Марковские цепи с конечным числом состояний

Если состояние $i_{1}$ невозвратно, то существует некоторое другое состояние $i_{2}$ такое, что $i_{1} \rightarrow i_{2}$ и $i_{2} \not\rightarrow i_{1}$.

Если состояние $i_{2}$ из (а) также невозвратно, существует третье состояние $i_{3}$ такое, что $i_{2} \rightarrow i_{3}$, $i_{3} \not\rightarrow i_{2}$; это состояние должно удовлетворять $i_{3} \neq i_{2}$, $i_{3} \neq i_{1}$.

Продолжайте итеративно повторять (б) для последовательных состояний $i_{1}, i_{2}, \ldots$. То есть, если $i_{1}, \ldots , i_{k}$ порождены как выше и все невозвратны, порождаем $i_{k+1}$ такое, что $i_{k} \rightarrow i_{k+1}$ и $i_{k+1} \not\rightarrow i_{k}$. Тогда $i_{k+1} \neq i_{j}$ для $1 \leq j \leq k$.

Покажите, что для некоторого $k \leq \mathsf{M}$, $k$ не является невозвратным, т.е. оно возвратно, так что возвратный класс существует.

Покажите, что эргодическая цепь Маркова с $\mathsf{M} > 1$ состояниями должна содержать цикл с $\tau < \mathsf{M}$ состояниями. Указание: используйте эргодичность, чтобы показать, что наименьший цикл не может содержать $\mathsf{M}$ состояний.

Пусть $\ell$ — некоторое фиксированное состояние на этом цикле длины $\tau$. Пусть $\mathcal{T}(m)$ — множество состояний, достижимых из $\ell$ за $m$ шагов. Покажите, что для каждого $m \geq 1$ выполняется $\mathcal{T}(m) \subseteq \mathcal{T}(m + \tau )$. Указание: для любого заданного состояния $j \in \mathcal{T}(m)$ покажите, как построить путь из $m + \tau$ шагов от $\ell$ до $j$, исходя из предполагаемого пути из $m$ шагов.

Определим $\mathcal{T}(0)$ как одноэлементное множество $\left\{ \ell \right\}$ и покажите, что

Покажите, что если одно из включений выше выполняется как равенство, то и все последующие включения выполняются как равенства. Покажите отсюда, что не более первых $\mathsf{M} - 1$ включений могут выполняться со строгим неравенством и что $\mathcal{T}(n\tau ) = \mathcal{T}((\mathsf{M}-1)\tau )$ для всех $n \geq \mathsf{M} - 1$.

Покажите, что все состояния включены в $\mathcal{T}((\mathsf{M}-1)\tau )$.

Покажите, что $P_{ij}^{(\mathsf{M}-1)^{2}+1} > 0$ для всех $i, j$.

Пусть $\tau$ — число состояний в наименьшем цикле произвольной эргодической марковской цепи с $\mathsf{M} \geq 3$ состояниями. Покажите, что $P_{ij}^{n} > 0$ для всех $n \geq (\mathsf{M}-2)\tau + \mathsf{M}$. Указание: посмотрите доказательство теоремы 4.2.11 в упражнении 4.5.

Для $\tau = 1$ нарисуйте граф эргодической марковской цепи (обобщённый на произвольное $\mathsf{M} \geq 3$), для которой найдутся такие $i,j$, что $P_{ij}^{n} = 0$ при $n = 2\mathsf{M}-3$. Указание: посмотрите рисунок 4.4.

Для произвольного $\tau < \mathsf{M}-1$ нарисуйте граф эргодической марковской цепи (обобщённый на произвольное $\mathsf{M}$), для которой найдутся такие $i,j$, что $P_{ij}^{n} = 0$ при $n = (\mathsf{M}-2)\tau + \mathsf{M}-1$. Предположите, что $\mathsf{M}$ и $\tau$ взаимно просты.

Найдите стационарные вероятности $\pi_{0}, \ldots , \pi_{k-1}$ для марковской цепи, изображённой ниже. Выразите ответ через отношение $\rho = p/q$, где $q = 1-p$. Обратите особое внимание на особый случай $\rho = 1$.

[width=0.9figs/figs_original/ch4_ex9.png

Изобразите $\pi_{0}, \ldots , \pi_{k-1}$. Дайте один рисунок для $\rho = 1/2$, один для $\rho = 1$ и один для $\rho = 2$.

