Пуассоновские процессы

Найдите эрланговскую плотность $f_{S_n}(t)$, свернув $f_X(x) = \lambda \mathrm{exp}\left(-\lambda x\right)$ саму с собой $n$ раз.

Найдите производящую функцию моментов (ПФМ) $X$ (или найдите преобразование Лапласа $f_X(x)$) и используйте это, чтобы найти производящую функцию моментов (или преобразование Лапласа) $S_n = X_1+X_2+\cdots +X_n$. Обратите ваш результат, чтобы найти $f_{S_n}(t)$.

Найдите эрланговскую плотность, начав с (2.15) и затем вычислив маргинальную плотность для $S_n$.

Найдите среднее, дисперсию и ПФМ $N(t)$, как задано в (2.17).

Покажите с помощью дискретной свёртки, что сумма двух независимых пуассоновских с.в. снова пуассоновская.

Покажите, используя свойства пуассоновского процесса, что сумма двух независимых пуассоновских с.в. должна быть пуассоновской.

Найдите условную вероятность $\mathbb {P}\left(N(t) = n \mid S_n = \tau \right)$ для всех $\tau \leq t$.

Используя эрланговскую плотность для $S_n$, используйте (а), чтобы найти $\mathbb {P}\left(N(t) = n\right)$.

Покажите, что $\mathbb {P}\left(X_1 > x\right) = e^{-\lambda x}$.

Пусть $S_{n-1}$ — момент $(n-1)$-го прихода. Покажите, что $\mathbb {P}\left(X_n > x \mid S_{n-1} = \tau \right) = e^{-\lambda x}$.

Для каждого $n > 1$ покажите, что $\mathbb {P}\left(X_n > x\right) = e^{-\lambda x}$ и что $X_n$ не зависит от $S_{n-1}$.

Обоснуйте, что $X_n$ не зависит от $X_1, X_2, \ldots , X_{n-1}$.

Покажите, что для целого $k > 0$ выполняется $h(k) = kc$.

Покажите, что для целого $j > 0$ выполняется $h(1/j) = c/j$.

Покажите, что для всех целых $k, j$ выполняется $h(k/j) = ck/j$.

Приведённые выше пункты показывают, что $h(x)$ линейна на положительных рациональных числах. Для особо придирчивых математиков это не гарантирует, что $h(x)$ линейна на положительных вещественных числах. Покажите, что если $h(x)$ также монотонна по $x$, то $h(x)$ линейна при $x > 0$.

Пусть $F_0(\tau ) = \mathbb {P}\left(N(\tau ) = 0\right)$; покажите, что $dF_0(\tau )/d\tau = -\lambda F_0(\tau )$.

Покажите, что $X_1$, время первого прихода, имеет экспоненциальное распределение с параметром $\lambda$.

Пусть $F_n^c(\tau ) = \mathbb {P}\left(\widetilde{N}(t, t+\tau ) = 0 \mid S_{n-1} = t\right)$; покажите, что $dF_n^c(\tau )/d\tau = -\lambda F_n^c(\tau )$.

Обоснуйте, что $X_n$ имеет экспоненциальное распределение с параметром $\lambda$ и независимо от более ранних моментов прихода.

При условии $N(t) = n$ объясните, почему $Z_m = X_{m+n}$ при $m > 1$ и $Z_1 = X_{n+1}-t+S_n$.

При условии $N(t) = n$ и $S_n = \tau$ покажите, что $Z_1, Z_2, \ldots$ независимы и одинаково распределены (н.о.р.).

Покажите, что $Z_1, Z_2, \ldots$ н.о.р.

Покажите, что

Пусть $t = m\delta$, и пусть $t$ фиксировано на протяжении оставшейся части упражнения. Объясните, почему

где предел в левой части берётся по значениям $\delta$, которые делят $t$.

Выведите следующие два равенства:

Заключите из этого, что для любых $t$ и $n$ $\lim_{\delta \to 0} \mathbb {P}\left(N_\delta (t) = n\right) = \mathbb {P}\left(N(t) = n\right)$, где $\left\{ N(t); t > 0\right\}$ — пуассоновский процесс интенсивности $\lambda$.

