Банк задач по математике

Задача 3.1

(a)(b)(c)

?

(a)

Пусть $X, Y$ — независимые и одинаково распределённые случайные величины, каждая с плотностью $f_X(x) = \alpha \exp (-x^2/2)$ . В (б) мы покажем, что $\alpha$ должно равняться $1/\sqrt{2\pi }$ , чтобы $f_X(x)$ интегрировалась в 1, но в этой части оставим $\alpha$ неопределённым. Пусть $S = X^2 + Y^2$ . Найдите плотность вероятности $S$ через $\alpha$ .

(b)

Докажите из (а), что $\alpha$ должно равняться $1/\sqrt{2\pi }$ , чтобы $S$ , а значит, и $X$ , и $Y$ , были случайными величинами. Покажите, что $\mathbb {E}\left[X\right] = 0$ и что $\mathbb {E}\left[X^2\right] = 1$ .

(c)

Найдите плотность вероятности $R = \sqrt{S}$ . $R$ называется случайной величиной Рэлея.

Задача 3.2

(a)(b)(c)

?

(a)

Разложив в степенной ряд по $(1/2)r^2\sigma^2$ , покажите, что

\exp \left(\frac{r^2\sigma ^2}{2}\right) = 1 + \frac{r^2\sigma ^2}{2} + \frac{r^4\sigma ^4}{2(2^2)} + \cdots + \frac{r^{2k}\sigma ^{2k}}{k!2^k} + \cdots .

(b)

Разложив $e^{rZ}$ в степенной ряд по $rZ$ , покажите, что

g_Z(r) = \mathbb {E}\left[e^{rZ}\right] = 1 + r\mathbb {E}\left[Z\right] + \frac{r^2\mathbb {E}\left[Z^2\right]}{2} + \cdots + \frac{r^k\mathbb {E}\left[Z^k\right]}{k!} + \cdots .

(c)

Сопоставив степени $r$ в (а) и (б), покажите, что для всех целых $k \geq 1$

\mathbb {E}\left[Z^{2k}\right] = \frac{(2k)!\sigma ^{2k}}{k!2^k} = (2k-1)(2k-3)\cdots (3)(1)\sigma ^{2k} \quad ; \qquad \mathbb {E}\left[Z^{2k+1}\right] = 0.

Задача 3.3

Пусть $X$ и $Z$ — н.о.р. нормированные гауссовские с.в. Пусть $Y = \left|Z\right|\operatorname {Sgn}(X)$ , где $\operatorname {Sgn}(X)$ равно 1, если $X \geq 0$ , и $-1$ в противном случае. Покажите, что $X$ и $Y$ каждая по отдельности гауссовская, но не являются совместно гауссовскими. Изобразите контуры равной совместной плотности вероятности.

?

Задача 3.4

(a)(b)(c)

?

(a)

Пусть $X_1 \sim N(0,\sigma_1^2)$ , и пусть $X_2 \sim N(0,\sigma_2^2)$ независима от $X_1$ . Свернув плотность $X_1$ с плотностью $X_2$ , покажите, что $X_1+X_2$ гауссовская, $N(0,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$ .

(b)

Пусть $W_1, W_2$ — н.о.р. нормированные гауссовские с.в. Покажите, что $a_1W_1+a_2W_2$ гауссовская, $N(0,a_1^2+a_2^2)$ .

(c)

Объедините (б) с индукцией, чтобы показать, что все линейные комбинации н.о.р. нормированных гауссовских с.в. являются гауссовскими.

Задача 3.5

(a)(b)

?

(a)

Пусть $\overrightarrow {U}$ — $n$ -мерная с.в. со средним $\overrightarrow {m}$ и ковариацией $[K]$ , чья ПФМ задаётся (3.18):

g_{\overrightarrow {U}}(\overrightarrow {r}) = \exp \left(\overrightarrow {r}^{\mathrm T}\overrightarrow {m} + \frac{\overrightarrow {r}^{\mathrm T}[K]\overrightarrow {r}}{2}\right).

Пусть $X = \overrightarrow {r}^{\mathrm T}\overrightarrow {U}$ для произвольного вещественного $n$ -мерного вектора $\overrightarrow {r}$ . Покажите, что ПФМ для $X$ задаётся как $g_X(r) = \exp \left[r\mathbb {E}\left[X\right]+r^2\sigma_X^2/2\right]$ , и свяжите $\mathbb {E}\left[X\right]$ и $\sigma_X^2$ с $\overrightarrow {m}$ и $[K]$ .