Найдите предел $\pi_{0}$ при $k \to \infty$; дайте отдельные ответы для $\rho < 1$, $\rho = 1$ и $\rho > 1$. Найдите предельные значения $\pi_{k-1}$ для тех же случаев.

Найдите стационарные вероятности для каждой из марковских цепей на рисунке ниже. Предположите, что все вероятности перехода по часовой стрелке в первом графе одинаковы, скажем, $p$, и предположите, что $P_{4,5} = P_{4,1}$ во втором графе.

[width=0.85figs/figs_original/ch4_ex10.png

Найдите матрицы $[P^{2}]$ для тех же цепей. Нарисуйте графы марковских цепей, представленных $[P^{2}]$, то есть граф двухшаговых переходов для исходных цепей. Найдите стационарные вероятности для этих двухшаговых цепей. Объясните, почему найденные вами стационарные вероятности не единственны.

Найдите $\lim_{n \rightarrow \infty }[P^{2n}]$ для каждой из цепей.

Предположим, что $\nu^{(i)}$ — правый собственный вектор, а $\pi^{(j)}$ — левый собственный вектор стохастической матрицы $[P]$ размера $\mathsf{M} \times \mathsf{M}$, причём $\lambda_{i} \neq \lambda_{j}$. Покажите, что $\pi^{(j)}\nu^{(i)} = 0$. Указание: рассмотрите два способа вычисления $\pi^{(j)}[P]\nu^{(i)}$.

Предположим, что $[P]$ имеет $\mathsf{M}$ различных собственных значений. Тогда правые собственные векторы $[P]$ порождают $\mathsf{M}$-мерное пространство (см. раздел 5.2 книги Стрэнга [28]), так что матрица $[U]$, столбцами которой служат эти собственные векторы, невырождена. Покажите, что $U^{-1}$ — это матрица, строками которой являются $\mathsf{M}$ левых собственных векторов $[P]$. Указание: используйте (а).

Для произвольного заданного целого числа $i \in \left\{ 1, \mathsf{M}\right\}$ пусть $[A]$ — диагональная матрица с единственным ненулевым элементом $A_{ii} = a \neq 0$. Используя предположения и результаты пункта (б), покажите, что

Указание: представьте себе непосредственное перемножение векторов и матриц.

Проверьте $(4.30)$ (упоминается здесь; в переформулированном виде: $[U\Lambda^{n}U^{-1}] = \sum_{i=1}^{\mathsf{M}} \lambda_{i}^{n}\nu^{(i)}\pi^{(i)}$, где $[\Lambda ]$ — диагональная матрица собственных значений $\lambda_{i}$ матрицы $[P]$).

Пусть $\lambda_{k}$ — собственное значение стохастической матрицы $[P]$, а $\pi^{(k)}$ — левый собственный вектор для $\lambda_{k}$. Покажите, что для каждой компоненты $\pi_{j}^{(k)}$ вектора $\pi^{(k)}$ и каждого $n$ выполняется

Взяв модули обеих частей и рассмотрев подходящее $j$, покажите, что

Покажите, что $\left|\lambda_{k}\right| \leq 1$.

Найдите $[P^{n}]$ в замкнутой форме для произвольного $n > 1$.

Найдите все различные собственные значения и кратность каждого различного собственного значения для $[P]$.

Найдите правый собственный вектор для каждого различного собственного значения и покажите, что собственное значение кратности 2 не имеет двух линейно независимых собственных векторов.

Используя (в), покажите, что не существует диагональной матрицы $[\Lambda ]$ и обратимой матрицы $[U]$, для которых $[P][U] = [U][\Lambda ]$.

Передокажите результат (г), используя результат (а), а не (в).

Пусть $[J_{i}]$ — блок $3 \times 3$ жордановой формы, т.е.

Покажите, что $n$-я степень $[J_{i}]$ задаётся выражением

Указание: пожалуй, проще всего вычислить $[J_{i}^{2}]$ и $[J_{i}^{3}]$, а затем воспользоваться итерацией.

Обобщите (а) на блок $k \times k$ жордановой формы. Заметьте, что $n$-я степень всей жордановой формы составлена из таких блоков вдоль диагонали матрицы.

