Марковские процессы со счётным пространством состояний

Объясните, почему ожидаемый интервал ожидания $\mathbb {E}\left[U_{1} \mid X_{0} = i\right]$ до следующего перехода состояния равен $1/(\lambda +\mu )$.

Объясните, почему ожидаемый интервал ожидания $U_{1}$, при условии $X_{0} = i$ и $X_{1} = i+1$, равен

Покажите, что $\mathbb {E}\left[U_{1} \mid X_{0} = i, X_{1} = i-1\right]$ имеет то же значение.

Пусть $V$ — момент первого поступления заявки после момента $0$ (оно может произойти как до, так и после момента $W$ первого ухода из системы). Покажите, что

Используя решение пункта (в) вместе с вероятностью перехода вверх или вниз в цепи Маркова, покажите, что $\mathbb {E}\left[V\right] = 1/\lambda$. Замечание: вы уже знаете, что $\mathbb {E}\left[V\right] = 1/\lambda$. Цель здесь — показать, что решение пункта (в) согласуется с этим фактом.

Найдите стационарные вероятности $\left\{ \pi_{i}; i \geq 0\right\}$ для вложенной цепи.

Предположим, что интенсивность перехода $\nu_{i}$ из состояния $i$, для $i \geq 0$, задана как $\nu_{i} = 2^{i}$. Найдите интенсивности переходов $\left\{ q_{ij}\right\}$ между состояниями и найдите стационарные вероятности $\left\{ p_{i}\right\}$ для марковского процесса. Объясните эвристически, почему $\pi_{i} \neq p_{i}$.

Объясните, почему для этого процесса не существует приближения с дискретизацией времени. Затем усеките вложенную цепь до состояний от $0$ до $m$ и найдите стационарные вероятности для приближения с дискретизацией времени усечённого процесса.

Покажите, что при $m \rightarrow \infty$ стационарные вероятности для последовательности приближений с дискретизацией времени стремятся к вероятностям $p_{i}$ из пункта (б).

Найдите стационарные вероятности $\left\{ \pi_{i}; i \geq 0\right\}$ для вложенной цепи.

Предположим, что интенсивность перехода из состояния $i$, для $i \geq 0$, задаётся как $\nu_{i} = 2^{-i}$. Найдите интенсивности переходов $\left\{ q_{ij}\right\}$ между состояниями и покажите, что не существует решения в виде вероятностного вектора $\left\{ p_{i}; i \geq 0\right\}$ для уравнений стационарного режима процесса $p_{j}\nu_{j} = \sum_{i}p_{i}q_{ij}$ для всех $j \geq 0$ при условии $\sum_{i}p_{i} = 1$.

Покажите, что ожидаемое время между посещениями любого заданного состояния $i$ бесконечно. Найдите ожидаемое число переходов между посещениями любого заданного состояния $i$. Покажите, что, начиная из любого состояния $i$, возврат в состояние $i$ в конечном счёте происходит с вероятностью $1$.

Рассмотрим приближение этого процесса с дискретизацией по времени с шагом $\delta = 1$. Нарисуйте граф получившейся марковской цепи и объясните, почему она обязательно должна быть нуль-возвратной.

Найдите вероятности стационарного процесса (как функцию $\rho = \lambda /\mu$) из (7.15), а также как решение (7.23). Убедитесь, что оба решения совпадают.

В оставшихся пунктах упражнения предположим, что $\rho = 0.01$, что гарантирует (для наглядности) что состояния $0$ и $1$ намного более вероятны, чем остальные состояния. Предположим, что процесс работает уже очень долгое время и находится в стационарном режиме. Объясните своими словами разницу между $\pi_{1}$ (стационарной вероятностью состояния $1$ во вложенной цепи) и $p_{1}$ (стационарной вероятностью того, что процесс находится в состоянии $1$). Более явно, какие эксперименты можно было бы (многократно) провести над процессом, чтобы измерить $\pi_{1}$ и $p_{1}$.

Теперь предположим, что вы хотите запустить процесс в стационарном режиме. Покажите, что невозможно выбрать начальные вероятности так, чтобы и процесс, и вложенная цепь начинали в стационарном режиме. Какая версия стационарности ближе к вашему интуитивному представлению? (Здесь нет правильного ответа, но важно понимать, что понятие стационарности не так просто, как может показаться.)