(b)

Покажите, что $\overrightarrow {U}$ является гауссовской с.в.

Задача 3.6

?

(a)

Пусть $\overrightarrow {Z} \sim N(0,[K])$ — $n$ -мерный вектор. Разлагая в степенной ряд по $(1/2)\overrightarrow {r}^{\mathrm T}[K]\overrightarrow {r}$ , покажите, что

g_{\overrightarrow {Z}}(\overrightarrow {r}) = \exp \left[\frac{\overrightarrow {r}^{\mathrm T}[K]\overrightarrow {r}}{2}\right] = 1 + \frac{\sum _{j,k} r_j r_k K_{j,k}}{2} + \cdots + \frac{\left(\sum _{j,k} r_j r_k K_{j,k}\right)^m}{2^m m!} + \cdots .

(b)

Разлагая $e^{r_j Z_j}$ в степенной ряд по $r_j Z_j$ для каждого $j$ , покажите, что

g_{\overrightarrow {Z}}(\overrightarrow {r}) = \mathbb {E}\left[\exp \left(\sum _j r_j Z_j\right)\right] = \sum _{l_1=0}^{\infty } \cdots \sum _{l_n=0}^{\infty } \frac{r_1^{l_1}}{(l_1)!} \cdots \frac{r_n^{l_n}}{(l_n)!} \mathbb {E}\left[Z_1^{l_1} \ldots Z_n^{l_n}\right].

(c)

Пусть $D = \left\{ i_1, i_2, \ldots , i_{2m}\right\}$ — множество из $2m$ различных целых чисел, каждое между 1 и $n$ , и пусть $j_1, \ldots , j_{2m}$ — некоторая перестановка $D$ . Рассмотрите член $r_{j_1} r_{j_2} \cdots r_{j_{2m}} \mathbb {E}\left[Z_{j_1} Z_{j_2} \cdots Z_{j_{2m}}\right]$ в (б) и пусть $(j_1, \ldots j_n)$ — перестановка $D$ . Сравнивая с набором членов в (а), содержащих то же произведение $r_{j_1} r_{j_2} \cdots r_{j_{2m}}$ , покажите, что

\mathbb {E}\left[Z_{j_1} Z_{j_2} \cdots Z_{j_{2m}}\right] = \frac{\sum _{j_1 j_2 \ldots j_{2m}} K_{j_1 j_2} K_{j_3 j_4} \cdots K_{j_{2m-1} j_{2m}}}{2^m m!},

где сумма берётся по всем перестановкам $(j_1, j_2, \ldots , j_{2m})$ множества $D$ .

(d)

Найдите число перестановок $D$ , содержащих один и тот же набор неупорядоченных пар $(\left\{ j_1, j_2\right\} , \ldots , \left\{ j_{2m-1}, j_{2m}\right\} )$ . Например, $(\left\{ 1,2\right\} , \left\{ 3,4\right\} )$ — тот же набор неупорядоченных пар, что и $(\left\{ 3,4\right\} , \left\{ 2,1\right\} )$ . Покажите, что

\mathbb {E}\left[Z_{j_1} Z_{j_2} \cdots Z_{j_{2m}}\right] = \sum _{j_1,j_2,\ldots ,j_{2m}} K_{j_1 j_2} K_{j_3 j_4} \cdots K_{j_{2m-1} j_{2m}}, \tag {3.114}

где сумма берётся по различным наборам неупорядоченных пар множества $D$ . Замечание: другой способ сказать то же самое — сумма берётся по множеству всех перестановок $D$ , для которых $j_{2k-1} < j_{2k}$ при $1 \leq k \leq m$ и $j_{2k-1} < j_{2k+1}$ при $1 \leq k \leq m-1$ .

(e)

Чтобы найти $\mathbb {E}\left[Z_1^{j_1} \cdots Z_n^{j_n}\right]$ , где $j_1+j_2+\cdots +j_n = 2m$ , постройте с.в. $U_1, \ldots , U_{2m}$ , где $U_1, \ldots , U_{j_1}$ все тождественно равны $Z_1$ , где $U_{j_1+1}, \ldots , U_{j_1+j_2}$ тождественно равны $Z_2$ и т.д., и используйте (3.114) для нахождения $\mathbb {E}\left[U_1 U_2 \cdots U_{2m}\right]$ . Используйте эту формулу, чтобы найти $\mathbb {E}\left[Z_1^2 Z_2 Z_3\right]$ , $\mathbb {E}\left[Z_1^2 Z_2^2\right]$ и $\mathbb {E}\left[Z_1\right]^4$ .