Найдите совместную функцию вероятности (ФВ) $N(t), N(t+s)$ при $s > 0$.

Найдите $\mathbb {E}\left[N(t) \cdot N(t+s)\right]$ при $s > 0$.

Найдите $\mathbb {E}\left[\widetilde{N}(t_1, t_3) \cdot \widetilde{N}(t_2, t_4)\right]$, где $\widetilde{N}(t, \tau )$ — число приходов на $(t, \tau ]$ и $t_1 < t_2 < t_3 < t_4$.

Пусть $N_k$ обозначает число элементарных экспериментов, для которых результатом является $a_k$. Найдите ПМФ для $N_k$ ($1 \leq k \leq K$).

Найдите ПМФ для $N_1+N_2$.

Найдите условную ПМФ для $N_1$ при условии, что $N = n$.

Найдите условную ПМФ для $N_1+N_2$ при условии, что $N = n$.

Найдите условную ПМФ для $N$ при условии, что $N_1 = n_1$.

Найдите ПМФ числа пассажиров, садящихся в автобус (точнее, для заданного $m$ найдите ПМФ числа пассажиров, садящихся в $m$-й автобус).

Найдите ПМФ числа пассажиров, садящихся в $m$-й автобус, при условии, что интервал между прибытием автобуса $m-1$ и автобуса $m$ равен $x$.

Дано, что автобус прибывает в 22:30, найдите ПМФ числа пассажиров, садящихся в следующий автобус.

Дано, что автобус прибывает в 22:30 и ни один автобус не прибывает между 22:30 и 23:00, найдите ПМФ числа пассажиров в следующем автобусе.

Найдите ПМФ числа пассажиров, ожидающих в некоторый заданный момент времени, скажем, в 14:30 (предположим, что процессы начались бесконечно давно в прошлом).

Найдите ПМФ числа пассажиров, садящихся в следующий автобус, прибывающий после 14:30.

Дано, что я прихожу ждать автобус в 14:30, найдите ПМФ числа пассажиров, садящихся в следующий автобус.

Покажите, что моменты поступления пуассоновского процесса удовлетворяют

Сопоставьте это с результатом теоремы 2.5.1.

Пусть $\left\{ N_1(t); t>0\right\}$ — считающий процесс моментов, в которые происходят одиночные поступления. Найдите ПМФ $N_1(t)$ как функцию от $t$. Аналогично пусть $\left\{ N_2(t); t \geq 0\right\}$ — считающий процесс моментов, в которые происходят двойные поступления. Найдите ПМФ $N_2(t)$ как функцию от $t$.

Пусть $\left\{ N_B(t); t \geq 0\right\}$ — считающий процесс общего числа поступлений. Дайте выражение для ПМФ $N_B(t)$ как функции от $t$.

Для пуассоновского считающего процесса скорости $\lambda$ найдите совместную плотность вероятности $S_1, S_2, \ldots , S_{n-1}$ при условии $S_n = t$.

Найдите $\mathbb {P}\left(X_1 > \tau \mid S_n=t\right)$.

Найдите $\mathbb {P}\left(X_i > \tau \mid S_n=t\right)$ для $1 \leq i \leq n$.

Найдите плотность $f_{S_i \mid S_n}(s_i \mid t)$ для $1 \leq i \leq n-1$.

Дайте объяснение поразительному сходству между условием $N(t) = n-1$ и условием $S_n = t$.

Для пуассоновского процесса скорости $\lambda$ найдите $\mathbb {P}\left(N(t)=n \mid S_1=\tau \right)$ для $t > \tau$ и $n \geq 1$.

Используя это, найдите $f_{S_1}(\tau \mid N(t)=n)$.

Сверьте свой ответ с (2.41).

Чему равно $\mathbb {P}\left(N(t)=n \mid \Lambda =\lambda \right)$, где $N(t)$ — число прибытий на интервале $(0, t]$ для некоторого заданного $t > 0$?