Пусть $M(t)$ — число переходов (считая как поступления, так и уходы), происходящих к моменту времени $t$ в этом марковском процессе, и предположим, что вложенная марковская цепь начинает в стационарном режиме в момент времени $0$. Пусть $U_{1}, U_{2}, \ldots$ — последовательность интервалов пребывания между переходами (где $U_{1}$ — время до первого перехода). Покажите, что эти случайные величины одинаково распределены. Покажите на примере, что они не являются независимыми (т.е. $M(t)$ не является процессом восстановления).

Найдите среднюю по времени долю времени $p_{i}$, проведённого в каждом состоянии $i > 0$, через $p_{0}$, а затем найдите $p_{0}$.

Найдите решение в замкнутой форме для $\sum_{i}p_{i}\nu_{i}$, где $\nu_{i}$ — скорость, с которой происходят переходы из состояния $i$. Покажите, что вложенная цепь является положительно возвратной при любом выборе $\lambda > 0$ и $\mu > 0$, и объясните интуитивно, почему это должно быть так.

Для вложенной марковской цепи, соответствующей этому процессу, найдите стационарные вероятности $\pi_{i}$ для каждого $i \geq 0$ и вероятности переходов $P_{ij}$ для каждых $i, j$.

Для каждого $i$ найдите как средний по времени интервал, так и среднее по времени число переходов состояний между последовательными посещениями $i$.

Пусть $U_{n}$ — длина $n$-го интервала пребывания для марковского процесса, стартующего в стационарном состоянии, с $\mathbb {P}\left\{ X_{0} = i\right\} = \pi_{i}$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[U_{n}\right] = \sum_{k}\pi_{k}/\nu_{k}$ для каждого целого $n$.

Пусть $S_{n}$ — момент $n$-го перехода. Покажите, что $\mathbb {P}\left\{ S_{n} \geq n\beta \right\} \leq (\sum_{k}\pi_{k}/\nu_{k})/\beta$ для всех $\beta > 0$.

Пусть $M(t)$ — число переходов марковского процесса к моменту времени $t$, при условии, что $X_{0}$ находится в стационарном состоянии. Покажите, что $\mathbb {P}\left\{ M(n\beta ) \geq n\right\} \geq 1-(\sum_{k}\pi_{k}/\nu_{k})/\beta$.

Покажите, что если $\sum_{k}\pi_{k}/\nu_{k}$ конечна, то равенство $\lim_{t \rightarrow \infty }M(t)/t = 0$ с вероятностью 1 невозможно. (Заметьте, что это равносильно доказательству того, что из $\lim_{t \rightarrow \infty }M(t)/t = 0$ с вероятностью 1 следует $\sum_{k}\pi_{k}/\nu_{k} = \infty$.)

Пусть $M_{i}(t)$ — число переходов к моменту времени $t$ при старте в состоянии $i$. Покажите, что если $\sum_{k}\pi_{k}/\nu_{k}$ конечна, то равенство $\lim_{t \rightarrow \infty }M_{i}(t)/t = 0$ с вероятностью 1 невозможно.

Рассмотрим процесс, изображённый на рисунке ниже. Процесс стартует с $X(0) = 1$, и для всех $i \geq 1$ выполняется $P_{i,i+1} = 1$ и $\nu_{i} = i^{2}$. Пусть $S_{n}$ — момент, когда происходит $n$-й переход. Покажите, что

{#fig-1 width="60%"}

Используя неравенство Маркова, покажите, что $\mathbb {P}\left\{ S_{n} > 4\right\} \leq 1/2$ для всех $n$. Покажите, что вероятность бесконечного числа переходов к моменту времени $4$ не меньше $1/2$.

Рассмотрим марковский процесс с множеством состояний $\left\{ 0, 1, \ldots \right\}$, в котором интенсивности переходов $\left\{ q_{ij}\right\}$ между состояниями задаются как $q_{i,i+1} = (3/5)2^{i}$ для $i \geq 0$, $q_{i,i-1} = (2/5)2^{i}$ для $i \geq 1$, и $q_{ij} = 0$ в остальных случаях. Найдите интенсивность выхода $\nu_{i}$ из состояния $i$ для каждого $i \geq 0$ и найдите вероятности переходов $\left\{ P_{ij}\right\}$ для вложенной марковской цепи.