Задача 3.7

Пусть $[Q]$ — ортонормированная матрица. Покажите, что квадрат расстояния между любыми двумя векторами $\overrightarrow {z}$ и $\overrightarrow {y}$ равен квадрату расстояния между $[Q]\overrightarrow {z}$ и $[Q]\overrightarrow {y}$ .

?

Задача 3.8

(a)(b)(c)

?

(a)

Пусть $[K] = \left[\begin{smallmatrix} 0.75 & 0.25 \\ 0.25 & 0.75 \end{smallmatrix}\right]$ . Покажите, что 1 и $1/2$ — собственные значения $[K]$ , и найдите нормированные собственные векторы. Представьте $[K]$ в виде $[Q\Lambda Q^{-1}]$ , где $[\Lambda ]$ диагональна, а $[Q]$ ортонормирована.

(b)

Пусть $[K'] = \alpha [K]$ для действительного $\alpha \neq 0$ . Найдите собственные значения и собственные векторы $[K']$ . Не используйте грубую силу — подумайте!

(c)

Найдите собственные значения и собственные векторы $[K^m]$ , где $[K^m]$ — $m$ -я степень $[K]$ .

Задача 3.9

Пусть $X$ и $Y$ — совместно гауссовские с математическими ожиданиями $m_X, m_Y$ , дисперсиями $\sigma_X^2, \sigma_Y^2$ и нормированной ковариацией $\rho$ . Найдите условную плотность $f_{X|Y}(x \mid y)$ .

?

Задача 3.10

(a)(b)

?

(a)

Пусть $X$ и $Y$ — совместно гауссовские с нулевым математическим ожиданием, дисперсиями $\sigma_X^2, \sigma_Y^2$ и нормированной ковариацией $\rho$ . Пусть $V = Y^3$ . Найдите условную плотность $f_{X|V}(x \mid v)$ .

(b)

Пусть $U = Y^2$ ; найдите условную плотность $f_{X|U}(x \mid u)$ .

Задача 3.11

(a)(b)

?

(a)

Пусть $(\overrightarrow {X}^{\mathrm T}, \overrightarrow {Y}^{\mathrm T})$ имеет невырожденную ковариационную матрицу $[K]$ . Покажите, что $[K_X]$ и $[K_Y]$ положительно определены и, следовательно, невырождены.

(b)

Пусть $X = (X_1,\ldots ,X_n)^{\mathrm T}$ и $Y = (Y_1,\ldots ,Y_m)^{\mathrm T}$ — совместно гауссовские случайные величины с нулевым средним, с ковариационными матрицами $[K_X]$ и $[K_Y]$ соответственно, и пусть $[K]$ — ковариационная матрица $(n+m)$ -мерной случайной величины $(X_1,\ldots ,X_n,Y_1,\ldots ,Y_m)^{\mathrm T}$ , разбитая на блоки как $[K] = \left[\begin{smallmatrix} [K_X] & [K_{X \cdot Y}] \\[K_{X \cdot Y}]^{\mathrm T} & [K_Y] \end{smallmatrix}\right]$ . Предполагая, что $[K]$ невырождена, её обратную матрицу можно записать в блочном виде как

[K^{-1}] = \left[\begin{smallmatrix} [B] & [C] \\[C^{\mathrm T}] & [D] \end{smallmatrix}\right]. \tag {3.39}

Покажите, что матрицы $[B]$ и $[D]$ в (3.39) также положительно определены и, следовательно, невырождены.

Задача 3.12

Пусть $\overrightarrow {X}$ и $\overrightarrow {Y}$ — совместно гауссовские случайные величины со средними $\overrightarrow {m}_X$ и $\overrightarrow {m}_Y$ , ковариационными матрицами $[K_X]$ и $[K_Y]$ и взаимной ковариационной матрицей $[K_{X \cdot Y}]$ . Найдите условную плотность вероятности $f_{X|Y}(\overrightarrow {x} \mid \overrightarrow {y})$ . Предположите, что ковариация $(\overrightarrow {X}^{\mathrm T}, \overrightarrow {Y}^{\mathrm T})$ невырождена.