Покажите, что $\mathbb {P}\left(N(t)=n\right)$, безусловная ПМФ для $N(t)$, задаётся формулой

Найдите $f_\Lambda (\lambda \mid N(t)=n)$, плотность $\lambda$ при условии $N(t)=n$.

Найдите $\mathbb {E}\left[\Lambda \mid N(t)=n\right]$ и интерпретируйте свой результат для очень малого $t$ при $n = 0$ и для очень большого $t$ при большом $n$.

Найдите $\mathbb {E}\left[\Lambda \mid N(t)=n, S_1, S_2, \ldots , S_n\right]$. Найдите $\mathbb {E}\left[\Lambda \mid N(t)=n, N(\tau )=m\right]$ для некоторого $\tau < t$.

Используя уравнение (2.42) -- $f_{S_i \mid N(t)}(s_i \mid n) = \frac{s_i^{i-1}}{(i-1)!} \frac{(t-s_i)^{n-i}}{(n-i)!} \frac{n!}{t^n}$ при $n \geq i$ -- найдите $\mathbb {E}\left[S_i \mid N(t)=n\right]$.

Найдите второй момент и дисперсию $S_i$ при условии $N(t)=n$.

Предположим, что $n$ нечётно, и рассмотрим $i = (n+1)/2$. Какова связь между $S_i$ при условии $N(t)=n$ и выборочной медианой $n$ н.о.р. равномерных случайных величин?

Приведите слабый закон больших чисел (СЗБЧ) для указанной выше медианы.

Пусть $N(\tau )$ — число клиентов в системе в момент времени $\tau$. Найдите среднее значение $m(\tau )$ величины $N(\tau )$ и найдите $\mathbb {P}\left(N(\tau ) = n\right)$.

Пусть $D(\tau )$ — число клиентов, покинувших систему к моменту времени $\tau$. Найдите среднее значение $\mathbb {E}\left[D(\tau )\right]$ и найдите $\mathbb {P}\left(D(\tau ) = d\right)$.

Найдите $\mathbb {P}\left(N(\tau ) = n, D(\tau ) = d\right)$.

Пусть $A(\tau )$ — полное число поступлений вплоть до момента времени $\tau$. Найдите $\mathbb {P}\left(N(\tau ) = n \mid A(\tau ) = a\right)$.

Найдите $\mathbb {P}\left(D(\tau +\epsilon )-D(\tau ) = d\right)$.

При условии, что за первые 10 часов голосования прибыло 1000 избирателей, найдите вероятность того, что кандидат $A$ получает $n$ из этих голосов.

Снова при условии, что за первые 10 часов прибыло 1000 избирателей, найдите вероятность того, что кандидат $A$ получает $n$ голосов за первые 4 часа голосования.

Пусть $T$ — момент прибытия первого избирателя, голосующего за кандидата $A$. Найдите плотность $T$.

Найдите ФМВ числа избирателей за кандидата $B$, прибывающих до первого избирателя за $A$.

Назовём $n$-го избирателя разворотом, если $n$-й избиратель голосует за другого кандидата, чем $(n-1)$-й. Например, в последовательности голосов $AABAABB$ третий, четвёртый и шестой избиратели являются разворотами; третий и шестой — развороты от $A$ к $B$, а четвёртый — разворот от $B$ к $A$. Пусть $N(t)$ — число разворотов вплоть до момента времени $t$ ($t$ в часах). Является ли $\left\{ N(t); t > 0\right\}$ пуассоновским процессом? Объясните.

Найдите ожидаемое время (в часах) между разворотами.

Найдите плотность вероятности времени между разворотами.

Найдите плотность времени от одного разворота $A$-к-$B$ до следующего разворота $A$-к-$B$.

Найдите ПМФ числа поступлений первого процесса, $\left\{ N_1(t); t > 0\right\}$, за $n$-й период, когда переключатель включён.

Известно, что первое поступление второго процесса происходит в момент $\tau$; найдите условную ПМФ числа поступлений первого процесса до $\tau$.