Найдите решение $\left\{ p_{i}; i \geq 0\right\}$ с $\sum_{i}p_{i} = 1$ для уравнений стационарного процесса (7.23).

Покажите, что все состояния вложенной марковской цепи являются невозвратными.

Объясните своими словами, почему решение из пункта (б) не является в каком-либо смысле набором стационарных вероятностей.

Решите уравнения стационарного режима и покажите, что $p_{i} = 2^{-i-1}$ для всех $i \geq 0$.

Найдите вероятности переходов для вложенной цепи Маркова и покажите, что эта цепь нуль-возвратна.

Для произвольного состояния $i$ рассмотрим процесс восстановления, для которого марковский процесс начинается в состоянии $i$, а восстановления происходят при каждом переходе в состояние $i$. Покажите, что для каждого $i \geq 1$ математическое ожидание интервала между восстановлениями равно $2$.

Покажите, что математическое ожидание числа переходов между последовательными входами в состояние $i$ бесконечно. Объясните, почему это не означает, что за конечное время может произойти бесконечное число переходов.

Рассмотрим двухстанционный марковский процесс из примера 7.3.1 с $q_{01} = \lambda$ и $q_{10} = \mu$. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы интенсивностей переходов $\mathbf{Q}$.

Если $\mathbf{Q}$ имеет $\mathsf{M}$ различных собственных значений, дифференциальное уравнение $d[P(t)]/dt = [Q][P(t)]$ можно решить с помощью уравнения

где $\overrightarrow {p}_{i}$ и $\overrightarrow {\nu }_{i}$ — левый и правый собственные векторы собственного значения $\lambda_{i}$. Покажите, что это уравнение даёт то же решение, что и приведённое для примера 7.3.1.

Является ли этот процесс обратимым?

Найдите $p_{i}$ — среднюю по времени долю времени, проведённого в состоянии $i$, для каждого $i$.

Дано, что в момент времени $t$ процесс находится в состоянии $i$; найдите среднюю задержку от $t$ до момента, когда процесс покинет состояние $i$.

Найдите $\pi_{i}$ — среднюю по времени долю всех переходов, ведущих в состояние $i$, для каждого $i$.

Предположим, что в момент времени $t$ процесс находится в стационарном режиме. Найдите стационарную вероятность того, что следующим состоянием, в которое войдёт процесс, будет состояние $1$.

Дано, что в момент времени $t$ процесс находится в состоянии $1$; найдите среднюю задержку до первого возврата процесса в состояние $1$.

Рассмотрим произвольный неприводимый марковский процесс с конечным числом состояний, для которого $q_{ij} = q_{ji}$ для всех $i, j$. Либо покажите, что такой процесс обратим, либо приведите контрпример.

Рассмотрим систему массового обслуживания M/M/1 с интенсивностью поступления $\lambda$, интенсивностью обслуживания $\mu$, $\mu > \lambda$. Предположим, что очередь находится в стационарном режиме. Дано, что в момент времени $t$ происходит поступление заявки; найдите вероятность того, что система находится в состоянии $i$ непосредственно после момента $t$.

Предполагая дисциплину обслуживания FCFS (в порядке поступления) и при условии, что непосредственно после указанного поступления в системе находится $i$ клиентов, охарактеризуйте время до ухода этого клиента как сумму случайных величин.

Найдите безусловную плотность вероятности времени до ухода этого клиента.

Рассмотрим очередь M/M/1 в стационарном режиме. Предположим, что $\rho = \lambda /\mu < 1$. Найдите вероятность $Q(i,j)$ при $i \geq j > 0$ того, что в момент времени $t$ система находится в состоянии $i$ и что до следующего поступления происходит $i-j$ уходов.

Найдите ПМФ состояния непосредственно перед первым поступлением после момента $t$.

Существует хорошо известный принцип теории массового обслуживания, называемый PASTA — «пуассоновские поступления видят усреднённые по времени характеристики» (Poisson Arrivals See Time Averages). Опираясь на полученные выше результаты, дайте более точную формулировку того, что означает этот принцип для случая очереди M/M/1.

Найдите стационарное распределение числа клиентов в конторе.

Найдите интенсивность, с которой потенциальным клиентам отказывают в обслуживании.

Предположим, букмекер нанимает помощника; теперь букмекер и помощник, работая вместе, обслуживают каждого клиента за экспоненциально распределённое время со средним $2$ минуты, но в конторе есть место только для одного клиента (а именно того, кого обслуживают). Найдите новую интенсивность, с которой клиентам отказывают в обслуживании.