Пусть $[P]$ — стохастическая матрица, представленная жордановой формой $[J]$ в виде $[P] = [U][J][U^{-1}]$, и рассмотрим $[U^{-1}][P^{n}][U] = [J]$ (т.е. $[U^{-1}][P][U] = [J]$). Покажите, что любое повторяющееся собственное значение $[P]$ (и, в частности, любое собственное значение, представленное жордановым блоком размера $2 \times 2$ или больше) должно быть строго меньше 1. Указание: оцените сверху элементы $[U^{-1}][P^{n}][U]$, взяв модули элементов $[U]$ и $[U^{-1}]$ и ограничив сверху каждый элемент стохастической матрицы единицей.

Пусть $\lambda_{s}$ — собственное значение наибольшей величины, меньшее 1. Предположим, что жордановы блоки для $\lambda_{s}$ имеют размер не более $k$. Покажите, что каждый эргодический класс $[P]$ сходится по меньшей мере со скоростью $n^{k}\lambda_{s}^{n}$.

Пусть $\lambda$ — собственное значение матрицы $[A]$, а $\nu$ и $\pi$ — соответственно правый и левый собственные векторы для $\lambda$, нормированные так, что $\pi \nu = 1$. Покажите, что

Покажите, что $[[A^{n}] - \lambda^{n}\nu \pi ][[A] - \lambda \nu \pi ] = [A^{n+1}] - \lambda^{n+1}\nu \pi$.

Используя индукцию, покажите, что $[[A] - \lambda \nu \pi ]^{n} = [A^{n}] - \lambda^{n}\nu \pi$.

Покажите, что $[P^{n}]$ можно представить в блочном виде

То есть блоки на диагонали — это просто произведения соответствующих блоков $[P]$, а верхний правый блок — какой уж он получится.

Пусть $q_{i}$ — вероятность того, что цепь окажется в возвратном состоянии после $t$ переходов, начиная из состояния $i$, т.е. $q_{i} = \sum_{j \in \mathcal{R}} P_{ij}^{t}$. Покажите, что $q_{i} > 0$ для всех переходных $i$.

Пусть $q$ — минимум $q_{i}$ по всем переходным $i$; покажите, что $P_{ij}^{nt} \leq (1-q)^{n}$ для всех переходных $i,j$ (т.е. покажите, что $[P_{\mathcal{T}}^{n}]$ стремится к нулевой матрице $[0]$ с ростом $n$).

Пусть $\pi = (\pi_{\mathcal{T}}, \pi_{\mathcal{R}})$ — левый собственный вектор $[P]$ с собственным значением 1. Покажите, что $\pi_{\mathcal{T}} = \overrightarrow {0}$, и покажите, что $\pi_{\mathcal{R}}$ должен быть положительным и являться левым собственным вектором $[P_{\mathcal{R}}]$. Тем самым покажите, что $\pi$ существует и единствен (с точностью до масштабного множителя).

Покажите, что $\overrightarrow {e}$ — единственный (с точностью до масштабного множителя) правый собственный вектор $[P]$ с собственным значением 1.

$[P]$ имеет ровно $\kappa$ линейно независимых левых собственных векторов, $\pi^{(1)}, \pi^{(2)}, \ldots , \pi^{(\kappa )}$, с собственным значением 1, причём $m$-й можно выбрать как вероятностный вектор, положительный на $m$-м возвратном классе и равный нулю всюду вне его.

$[P]$ имеет ровно $\kappa$ линейно независимых правых собственных векторов, $\nu^{(1)}, \nu^{(2)}, \ldots , \nu^{(\kappa )}$, с собственным значением 1, причём $m$-й можно выбрать как вектор, у которого $\nu_{i}^{(m)}$ равно вероятности того, что возвратный класс $m$ будет когда-либо достигнут, стартуя из состояния $i$.

Покажите, что

Покажите, что $[P^{d}]$ имеет вид

где $[Q_{m}] = [P_{m}][P_{m+1}] \cdots [P_{d-1}][P_{0}] \cdots [P_{m-1}]$. Если записать $[Q_{m}]$ как матрицу $\mathsf{M} \times \mathsf{M}$, обозначаемую $[Q_{m}']$, все элементы которой равны 0, кроме строк и столбцов $\mathcal{S}_{m}$, где элементы совпадают с элементами $[Q_{m}]$, это соотношение примет вид $[P^{d}] = \sum_{m=0}^{d-1}[Q_{m}']$.