?

Задача 3.13

(a)(b)(c)

?

(a)

Пусть $\overrightarrow {W}$ — нормированная н.о.р. гауссовская $n$ -мерная случайная величина, а $\overrightarrow {Y}$ — гауссовская $m$ -мерная случайная величина. Предположим, что мы хотим, чтобы совместная ковариация $\mathbb {E}\left[\overrightarrow {W}\overrightarrow {Y}^{\mathrm T}\right]$ была произвольной вещественнозначной матрицей $[K]$ размера $n \times m$ . Найдите матрицу $[A]$ такую, что $\overrightarrow {Y} = [A]\overrightarrow {W}$ обеспечивает требуемую совместную ковариацию. Замечание: это показывает, что любая вещественнозначная матрица размера $n \times m$ является совместной ковариационной матрицей для некоторого выбора случайных величин.

(b)

Пусть $\overrightarrow {Z}$ — гауссовская $n$ -мерная случайная величина с нулевым средним и невырожденной ковариацией $[K_Z]$ , а $\overrightarrow {Y}$ — гауссовская $m$ -мерная случайная величина. Предположим, что мы хотим, чтобы совместная ковариация $\mathbb {E}\left[\overrightarrow {Z}\overrightarrow {Y}^{\mathrm T}\right]$ была произвольной матрицей $[K']$ размера $n \times m$ . Найдите матрицу $[B]$ такую, что $\overrightarrow {Y} = [B]\overrightarrow {Z}$ обеспечивает требуемую совместную ковариацию. Замечание: это показывает, что любая вещественнозначная матрица размера $n \times m$ является совместной ковариационной матрицей для некоторого выбора случайных величин $\overrightarrow {Z}$ и $\overrightarrow {Y}$ , где $[K_Z]$ задана (и невырождена).

(c)

Теперь предположим, что $\overrightarrow {Z}$ в пункте (б) имеет вырожденную ковариационную матрицу. Объясните, какие ограничения это накладывает на возможные значения совместной ковариации $\mathbb {E}\left[\overrightarrow {Z}\overrightarrow {Y}^{\mathrm T}\right]$ .

Задача 3.14

(a)(b)(c)(d)

?

(a)

Пусть $\overrightarrow {W} = (W_1,W_2,\ldots ,W_{2n})^{\mathrm T}$ — $2n$ -мерная н.о.р. нормированная гауссовская случайная величина. Пусть $S_{2n} = W_1^2+W_2^2+\cdots +W_{2n}^2$ . Покажите, что $S_{2n}$ является эрланговской случайной величиной порядка $n$ с параметром $1/2$ , то есть что $f_{S_{2n}}(s) = 2^{-n}s^{n-1}e^{-s/2}/(n-1)!$ .

(b)

Пусть $R_{2n} = \sqrt{S_{2n}}$ . Найдите плотность вероятности $R_{2n}$ .

(c)

Пусть $v_{2n}(r)$ — объём $2n$ -мерной сферы радиуса $r$ , а $b_{2n}(r)$ — площадь поверхности этой сферы, то есть $b_{2n}(r) = dv_{2n}(r)/dr$ . Цель этого упражнения — показать, как вычислять эти величины. Рассматривая бесконечно тонкий сферический слой толщины $\delta$ на радиусе $r$ , покажите, что

f_{R_{2n}}(r) = b_{2n}(r) f_{\overrightarrow {W}}(\overrightarrow {w}) \big|_{\overrightarrow {W}:\overrightarrow {W}^{\mathrm T}\overrightarrow {W}=r^2}. \tag {A.50}

(d)

Вычислите $b_{2n}(r)$ и $v_{2n}(r)$ . Заметьте, что при любом фиксированном $\delta \ll r$ предельное отношение (при $n \rightarrow \infty$ ) объёма сферы радиуса $r$ к объёму сферического слоя толщины $\delta$ с внешним радиусом $r$ равно 1.

Задача 3.15

Решите напрямую относительно $[B]$ , $[C]$ и $[D]$ в (3.39) для одномерного случая, когда $n=m=1$ . Покажите, что (3.40) согласуется с (3.37).

?

Задача 3.16

(a)(b)(c)

?