Пусть $X(t)$ — число (живых) организмов в популяции в момент времени $t$. Покажите, что $\left\{ X(t); t \geq 0\right\}$ является марковским процессом, и укажите интенсивности переходов между состояниями.

Найдите вложенную марковскую цепь $\left\{ X_{n}; n \geq 0\right\}$, соответствующую марковскому процессу из пункта (а). Найдите вероятности переходов для этой марковской цепи.

Объясните, почему марковский процесс и марковская цепь выше не являются неприводимыми.

Для целей анализа добавьте дополнительный переход интенсивности $\lambda$ из состояния $0$ в состояние $1$. Покажите, что марковский процесс и вложенная цепь являются неприводимыми. Найдите значения $\lambda$ и $\mu$, при которых модифицированная цепь является положительно возвратной, нуль-возвратной и невозвратной.

Предположим, что $\lambda < \mu$. Найдите стационарные вероятности процесса для модифицированного марковского процесса.

Найдите среднее время возврата между посещениями состояния $0$ для модифицированного марковского процесса.

Найдите среднее время $\overline{T}$ вымирания популяции в исходном марковском процессе.

Является ли входной поток системы 1 пуассоновским? Объясните.

Являются ли оба входных потока, поступающих в систему 2, пуассоновскими? Объясните.

Приведите совместную стационарную вероятностную функцию числа заданий в двух системах. Кратко объясните.

Какова вероятность того, что первое задание, покидающее систему 1 после момента времени $t$, совпадает с первым заданием, поступившим во всю систему после момента времени $t$?

Какова вероятность того, что первое задание, покидающее систему 2 после момента времени $t$, прошло через систему 1 и поступило в систему 1 после момента времени $t$?

Охарактеризуйте процесс уходов из системы 1, поступающих в систему 2, и охарактеризуйте общий процесс поступлений в систему 2.

Предполагая обслуживание в порядке поступления (FCFS) в каждой системе, найдите стационарное распределение времени, которое клиент проводит в каждой системе.

Для клиента, проходящего через обе системы, покажите, почему время в каждой системе не зависит от времени в другой; найдите распределение суммарного времени пребывания в системе для такого клиента.

Теперь предположим, что $Q_{2} < 1$. Является ли процесс уходов из объединённой системы пуассоновским? Какие из трёх входных процессов в систему 2 являются пуассоновскими? Какие из входных процессов независимы? Обоснуйте свои рассуждения, но не пытайтесь дать формальные доказательства.

Систему можно представить четырёхсостоянческим марковским процессом. Нарисуйте его графическое представление и обозначьте на нём отдельные состояния и интенсивности переходов между ними.

Найдите стационарную вероятность каждого состояния.

Найдите среднюю по времени скорость, с которой клиенты покидают узел $1$.

Найдите среднюю по времени скорость, с которой данный клиент циркулирует по системе.

Обратим ли марковский процесс? Предположим, что обратный марковский процесс интерпретируется как замкнутая сеть массового обслуживания. Чему в обратном процессе соответствует уход из узла $1$ в прямом процессе? Можно ли сопоставить переходы одного клиента в прямом процессе с переходами одного клиента в обратном процессе?

Найдите среднее время между периодами занятости (т.е. время до появления нового прибытия после того, как система становится пустой).

Найдите усреднённую по времени долю времени, в течение которого система занята.

Найдите среднюю продолжительность $\mathbb {E}\left[B\right]$ периода занятости.

Кратко объясните, почему клиент, начинающий период занятости, остаётся в системе в течение всего периода занятости; используйте это, чтобы найти ожидаемое время пребывания в системе клиента при условии, что этот клиент прибывает, когда система пуста.

Существует ли какая-либо статистическая зависимость между временем пребывания данного клиента в системе (т.е. временем от прибытия клиента до его ухода) и числом клиентов в системе в момент прибытия данного клиента?

Покажите, что ожидаемое время пребывания клиента в системе равно $\mathbb {E}\left[B\right]$.

Пусть $C$ — ожидаемое время пребывания клиента в системе при условии, что время обслуживания $X$ этого клиента равно $1$. Найдите (через $C$) ожидаемое время пребывания клиента в системе при условии $X = 2$. Повторите для произвольного $X = x$.