Покажите, что $[Q_{m}]$ является матрицей эргодической цепи Маркова, и пусть $\hat{\pi }_{m}$ — её собственный вектор с собственным значением 1 (нормированный так, чтобы быть вероятностным вектором), а $\hat{\nu }_{m}$ — соответствующий правый собственный вектор, нормированный так, что $\hat{\pi }_{m}\hat{\nu }_{m} = 1$. Пусть $\hat{\pi }_{m}'$ и $\hat{\nu }_{m}'$ — соответствующие $\mathsf{M}$-мерные векторы. Покажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty }[P^{nd}] = \sum_{m=0}^{d-1} \hat{\nu }_{m}'\hat{\pi }_{m}'$.

Покажите, что $\hat{\pi }_{m}'[P_{m}'] = \hat{\pi }_{m+1}'$. Заметьте, что $\hat{\pi }_{m}'$ — это $\mathsf{M}$-набор, ненулевой только на компонентах $\mathcal{S}_{m}$.

Пусть $\phi = 2\pi \sqrt{-1}/d$ и $\pi^{(k)} = \sum_{m=0}^{d-1} \hat{\pi }_{m}'e^{mk\phi }$. Покажите, что $\pi^{(k)}$ является левым собственным вектором $[P]$ с собственным значением $e^{-\phi k}$.

Покажите, что с собственными векторами, определёнными в упражнении 4.19,

где, как и раньше, $(d-1)+1$ принимается равным 0.

Покажите, что при $1 \leq j < d$

Покажите, что

Покажите, что

где $\pi$ — стационарный вероятностный вектор для $[P]$. Указание: покажите, что $\overrightarrow {e} = \sum_{m} \nu^{(m)}$ и $\pi = (1/d)\sum_{m} \pi^{(m)}$.

Покажите, что приведённый выше результат также справедлив для периодических уницепей.

Предположим, что $\epsilon > 0$, $\delta = 0$ (т.е. что $A$ является множеством транзитных состояний в объединённой цепи). Начиная с состояния $A_{1}$, найдите условное ожидаемое время возврата в $A_{1}$ при условии, что первый переход происходит в некоторое состояние цепи $A$.

Предположим, что $\epsilon > 0$, $\delta = 0$. Найдите $T_{A,B}$ — ожидаемое время до первого достижения состояния $B_{1}$, начиная с состояния $A_{1}$. Ваш ответ должен быть функцией от $\epsilon$ и исходных стационарных вероятностей $\left\{ \pi_{A_{i}}\right\}$ в цепи $A$.

Предположим, что $\varepsilon > 0$, $\delta > 0$. Найдите $T_{B,A}$ — ожидаемое время до первого достижения состояния $A_{1}$, начиная с состояния $B_{1}$. Ваш ответ должен зависеть только от $\delta$ и $\left\{ \pi_{B_{i}}\right\}$.

Предположим, что $\varepsilon > 0$ и $\delta > 0$. Найдите $P'(A)$ — стационарную вероятность того, что объединённая цепь находится в одном из состояний $\left\{ A_{j}\right\}$ исходной цепи $A$.

Предположим, что $\varepsilon > 0$, $\delta = 0$. Для каждого состояния $A_{j} \neq A_{1}$ в $A$ найдите $v_{A_{j}}$ — ожидаемое число посещений состояния $A_{j}$, начиная с состояния $A_{1}$, до достижения $B_{1}$. Ваш ответ должен зависеть только от $\varepsilon$ и $\left\{ \pi_{A_{i}}\right\}$.

Предположим, что $\varepsilon > 0$, $\delta > 0$. Для каждого состояния $A_{j}$ в $A$ найдите $\pi_{A_{j}}'$ — стационарную вероятность нахождения в состоянии $A_{j}$ в объединённой цепи. Указание: будьте внимательны при рассмотрении состояния $A_{1}$.

Для цепи на левой стороне рисунка 4.6 (четырёхсостояниевая возвратная марковская цепь, приведённая ниже) нарисуйте граф модифицированной цепи с пятью состояниями, где состояние 1 было разбито на два состояния.