(a)

Выразите $[B]$ , $[C]$ и $[D]$ , определённые в (3.39), через $[K_X]$ , $[K_Y]$ и $[K_{X \cdot Y}]$ , перемножив блочное представление для $[K]$ и для $[K]^{-1}$ . Вы можете сверить свои решения с (3.46)--(3.48). Указание: $[B]$ и $[C]$ можно найти, рассмотрев только два из четырёх блочных уравнений в $[KK^{-1}]$ . Для нахождения $[D]$ можно воспользоваться симметрией между $X$ и $Y$ .

(b)

Используя результат пункта (а) для $[C]$ и симметрию между $X$ и $Y$ , покажите, что

[BK_{X \cdot Y}K_Y^{-1}] = [K_X^{-1}K_{X \cdot Y}D].

(c)

Теорема 3.5.2 показывает, что нулевого среднего совместно гауссовская, совместно невырожденная пара $X, Y$ может быть эквивалентно представлена как $X = [G]Y+V$ , где $Y$ и $V$ независимы, причём

[G] = [K_{X \cdot Y}K_Y^{-1}], \qquad [K_V] = [K_X]-[GK_YG^{\mathrm T}], \tag {3.44, 3.45}

или, поменяв ролями $X$ и $Y$ , как $Y = [H]X+Z$ , где $X$ и $Z$ независимы, причём

[H] = [K_{Y \cdot X}K_X^{-1}], \qquad [K_Z] = [K_Y]-[K_{Y \cdot X}K_X^{-1}K_{Y \cdot X}^{\mathrm T}]. \tag {3.50, 3.51}

Для представлений $X = [G]Y+V$ и $Y = [H]X+Z$ , где $X$ и $Y$ имеют нулевое среднее, совместно гауссовские и обладают невырожденной совместной ковариационной матрицей, покажите, что

[K_V^{-1}G] = [H^{\mathrm T}K_Z^{-1}]. \tag {3.115}

Задача 3.17

(a)(b)

Пусть $X$ и $Z$ — статистически независимые гауссовские случайные величины произвольной размерности $n$ и $m$ соответственно. Пусть $Y = [H]X+Z$ , где $[H]$ — произвольная вещественная матрица размера $n \times m$ .

?

(a)

Объясните, почему $X_1,\ldots ,X_n,Z_1,\ldots ,Z_m$ должны быть совместно гауссовскими случайными величинами. Затем объясните, почему $X_1,\ldots ,X_n,Y_1,\ldots ,Y_m$ должны быть совместно гауссовскими.

(b)

Покажите, что если $[K_X]$ и $[K_Z]$ невырождены, то совместная ковариационная матрица $[K]$ для $(X_1,\ldots ,X_n,Y_1,\ldots ,Y_m)^{\mathrm T}$ должна быть невырожденной.

Задача 3.18

(a)(b)(c)(d)

Пусть $\alpha$ — вещественное число, $\left|\alpha \right| < 1$ , и рассмотрим дискретный по времени гауссовско-марковский процесс $\left\{ X(n); n \in \mathbb {Z}^{+}\right\}$ , определённый через IID гауссовский процесс $\left\{ W(n); n \in \mathbb {Z}\right\}$ , где каждое $W(n) \sim N(0,\sigma^2)$ , следующим образом:

X(n+1) = \alpha X(n)+W(n) \text{ для } n \in \mathbb {Z}^{+}, \qquad X(0) = 0. \tag {3.54}

Применяя (3.54) рекурсивно,

X(n) = W(n-1)+\alpha W(n-2)+\alpha ^2 W(n-3)+\cdots +\alpha ^{n-1}W(0). \tag {3.55}

Поскольку $\left\{ W(n); n \geq 0\right\}$ — гауссовский процесс с нулевым средним, $\left\{ X_n; n \geq 0\right\}$ — тоже, и его ковариационная функция равна

\mathbb {E}\left[X(n)X(n+k)\right] = \frac{\sigma ^2(1-\alpha ^{2n})\alpha ^k}{1-\alpha ^2}. \tag {3.56}

?

(a)

Проверьте (3.56) для $k=0$ , используя индукцию по (3.54).

(b)

Проверьте (3.56) для $k=0$ непосредственно из (3.55).

(c)

Проверьте (3.56) для $k>0$ , используя индукцию по $k$ .