Найдите константу $C$.

Нарисуйте граф состояний процесса, показав все состояния с двумя или менее заявками и несколько состояний с тремя заявками (пустое состояние обозначьте $E$). Нарисуйте стрелку, помеченную соответствующей интенсивностью, для каждого перехода между состояниями. Объясните, почему это состояния марковского процесса.

Обратим ли этот процесс? Объясните. Предполагайте положительную возвратность.

Охарактеризуйте процесс уходов заявок типа $A$ из системы (то есть, являются ли они пуассоновскими, образуют ли они процесс восстановления, с какой интенсивностью они уходят и т.д.?).

Выразите стационарную вероятность $\mathbb {P}\left\{ A\right\}$ состояния $A$ через вероятность пустого состояния $\mathbb {P}\left\{ E\right\}$. Найдите вероятность $\mathbb {P}\left\{ AB\right\}$ и вероятность $\mathbb {P}\left\{ ABBA\right\}$ через $\mathbb {P}\left\{ E\right\}$. Используйте обозначения $\rho_{A} = \lambda_{A}/\mu_{A}$ и $\rho_{B} = \lambda_{B}/\mu_{B}$.

Пусть $Q_{n}$ — вероятность того, что в системе находится $n$ заявок, как функция от $Q_{0} = \mathbb {P}\left\{ E\right\}$. Покажите, что $Q_{n} = (1-\rho )\rho^{n}$, где $\rho = \rho_{A}+\rho_{B}$.

Обобщите задачу 7.22 на случай, когда имеется $m$ типов заявок, каждый с независимым пуассоновским потоком поступлений и независимым экспоненциальным временем обслуживания. Пусть $\lambda_{i}$ и $\mu_{i}$ — соответственно интенсивность поступления и интенсивность обслуживания заявок $i$-го типа. Пусть $\rho_{i} = \lambda_{i}/\mu_{i}$ и предположим, что $\rho = \rho_{1}+\rho_{2}+\cdots +\rho_{m} < 1$. В частности, покажите, как и прежде, что вероятность нахождения в системе $n$ заявок равна $Q_{n} = (1-\rho )\rho^{n}$ для $0 \leq n < \infty$.

Рассмотрите заявки из пункта (а) как заявки единственного типа с пуассоновским потоком поступлений интенсивности $\lambda = \sum_{i}\lambda_{i}$ и с плотностью распределения времени обслуживания $\sum_{i}(\lambda_{i}/\lambda )\mu_{i}\exp (-\mu_{i}x)$. Покажите, что математическое ожидание времени обслуживания равно $\rho /\lambda$. Заметим, что вы тем самым показали, что если распределение времени обслуживания может быть представлено как взвешенная сумма экспонент, то распределение числа заявок в системе при обслуживании по дисциплине LCFS совпадает с таковым для очереди M/M/1 с тем же средним временем обслуживания.

Сначала предположим, что имеется бесконечно много одинаковых приборов и каждая новая заявка немедленно поступает на свободный прибор и начинает обслуживаться. Пусть состояние системы задаётся парой $(i,j)$, где $i$ и $j$ — числа клиентов типа $A$ и типа $B$ соответственно, находящихся на обслуживании. Нарисуйте граф переходов состояний для $i \leq 2, j \leq 2$. Найдите стационарное распределение вероятностей $\left\{ p(i,j); i,j \geq 0\right\}$ для этого марковского процесса.

Предположим для оставшейся части упражнения, что имеется некоторое конечное число $m$ приборов. Клиенты, прибывающие в момент, когда все приборы заняты, получают отказ. Найдите стационарное распределение вероятностей $\left\{ p(i,j); i,j \geq 0, i+j \leq m\right\}$ через $p(0,0)$ для этого марковского процесса.

Пусть $Q_{n}$ — вероятность того, что в некоторый заданный момент времени в стационарном режиме на обслуживании находится $n$ клиентов. Покажите, что $Q_{n} = p(0,0)\rho_{n}/n!$ при $0 \leq n \leq m$, где $\rho = \rho_{A}+\rho_{B}$, $\rho_{A} = \lambda_{A}/\mu_{A}$ и $\rho_{B} = \lambda_{B}/\mu_{B}$. Найдите $p(0,0)$.

