусть $f'$ обозначает производную $f$. Тогда отображение $f \to f'$ является гомоморфизмом из $\mathbb {R}^{x}$ в себя. Ядро отображения дифференцирования есть множество всех постоянных многочленов.

Докажите, что отображение из примера 12 является гомоморфизмом.

Пример 12: Отображение из $S_n$ в $\mathbb {Z}_2$, которое чётной перестановке сопоставляет 0, а нечётной --- 1, является гомоморфизмом.

Пусть $\mathbb {R}^*$ --- группа ненулевых вещественных чисел относительно умножения, а $r$ --- положительное целое число. Покажите, что отображение, сопоставляющее $x$ число $x^r$, является гомоморфизмом из $\mathbb {R}^*$ в $\mathbb {R}^*$, и определите ядро. При каких значениях $r$ получается изоморфизм?

Пусть $G$ --- группа всех многочленов с вещественными коэффициентами относительно сложения. Для каждого $f$ из $G$ пусть $\int f$ обозначает первообразную функции $f$, проходящую через точку $(0,0)$. Покажите, что отображение $f \to \int f$ из $G$ в $G$ является гомоморфизмом. Каково ядро этого отображения? Является ли это отображение гомоморфизмом, если $\int f$ обозначает первообразную $f$, проходящую через $(0,1)$?

Если $\phi$ --- гомоморфизм из $G$ в $H$, а $\sigma$ --- гомоморфизм из $H$ в $K$, покажите, что $\sigma \phi$ является гомоморфизмом из $G$ в $K$. Как связаны $\operatorname {Ker} \phi$ и $\operatorname {Ker} \sigma \phi$? Если $\phi$ и $\sigma$ сюръективны и $G$ конечно, выразите $\left[\operatorname {Ker} \sigma \phi : \operatorname {Ker} \phi \right]$ через $\left|H\right|$ и $\left|K\right|$.

Пусть $G$ --- группа перестановок. Для каждого $\sigma$ из $G$ определим

Докажите, что $\operatorname {sgn}$ является гомоморфизмом из $G$ в мультипликативную группу $\left\{ +1,-1\right\}$. Каково ядро? Почему этот гомоморфизм позволяет заключить, что $A_n$ является нормальной подгруппой $S_n$ индекса 2? Почему это доказывает упражнение 27 главы 5?

Докажите, что отображение из $G \oplus H$ в $G$, заданное формулой $(g,h) \to g$, является гомоморфизмом. Каково ядро? Это отображение называется проекцией $G \oplus H$ на $G$.

Пусть $G$ --- подгруппа некоторой диэдральной группы. Для каждого $x$ из $G$ определим

Докажите, что $\phi$ является гомоморфизмом из $G$ в мультипликативную группу $\left\{ +1,-1\right\}$. Каково ядро? Почему это доказывает упражнение 30 главы 3?

Докажите, что $(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z})/( \left\langle (a,0)\right\rangle \oplus \left\langle (0,b)\right\rangle )$ изоморфна $\mathbb {Z}_a \oplus \mathbb {Z}_b$.

Предположим, что $k$ делит $n$. Докажите, что $\mathbb {Z}_n/ \left\langle k\right\rangle \approx \mathbb {Z}_k$.

Докажите, что $(A \oplus B)/(A \oplus \left\{ e\right\} ) \approx B$.

Объясните, почему соответствие $x \to 3x$ из $\mathbb {Z}_{12}$ в $\mathbb {Z}_{10}$ не является гомоморфизмом.

Предположим, что $\phi$ --- гомоморфизм из $\mathbb {Z}_{30}$ в $\mathbb {Z}_{30}$ и $\operatorname {Ker}\phi = \left\{ 0,10,20\right\}$. Если $\phi (23) = 9$, определите все элементы, переходящие в 9.

Докажите, что не существует гомоморфизма из $\mathbb {Z}_8 \oplus \mathbb {Z}_2$ на $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_4$.

Докажите, что не существует гомоморфизма из $\mathbb {Z}_{16} \oplus \mathbb {Z}_2$ на $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_4$.