(d)

Проверьте, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {E}\left[X(n)X(n+k)\right] = \frac{\sigma ^2\alpha ^k}{1-\alpha ^2}.

Задача 3.19

Пусть $\left\{ X(t); t \in \mathbb {R}\right\}$ определён как $X(t) = tA$ для всех $t \in \mathbb {R}$ , где $A \sim N(0,1)$ . Покажите, что это гауссовский процесс. Найдите его среднее для каждого $t$ и найдите его ковариационную функцию.

?

Примечание.

?

Цель этого упражнения — показать, что гауссовские процессы могут быть весьма вырожденными и тривиальными.

Задача 3.20

Пусть $\left\{ X(t); t \geq 0\right\}$ — случайный процесс с независимыми и стационарными приращениями, и пусть $X(0)$ — произвольная случайная величина. Покажите, что $\mathbb {E}\left[X(t)\right] = \mathbb {E}\left[X(0)\right]+t\mathbb {E}\left[X(1)-X(0)\right]$ и что

K_X(t,\tau ) = \operatorname {Var}\left[X(0)\right]+t\left[\operatorname {Var}\left[X(1)\right]-\operatorname {Var}\left[X(0)\right]\right].

?

Задача 3.21

(a)(b)(c)

?

(a)

Пусть $X(t) = R\cos (2\pi f t+\theta )$ , где $R$ — релеевская с.в., а с.в. $\theta$ независима от $R$ и равномерно распределена на интервале от 0 до $2\pi$ . Покажите, что $\mathbb {E}\left[X(t)\right] = 0$ .

(b)

Покажите, что $\mathbb {E}\left[X(t)X(t+\tau )\right] = \frac{1}{2}\mathbb {E}\left[R^2\right]\cos (2\pi f \tau )$ .

(c)

Покажите, что $\left\{ X(t); t \in \mathbb {R}\right\}$ — гауссовский процесс.

Задача 3.22

Пусть $h(t)$ — вещественная функция с интегрируемым квадратом, преобразование Фурье которой равно 0 при $\left|f\right| > B$ для некоторого $B>0$ . Покажите, что $\sum_n h^2(t-n/2B) = (1/2B)\int h^2(\tau )\, d\tau$ для всех $t \in \mathbb {R}$ .

?

Задача 3.23

(a)(b)

?

(a)

Пусть $\overrightarrow {Z} = (Z_1,\ldots ,Z_n)^{\mathrm T}$ — циркулярно-симметричный $n$ -мерный случайный вектор. Покажите, что $Z_k$ циркулярно симметрична для каждого $k$ , $1 \leq k \leq n$ .

(b)

Покажите, что $Z_1+Z_2$ циркулярно симметрична. Для произвольного комплексного $n$ -мерного вектора $\overrightarrow {c}$ покажите, что $\overrightarrow {c}^{\mathrm T}\overrightarrow {Z}$ — циркулярно симметричная с.в.

Задача 3.24

(a)(b)(c)(d)

Пусть $A$ — комплексная гауссовская с.в., т.е. $A = A_1+iA_2$ , где $A_1$ и $A_2$ — центрированные совместно гауссовские вещественные с.в. с дисперсиями $\sigma_1^2$ и $\sigma_2^2$ соответственно.

?

(a)

Покажите, что $\mathbb {E}\left[AA^*\right] = \sigma_1^2+\sigma_2^2$ .

(b)

Покажите, что

\mathbb {E}\left[(AA^*)^2\right] = 3\sigma _1^4+3\sigma _2^4+2\sigma _1^2\sigma _2^2+4\left(\mathbb {E}\left[A_1A_2\right]\right)^2.

(c)

Покажите, что $\mathbb {E}\left[(AA^*)^2\right] \geq 2\left(\mathbb {E}\left[AA^*\right]\right)^2$ , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $A_1$ и $A_2$ н.о.р.

(d)

Покажите, что $\operatorname {Var}\left[AA^*\right] \geq \left(\mathbb {E}\left[AA^*\right]\right)^2$ .

Задача 3.25

Пусть $K_X(t)$ — ковариационная функция WSS-процесса $\left\{ X(t); t \in \mathbb {R}\right\}$ . Покажите, что если $K_X(t)$ непрерывна при $t=0$ , то она непрерывна всюду.

?

Гауссовские случайные векторы и процессы