[width=0.5figs/figs_original/ch4_fig46.png

Предположим, что найдены ожидаемые времена первого достижения $v_{j}$ для состояний $j = 2, \ldots , 4$ (или в общем случае от 2 до $\mathsf{M}$). Найдите выражение для $v_{1}$ — ожидаемого времени первого возврата для состояния 1 — через $v_{2}, v_{3}, \ldots v_{\mathsf{M}}$ и $P_{12}, \ldots , P_{1\mathsf{M}}$.

Предположим всюду, что $[P]$ — матрица переходов унициклической цепи (и, таким образом, собственное значение 1 имеет кратность 1). Покажите, что решение уравнения $[P]\overrightarrow {w} - \overrightarrow {w} = \overrightarrow {r} - g\overrightarrow {e}$ существует тогда и только тогда, когда $\overrightarrow {r} - g\overrightarrow {e}$ лежит в пространстве столбцов $[P-I]$, где $[I]$ — единичная матрица.

Покажите, что это пространство столбцов есть множество векторов $\overrightarrow {x}$, для которых $\pi \overrightarrow {x} = 0$. Затем покажите, что $\overrightarrow {r} - g\overrightarrow {e}$ лежит в этом пространстве столбцов.

Покажите, что при дополнительном ограничении $\pi \overrightarrow {w} = 0$ уравнение $[P]\overrightarrow {w} - \overrightarrow {w} = \overrightarrow {r} - g\overrightarrow {e}$ имеет единственное решение.

Найдите решение уравнения $(4.37)$ (упомянутого здесь; переформулировка: уравнение относительного выигрыша $\overrightarrow {w} + g\overrightarrow {e} = [P]\overrightarrow {w} + \overrightarrow {r}$ вместе с нормировкой $\pi \overrightarrow {w}=0$) и найдите выигрыш $g$.

Измените рисунок выше, сделав $P_{12}$ произвольной вероятностью. Снова найдите $g$ и $\overrightarrow {w}$ и дайте интуитивное объяснение того, почему $P_{12}$ влияет на $w_{2}$.

Покажите, что выигрыш на шаг $g$ равен 0. Указание: покажите, что $\overrightarrow {r}$ равен нулю там, где стационарный вектор $\pi$ отличен от нуля.

Пусть $[P_{\mathcal{R}}]$ — матрица переходов для возвратных состояний, пусть $\overrightarrow {r}_{\mathcal{R}} = 0$ — вектор вознаграждений, а $\overrightarrow {w}_{\mathcal{R}}$ — вектор относительного выигрыша для $[P_{\mathcal{R}}]$. Покажите, что $\overrightarrow {w}_{\mathcal{R}} = 0$. Указание: используйте теорему 4.5.4.

Покажите, что $w_{i} = 0$ для всех $i \in \mathcal{R}$. Указание: сравните уравнения относительного выигрыша для $[P]$ с уравнениями для $[P_{\mathcal{R}}]$.

Покажите, что для каждого $n \geq 0$ выполняется $[P^{n}]\overrightarrow {w} = [P^{n+1}]\overrightarrow {w} + [P^{n}]\overrightarrow {r}$. Указание: начните с уравнения относительного выигрыша для $[P]$.

Покажите, что $\overrightarrow {w} = [P^{n+1}]\overrightarrow {w} + \sum_{m=0}^{n}[P^{m}]\overrightarrow {r}$. Указание: просуммируйте результат из (г).

Покажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty }[P^{n+1}]\overrightarrow {w} = 0$ и что $\lim_{n \rightarrow \infty }\sum_{m=0}^{n}[P^{m}]\overrightarrow {r}$ конечен, неотрицателен и имеет положительные компоненты при $r_{i} > 0$. Указание: используйте лемму 4.3.6.

Продемонстрируйте окончательный результат следствия, используя предыдущие результаты для $\overrightarrow {r} = \overrightarrow {r}' - \overrightarrow {r}''$.

Предположим, что цепь запущена в состоянии $i$ и проходит через $n$ переходов; пусть $v_{i}(n)$ — ожидаемое число переходов (из общего числа $n$) до того, как цепь войдёт в поглощающее состояние, состояние 1. Найдите выражение для $\overrightarrow {v}(n) = (v_{1}(n), v_{2}(n), v_{3}(n))^{\mathsf{T}}$ через $\overrightarrow {v}(n-1)$ (примите $v_{1}(n) = 0$ для всех $n$). Указание: рассмотрите систему как марковскую систему с вознаграждениями; чему равно $\overrightarrow {r}$?