Может ли существовать гомоморфизм из $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_4$ на $\mathbb {Z}_8$? Может ли существовать гомоморфизм из $\mathbb {Z}_{16}$ на $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$? Может ли существовать гомоморфизм из $\mathbb {Z}_{18}$ на $\mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_2$? Объясните ответы.

Предположим, что существует гомоморфизм $\phi$ из $\mathbb {Z}_{17}$ в некоторую группу и что $\phi$ не инъективен. Определите $\phi$.

Сколько существует гомоморфизмов из $\mathbb {Z}_{20}$ на $\mathbb {Z}_8$? Сколько существует гомоморфизмов в $\mathbb {Z}_8$?

Если $\phi$ --- гомоморфизм из $\mathbb {Z}_{30}$ на группу порядка 5, определите ядро $\phi$.

Пусть $\phi$ --- гомоморфизм из конечной группы $G$ в $\overline{G}$, и $\overline{G}$ содержит элемент порядка 8. Докажите, что $G$ содержит элемент порядка 8. Обобщите.

Пусть $\phi$ --- гомоморфизм из конечной группы $G$ в $\overline{G}$. Если $H$ --- подгруппа $\overline{G}$, дайте формулу для $\left|\phi^{-1}(H)\right|$ через $\left|H\right|$ и $\phi$.

Предположим, что $\phi : \mathbb {Z}_{50} \to \mathbb {Z}_{15}$ --- гомоморфизм групп и $\phi (7) = 6$.

Сколько существует гомоморфизмов из $\mathbb {Z}_{20}$ на $\mathbb {Z}_{10}$? Сколько существует гомоморфизмов в $\mathbb {Z}_{10}$?

Определите все гомоморфизмы из $\mathbb {Z}_4$ в $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$.

Определите все гомоморфизмы из $\mathbb {Z}_n$ в себя.

Предположим, что $\phi$ --- гомоморфизм из $S_4$ на $\mathbb {Z}_2$. Определите $\operatorname {Ker}\phi$. Определите все гомоморфизмы из $S_4$ в $\mathbb {Z}_2$.

Предположим, что существует гомоморфизм из конечной группы $G$ на $\mathbb {Z}_{10}$. Докажите, что $G$ имеет нормальные подгруппы индексов 2 и 5.

Предположим, что $\phi$ --- гомоморфизм из группы $G$ на $\mathbb {Z}_6 \oplus \mathbb {Z}_2$ и что ядро $\phi$ имеет порядок 5. Объясните, почему $G$ должна иметь нормальные подгруппы порядков 5, 10, 15, 20, 30 и 60.

Предположим, что $\phi$ --- гомоморфизм из $U(30)$ в $U(30)$ и что $\operatorname {Ker}\phi = \left\{ 1,11\right\}$. Если $\phi (7) = 7$, найдите все элементы $U(30)$, переходящие в 7.

Предположим, что $\phi$ --- гомоморфизм из $\mathbb {Z}_{30}$ в $\mathbb {Z}_{30}$ и что $\operatorname {Ker}\phi = \left\{ 0,5,10,15,20,25\right\}$. Если $\phi (7) = 12$, найдите все элементы $\mathbb {Z}_{30}$, переходящие в 24. Найдите все элементы $\mathbb {Z}_{30}$, переходящие в 6.

Предположим, что $\phi$ --- гомоморфизм из $U(40)$ в $U(40)$ и что $\operatorname {Ker}\phi = \left\{ 1,9,17,33\right\}$. Если $\phi (11) = 11$, найдите все элементы $U(40)$, переходящие в 11.

Если $\phi$ --- гомоморфизм из $A_4$ на циклическую группу $G$, докажите, что $\left|G\right| = 1$ или 3.

Докажите, что отображение $\phi : \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$, заданное формулой $(a,b) \to a-b$, является гомоморфизмом. Каково ядро $\phi$? Опишите множество $\phi^{-1}(3)$ (то есть все элементы, переходящие в 3).