Известно, что число поступлений первого процесса до первого поступления второго процесса равно $n$; найдите плотность момента первого поступления второго процесса.

Найдите плотность времени между поступлениями для $\left\{ N_A(t); t \geq 0\right\}$.

Найдите распределение времени от начала матча до завершения первой результативной партии (т.е. партии, не закончившейся вничью). Охарактеризуйте процесс числа $\left\{ N(t); t > 0\right\}$ результативных партий, сыгранных вплоть до момента времени $t$ включительно. Охарактеризуйте процесс числа $\left\{ N_F(t); t \geq 0\right\}$ партий, выигранных Фишером, и числа $\left\{ N_S(t); t \geq 0\right\}$ партий, выигранных Спасским.

В оставшейся части задачи предположим, что вероятность ничьей равна нулю, т.е. $p+q = 1$. Сколько партий из первых $2n-1$ должен выиграть Фишер, чтобы выиграть матч?

Какова вероятность того, что Фишер выиграет матч? Ваш ответ не должен содержать интегралов.

Пусть $T$ — момент времени, в который матч завершается (т.е. побеждает либо Фишер, либо Спасский). Найдите функцию распределения (CDF) величины $T$.

Найдите вероятность того, что Фишер выигрывает и что $T$ лежит в интервале $(t, t+\delta )$ при сколь угодно малом $\delta$.

Для $1 \leq i < n$ найдите условную плотность $S_{i+1}$ при условии $N(t) = n$ и $S_i = s_i$.

С помощью (а) найдите совместную плотность $S_1, \ldots , S_n$ при условии $N(t) = n$. Убедитесь, что ваш ответ согласуется с (2.38).

$\mathbb {P}\left(X > t\right) = \mathrm{exp}\left(-\lambda \pi t^2\right)$;

$\mathbb {E}\left[X\right] = 1/(2\sqrt{\lambda })$.

Рассмотрим $S_n$ — момент $n$-го поступления, для $n = 10^{12}$. С высокой вероятностью $S_n$ будет лежать в пределах трёх стандартных отклонений от своего среднего. Найдите и сравните это среднее и диапазон $3\sigma$.

Пусть $V_n$ — суммарное время, в течение которого сервер занят обслуживанием этих $n$ поступлений (т. е. сумма $10^{12}$ времён обслуживания). Найдите среднее и диапазон $3\sigma$ для $V_n$.

Найдите среднее и диапазон $3\sigma$ для $I_n$ — суммарного времени простоя сервера вплоть до $S_n$ (примем $I_n$ равным $S_n-V_n$, тем самым игнорируя любое время обслуживания после $S_n$).

Период простоя начинается, когда сервер завершает обслуживание и нет ожидающих поступлений; он заканчивается при следующем поступлении. Найдите среднее и дисперсию периода простоя. Являются ли последовательные периоды простоя независимыми и одинаково распределёнными?

Объедините (в) и (г), чтобы оценить общее число периодов простоя вплоть до момента $S_n$. Используйте это, чтобы оценить общее число периодов занятости.

Объедините (д) и (б), чтобы оценить математическое ожидание длительности периода занятости.

Пусть функция распределения $i$-го интервала между поступлениями для некоторого процесса поступлений равна $F_{X_i}(x_i) = 1-\mathrm{exp}\left(-\alpha^{-i} x_i\right)$ для некоторого фиксированного $\alpha \in (0,1)$. Пусть $S_n = X_1+\cdots +X_n$; покажите, что

Изобразите «разумную» реализацию для $N(t)$.

Используя неравенство Маркова для $\mathbb {P}\left(S_n \geq t\right)$, найдите верхнюю оценку для $\mathbb {P}\left(N(t) < n\right)$, которая меньше 1 для всех $n$ и для достаточно больших $t$. Используйте это, чтобы показать, что $N(t)$ является дефектной случайной величиной для достаточно больших $t$.

(Для тех, кто ищет вызов посложнее) Покажите, что $N(t)$ является дефектной случайной величиной для всех $t > 0$.