Найдите численное значение $\lim_{n \rightarrow \infty } \overrightarrow {v}(n)$. Дайте интерпретацию элементов $v_{i}$ в решении $(4.32)$.

Приведите прямой аргумент, объясняющий, почему $(4.32)$ даёт непосредственно решение для ожидаемого времени перехода из каждого состояния в поглощающее состояние.

Покажите, что $(4.48)$ (упоминается здесь; в переформулированном виде: рекурсия динамического программирования $v_{i}^{*}(n, \overrightarrow {u}) = \max_{\overrightarrow {k}} \left(r_{i}^{(k)} + \sum_{j} P_{ij}^{(k)}v_{j}^{*}(n-1,\overrightarrow {u})\right)$, или в векторной форме $\overrightarrow {v}^{*}(n,\overrightarrow {u}) = \max_{\overrightarrow {k}}\left(\overrightarrow {r}^{\overrightarrow {k}} + [P^{(\overrightarrow {k})}]\overrightarrow {v}^{*}(n-1,\overrightarrow {u})\right)$) можно переписать в более компактной форме

Объясните, почему также верно, что

Можно предположить, что (A.63) можно использовать итеративно, находя $\overrightarrow {v}^{*}(2^{n+1}, \overrightarrow {u})$ из $\overrightarrow {v}^{*}(2^{n}, \overrightarrow {u})$. Объясните, почему это невозможно сделать сколько-нибудь простым способом. Указание: явно продумайте, как можно было бы вычислить $\overrightarrow {v}^{*}(n, \overrightarrow {v}^{*}(n, \overrightarrow {u}))$ из $\overrightarrow {v}^{*}(n, \overrightarrow {u})$.

Следуя процедуре из Примера 4.5.1, постройте 3-состояниевую марковскую цепь для строки $(0,1)$. Найдите ожидаемое число испытаний до первого появления этой строки.

Для (б) и (в) положим $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots , a_{k}) = (0,1,1,\ldots ,1)$, т.е. ноль, за которым следуют $k-1$ единиц. Постройте соответствующую марковскую цепь для $k = 4$.

Пусть $v_{i}$, $1 \leq i \leq k$ — ожидаемое время первого достижения из состояния $i$ в состояние $k$. Заметим, что $v_{k} = 0$. Для каждого $i$, $1 \leq i < k$, покажите, что $v_{i} = \alpha_{i} + v_{i+1}$ и $v_{0} = \beta_{i} + v_{i+1}$, где $\alpha_{i}$ и $\beta_{i}$ каждое выражается как произведение степеней $p_{0}$ и $p_{1}$. Указание: используйте индукцию по $i$, взяв $i=1$ за базу. На индуктивном шаге сначала найдите $\beta_{i+1}$ как функцию от $\beta_{i}$, начав с $i=1$ и используя уравнение $v_{0} = 1/p_{0} + v_{1}$.

Пусть $\overrightarrow {a} = (0,1,0)$. Постройте соответствующую марковскую цепь для этой строки. Вычислите $v_{0}$ — ожидаемое время до появления $(0,1,0)$.

Найдите $\lim_{n \rightarrow \infty }[P^{n}]$ для марковской цепи, изображённой ниже. Указание: думайте в терминах долгосрочных вероятностей перехода. Напомним, что рёбра графа марковской цепи соответствуют положительным вероятностям перехода.

[width=0.35figs/figs_original/ch4_ex29.png

Пусть $\pi^{(1)}$ и $\pi^{(2)}$ обозначают первые две строки $\lim_{n \rightarrow \infty }[P^{n}]$, а $\nu^{(1)}$ и $\nu^{(2)}$ обозначают первые два столбца $\lim_{n \rightarrow \infty }[P^{n}]$. Покажите, что $\pi^{(1)}$ и $\pi^{(2)}$ являются независимыми левыми собственными векторами $[P]$, а $\nu^{(1)}$ и $\nu^{(2)}$ — независимыми правыми собственными векторами $[P]$. Найдите собственное значение для каждого собственного вектора.

Пусть $\overrightarrow {r}$ — произвольный вектор вознаграждений, и рассмотрим уравнение