Предположим, что существует гомоморфизм $\phi$ из $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ в группу $G$, такой что $\phi ((3,2)) = a$ и $\phi ((2,1)) = b$. Определите $\phi ((4,4))$ через $a$ и $b$. Предположите, что операция в $G$ есть сложение.

Пусть $H = \left\{ z \in \mathbb {C}^* \mid \left|z\right| = 1\right\}$. Докажите, что $\mathbb {C}^*/H$ изоморфна $\mathbb {R}^+$, группе положительных вещественных чисел относительно умножения. (Напомним, что $\left|a+bi\right| = \sqrt{a^2+b^2}$.)

Пусть $\alpha$ --- гомоморфизм из $G_1$ в $H_1$, а $\beta$ --- гомоморфизм из $G_2$ в $H_2$. Определите ядро гомоморфизма $\gamma$ из $G_1 \oplus G_2$ в $H_1 \oplus H_2$, заданного формулой $\gamma (g_1, g_2) = (\alpha (g_1), \beta (g_2))$.

Докажите, что отображение $x \to x^6$ из $\mathbb {C}^*$ в $\mathbb {C}^*$ является гомоморфизмом. Каково его ядро?

Для каждой пары положительных целых чисел $m$ и $n$ можно определить гомоморфизм из $\mathbb {Z}$ в $\mathbb {Z}_m \oplus \mathbb {Z}_n$ по формуле $x \to (x \bmod m, x \bmod n)$. Каково ядро при $(m,n) = (3,4)$? Каково ядро при $(m,n) = (6,4)$? Обобщите.

Если $G$ --- абелева группа и $\phi$ --- гомоморфизм из $G$ в некоторую группу, докажите, что $H = \left\{ x \in G \mid \phi (x) = x^{-2}\right\}$ является подгруппой $G$. Если $\phi (x) = x^3$, что можно сказать о порядках элементов $H$?

Если $\phi$ --- гомоморфизм из $D_6$ на $D_3$, то чему равно $\operatorname {Ker}\phi$?

Докажите, что не существует гомоморфизма из $\mathbb {Z}_{16}$, $\mathbb {Z}_8 \oplus \mathbb {Z}_2$ или $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_4$ на $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$. Обобщите на отображения $\mathbb {Z}_{2^m}$ и $\mathbb {Z}_{2^m} \oplus \mathbb {Z}_{2^n}$ на $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$. Работает ли ваше рассуждение для отображений $\mathbb {Z}_{p^m}$ и $\mathbb {Z}_{p^m} \oplus \mathbb {Z}_{p^n}$ на $\mathbb {Z}_p \oplus \mathbb {Z}_p \oplus \mathbb {Z}_p$, где $p$ --- любое простое число?

Докажите, что не существует гомоморфизма из $S_3$ на $\mathbb {Z}_3$. Докажите, что не существует гомоморфизма из $S_4$ на $\mathbb {Z}_3$.

Используйте подгруппу $H$, определённую в примере 9 главы 9, чтобы доказать существование гомоморфизма из $S_4$ на $S_3$. На это упражнение есть ссылка в данной главе.

Пример 9: Обращаясь к таблице группы $A_4$, получаем, что $H = \left\{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right\}$ есть нормальная подгруппа $A_4$ порядка 4 (и фактически нормальна в $S_4$).

Докажите, что каждый гомоморфный образ $\mathbb {Z}_m \oplus \mathbb {Z}_n$ имеет вид $\mathbb {Z}_s \oplus \mathbb {Z}_t$, где $s$ делит $m$, а $t$ делит $n$.

Пусть $s$ и $t$ --- взаимно простые положительные целые числа. Докажите, что $U(st)/U_s(st)$ изоморфна $U(s)$.

Если $G = \left\langle S\right\rangle$ и $\phi$ --- гомоморфизм из $G$ в некоторую группу, докажите, что $\phi (G) = \left\langle \phi (S)\right\rangle$.

Если $K$ --- подгруппа $G$, а $N$ --- нормальная подгруппа $G$, докажите, что $K/(K \cap N)$ изоморфна $KN/N$.

