Введение в группы

С помощью рисунков и слов опишите каждую симметрию из $D_3$ (множества симметрий равностороннего треугольника).

Составьте полную таблицу Кэли для $D_3$. Является ли группа $D_3$ абелевой?

В $D_4$ найдите все элементы $X$, для которых

С помощью рисунков или слов опишите элементы $D_5$ (симметрии правильного пятиугольника).

При $n \geq 3$ опишите элементы $D_n$. Сколько элементов в $D_n$?

Геометрически объясните, почему в $D_n$ последовательное выполнение двух отражений даёт поворот.

Геометрически объясните, почему в $D_n$ последовательное выполнение двух поворотов даёт поворот.

Геометрически объясните, почему в $D_n$ композиция поворота и отражения в любом порядке является отражением.

Сопоставим повороту число $1$, а отражению — число $-1$. Опишите аналогию между умножением этих двух чисел и умножением элементов $D_n$.

Пусть $r_1, r_2$ и $r_3$ — повороты из $D_n$, а $f_1, f_2$ и $f_3$ — отражения из $D_n$. Определите, является ли $r_1 r_2 f_1 r_3 f_2 f_3 r_3$ поворотом или отражением.

Пусть $a$, $b$ и $c$ — элементы группы диэдра. Является ли $a^2 b^4 a c^5 a^3 c$ поворотом или отражением? Обоснуйте ответ.

Пусть элемент $X$ группы диэдра является произведением $m$ поворотов и $n$ отражений. Дополните утверждение: $X$ является поворотом тогда и только тогда, когда .

Найдите в $D_4$ элементы $A$, $B$ и $C$, для которых $AB = BC$, но $A \neq C$. (Таким образом, «перекрёстное сокращение» недопустимо.)

Объясните, какое свойство группы $D_n$ доказывает следующая схема: вершины правильного $n$-угольника помечены числами $1, 2, \ldots , n$ в порядке обхода его границы; показано, как меняются положения меток при отражении $F$ с последующим поворотом $R_{360/n}$ и при повороте $R_{360/n}$ с последующим отражением $F$, применяемых к одной и той же исходной конфигурации, так что оба составных движения можно проследить для каждой вершины.

Опишите симметрии прямоугольника, не являющегося квадратом. Составьте соответствующую таблицу Кэли. Является ли эта группа абелевой? Какое свойство у неё общее с группами диэдра?

Опишите симметрии параллелограмма, не являющегося ни прямоугольником, ни ромбом. Опишите симметрии ромба, не являющегося прямоугольником.

Опишите симметрии эллипса, не являющегося окружностью. Сделайте то же для гиперболы.

Рассмотрим бесконечную полосу из букв H, расположенных на равных расстояниях:

Опишите симметрии этой полосы. Является ли её группа симметрий абелевой?

Для каждой снежинки на рисунке (четыре фотографии снежных кристаллов, каждый из которых обладает видимой симметрией шестого порядка) найдите группу симметрий и укажите оси отражений (пренебрегайте несовершенствами формы).

Определите группу симметрий внешней оболочки поперечного сечения вируса иммунодефицита человека (ВИЧ), показанного на рисунке в виде приблизительно кругового расположения $28$ равноотстоящих шипов вокруг центрального капсида.

Пусть $X, Y, R_{90}$ — элементы $D_4$, причём $Y \neq R_{90}$ и $X^2 Y = R_{90}$. Найдите $Y$. Обоснуйте ответ.

Для каждого из приведённых рисунков (двенадцать изображений с различными поворотными и зеркальными симметриями, в том числе знак биологической опасности, логотип в виде пятиугольника со звездой, несколько цветочных узоров и узоров в виде вертушки) определите группу симметрий (пренебрегайте несовершенствами рисунков).

Пусть $n$ — целое число, не меньшее $3$. Докажите, что $D_n$ содержит $R_{180}$ тогда и только тогда, когда $n$ чётно.

Пусть $F$ — отражение в группе диэдра $D_n$. Найдите все элементы $X$ группы $D_n$, для которых $X^2 = F$, и все элементы $X$ группы $D_n$, для которых $X^3 = F$.