Обобщите упражнение 7.26 на случай, когда имеется $K$ типов клиентов, каждый с независимым пуассоновским потоком поступлений и независимым экспоненциальным временем обслуживания. Пусть $\lambda_{k}$ и $\mu_{k}$ — интенсивность поступления и интенсивность обслуживания соответственно для клиентов $k$-го типа, $1 \leq k \leq K$. Пусть $\rho_{k} = \lambda_{k}/\mu_{k}$ и $\rho = \rho_{1}+\rho_{2}+\cdots +\rho_{K}$. В частности, покажите, как и ранее, что вероятность наличия в системе $n$ клиентов равна $Q_{n} = p(0,\ldots ,0)\rho^{n}/n!$ при $0 \leq n \leq m$.

Рассматривайте клиентов из (а) как единый тип клиентов с пуассоновским потоком поступлений интенсивности $\lambda = \sum_{k}\lambda_{k}$ и плотностью обслуживания $\sum_{k}(\lambda_{k}/\lambda )\mu_{k}\exp (-\mu_{k}x)$. Покажите, что математическое ожидание времени обслуживания равно $\rho /\lambda$. Заметьте, что тем самым вы показали, что если распределение обслуживания можно представить в виде взвешенной суммы экспонент, то распределение числа клиентов в системе совпадает с распределением для очереди M/M/m/m с тем же средним временем обслуживания.

Выдвинем гипотезу, что обратная цепь для этой системы также является системой массового обслуживания M/D/m/m с дискретным временем, но состояние $(n, x_{1}, \ldots , x_{n})$ ($0 \leq n \leq m$, $1 \leq x_{1} < x_{2} < \cdots < x_{n} \leq d$) имеет иную интерпретацию: $n$ по-прежнему число заявок, но $x_{i}$ теперь — оставшееся время обслуживания, требуемое заявке $i$. Объясните, как эта гипотеза приводит к следующим уравнениям стационарного режима:

Используя эту гипотезу, найдите $\pi_{n,\overrightarrow {x}}$ через $\pi_{0}$, где $\pi_{0}$ — вероятность того, что система пуста.

Проверьте, что указанная выше гипотеза верна.

Найдите выражение для $\pi_{0}$.

Найдите выражение для стационарной вероятности того, что поступающая заявка отбрасывается.

Найдите (предельную) вероятность того, что последней остановкой такси был пункт $i$, $i = 1, 2, 3$.

Какова (предельная) вероятность того, что такси направляется в пункт $2$?

Какую долю времени такси едет из пункта $2$ в пункт $3$?

Предположим, что марковский процесс из задачи 7.5 изменён следующим образом: всякий раз, когда процесс входит в состояние $0$, время, проводимое перед выходом из состояния $0$, теперь является равномерно распределённой случайной величиной, принимающей значения от $0$ до $2/\lambda$. Все остальные переходы остаются прежними. Для этого нового процесса определите, образуют ли последовательные моменты входа в состояние $0$ моменты восстановления, образуют ли последовательные моменты выхода из состояния $0$ моменты восстановления, и образуют ли последовательные входы в любое другое заданное состояние $i$ моменты восстановления.

Для каждого $i$ найдите как усреднённый по времени интервал, так и усреднённое по времени число всех переходов состояний между последовательными посещениями $i$.

Является ли этот модифицированный процесс марковским в том смысле, что $\mathbb {P}\left\{ X(t) = i \mid X(\tau ) = j, X(s) = k\right\} = \mathbb {P}\left\{ X(t) = i \mid X(\tau ) = j\right\}$ для всех $0 < s < \tau < t$ и всех $i, j, k$? Объясните.

Предположим, что коллега вычислил стационарные вероятности $\left\{ p_{i}\right\}$ пребывания в состоянии $i$ для каждого $i \geq 0$. Для каждого $i \geq 0$ найдите стационарную вероятность $\pi$ состояния $i$ во вложенной марковской цепи. Дайте решение как функцию от $\rho$, $\pi_{i}$ и $p_{0}$.

Вычислите $p_{0}$ как функцию от $\rho$.

Найдите $\pi_{i}$ как функцию от $\rho$ и $p_{i}$.

Совпадает ли $p_{i}$ со стационарной вероятностью того, что система массового обслуживания содержит $i$ клиентов в заданный момент времени? Объясните подробно.

Найдите $P_{0j}$ для $j \geq 0$.

Найдите $P_{ij}$ для $i > 0$; $j \geq i-1$.