Если $M$ и $N$ --- нормальные подгруппы $G$ и $N \leq M$, докажите, что $(G/N)/(M/N) \approx G/M$. Думайте об этом как о форме «сокращения» $N$ в числителе и знаменателе.

Докажите, что единственный гомоморфизм из $A_4$ в конечную группу, порядок которой не делится на 3, --- это тривиальное отображение, переводящее каждый элемент в единицу.

Пусть $k$ --- делитель $n$. Рассмотрим гомоморфизм из $U(n)$ в $U(k)$, заданный формулой $x \to x \bmod k$. Как этот гомоморфизм связан с подгруппой $U_k(n)$ группы $U(n)$?

Определите все гомоморфные образы $D_4$ (с точностью до изоморфизма).

Пусть $N$ --- нормальная подгруппа конечной группы $G$. Используя теоремы этой главы, докажите, что порядок элемента группы $gN$ в $G/N$ делит порядок $g$.

Предположим, что $G$ --- конечная группа и $\mathbb {Z}_{10}$ является гомоморфным образом $G$. Что можно сказать о $\left|G\right|$? Обобщите.

Предположим, что $\mathbb {Z}_{10}$ и $\mathbb {Z}_{15}$ оба являются гомоморфными образами конечной группы $G$. Что можно сказать о $\left|G\right|$? Обобщите.

Предположим, что для каждого простого $p$ группа $\mathbb {Z}_p$ является гомоморфным образом группы $G$. Что можно сказать о $\left|G\right|$? Приведите пример такой группы.

(Для изучавших линейную алгебру.) Предположим, что $x$ --- частное решение системы линейных уравнений, а $S$ --- всё множество решений соответствующей однородной системы линейных уравнений. Объясните, почему свойство 6 теоремы 10.1 (если $\phi (g) = g'$, то $\phi^{-1}(g') = \left\{ x \in G \mid \phi (x) = g'\right\} = g\operatorname {Ker}\phi$) гарантирует, что $x + S$ есть всё множество решений неоднородной системы. В частности, опишите соответствующие группы и гомоморфизм между ними.

Пусть $N$ --- нормальная подгруппа группы $G$. Используйте свойство 8 теоремы 10.2 (если $K$ --- подгруппа $\overline{G}$, то $\phi^{-1}(K) = \left\{ k \in G \mid \phi (k) \in K\right\}$ является подгруппой $G$), чтобы доказать, что всякая подгруппа $G/N$ имеет вид $H/N$, где $H$ --- подгруппа $G$. (На это упражнение есть ссылки в главах 11 и 23.)

Покажите, что гомоморфизм, определённый на циклической группе, полностью задаётся своим действием на порождающем элементе группы.

Используйте первую теорему об изоморфизме, чтобы доказать теорему 9.4.

Теорема 9.4: Для любой группы $G$ фактор-группа $G/Z(G)$ изоморфна $\operatorname {Inn}(G)$.

Определите все гомоморфизмы из $D_5$ на $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$. Определите все гомоморфизмы из $D_5$ в $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$.

Пусть $\mathbb {Z}^{x}$ --- группа многочленов от $x$ с целыми коэффициентами относительно сложения. Докажите, что отображение из $\mathbb {Z}^{x}$ в $\mathbb {Z}$, заданное формулой $f(x) \to f(3)$, является гомоморфизмом. Дайте геометрическое описание ядра этого гомоморфизма. Обобщите.

Докажите, что отображение из $\mathbb {R}$ относительно сложения в $\operatorname {SL}(2, \mathbb {R})$, сопоставляющее $x$ матрицу

является гомоморфизмом групп. Каково ядро этого гомоморфизма?

Предположим, что существует гомоморфизм $\phi$ из $G$ на $\mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}_2$. Докажите, что $G$ есть объединение трёх собственных нормальных подгрупп.

Если $H$ и $K$ --- нормальные подгруппы $G$ и $H \cap K = \left\{ e\right\}$, докажите, что $G$ изоморфна подгруппе $G/H \oplus G/K$.

Найдите гомоморфизм из $\mathbb {Z}_8 \oplus \mathbb {Z}_4$ на $\mathbb {Z}_4 \oplus \mathbb {Z}_4$.

Предположим, что $\phi$ --- гомоморфизм из $D_{12}$ на $D_3$. Чему равно $\phi (R_{180})$?

Остаётся ли рассуждение из примера 19, доказывающее, что всякая группа порядка 35 циклическая, верным для группы порядка 55? Если нет, где оно нарушается?

Пример 18 (рассуждение для порядка 35): Пусть $G$ --- группа порядка 35. По теореме Лагранжа каждый неединичный элемент $G$ имеет порядок 5, 7 или 35. Если некоторый элемент имеет порядок 35, то $G$ циклическая. Поэтому можно предположить, что все неединичные элементы имеют порядок 5 или 7. Однако не все такие элементы могут иметь порядок 5, так как элементы порядка 5 встречаются группами по 4, а 4 не делит 34. Аналогично, поскольку 6 не делит 34, не все неединичные элементы могут иметь порядок 7. Следовательно, $G$ имеет элементы порядка 7 и порядка 5. Поскольку $G$ имеет элемент порядка 7, в ней есть подгруппа порядка 7, обозначим её $H$. В действительности $H$ --- единственная подгруппа $G$ порядка 7: если $K$ --- другая подгруппа $G$ порядка 7, то по теореме 7.2 $\left|HK\right| = \left|H\right|\left|K\right|/\left|H \cap K\right| = 7 \cdot 7/1 = 49$, что невозможно в группе порядка 35. Поскольку для каждого $a$ из $G$ группа $aHa^{-1}$ также является подгруппой $G$ порядка 7, должно быть $aHa^{-1} = H$. Следовательно, $N(H) = G$. Поскольку $H$ имеет простой порядок, она циклическая и поэтому абелева, так что $C(H)$ содержит $H$. Тем самым 7 делит $\left|C(H)\right|$, а $\left|C(H)\right|$ делит 35, поэтому $C(H) = G$ или $C(H) = H$. Если $C(H) = G$, то можно получить элемент $x$ порядка 35, положив $x = hk$, где $h$ --- неединичный элемент $H$, а $k$ имеет порядок 5. С другой стороны, если $C(H) = H$, то $\left|C(H)\right| = 7$ и $\left|N(H)/C(H)\right| = 35/7 = 5$. Однако 5 не делит $\left|\operatorname {Aut}(H)\right| = \left|\operatorname {Aut}(\mathbb {Z}_7)\right| = 6$. Это противоречие показывает, что $G$ циклическая.

Если $G$ --- неабелева группа и $\left|G\right| = 55$, докажите, что $G$ имеет ровно 11 подгрупп порядка 5 и что они имеют вид $a^i K a^{-i}$ при $i = 0, 1, 2, \ldots , 10$ для некоторого элемента $a$ группы $G$ и некоторой подгруппы $K$ группы $G$.

Докажите, что для любых двух простых чисел $p$ и $q$, таких что $p < q$ и $p$ не делит $q-1$, группа порядка $pq$ циклическая.

Определите все гомоморфизмы из $\mathbb {Z}$ на $S_3$. Определите все гомоморфизмы из $\mathbb {Z}$ в $S_3$.

Пусть $G$ --- абелева группа. Определите все гомоморфизмы из $S_3$ в $G$.

Если $m$ и $n$ --- положительные целые числа, докажите, что отображение из $\mathbb {Z}_m$ в $\mathbb {Z}_n$, заданное формулой $\phi (x) = x \bmod n$, является гомоморфизмом тогда и только тогда, когда $n$ делит $m$.

Докажите, что отображение из $\mathbb {C}^*$ в $\mathbb {C}^*$, заданное формулой $\phi (x) = x^2$, является гомоморфизмом и что $\mathbb {C}^*/\left\{ 1,-1\right\}$ изоморфна $\mathbb {C}^*$. Что происходит, если заменить $\mathbb {C}^*$ на $\mathbb {R}^*$?

Пусть $p$ --- простое число. Определите число гомоморфизмов из $\mathbb {Z}_p \oplus \mathbb {Z}_p$ в $\mathbb {Z}_p$.